三角函数与解三角形 练习题-2026届高三数学一轮复习

任意角和弧度制、三角函数的概念 题型一　角及其表示 例1　(1)(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　) A.－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 答案　D 解析　因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时的终边在第一象限；当k为奇数时的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确. (2)如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为　　　　　　　　.  答案　 解析　方法一　由于终边在y＝－x(x≤0)上的角的集合为由于终边在x轴非正半轴上的角的集合为{γ|γ＝π＋2kπ，k∈Z}，因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角α的集合为. 方法二　在[0，2π)内，终边落在阴影部分内的角α的集合为所以所求角α的集合为. 题型二　弧度制及其应用 例2　(1)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414≈1.732)(　　) A.1.612米 B.1.768米 C.1.868米 D.2.045米 答案　B 解析　由题意得，“弓”所在的弧长l＝(米)，所在圆的半径R＝1.25＝(米)，所以其所对的圆心角α＝所以双手之间的距离d＝×1.25≈1.768(米). (2)已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. ①若α＝R＝10 cm，求扇形的弧长l； ②若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ ③若α＝R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积. 解　①因为α＝R＝10 cm， 所以l＝|α|R＝×10＝(cm). ②由已知，得l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25. 所以当R＝5 cm时，S取得最大值， 此时l＝10 cm，α＝＝2 rad. ③设弓形面积为S弓形， 方法一　由题意知l＝ cm， 所以S弓形＝××2－×22×sin (cm2). 方法二　S弓形＝××22－×22×sin (cm2). 题型三　三角函数的概念 例3　(1)若角α满足sin α·cos α<0，cos α－sin α<0，则α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　B 解析　因为sin α·cos α<0，所以α是第二或第四象限角； 当α是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α－sin α<0； 当α是第四象限角时，cos α>0，sin α<0，则cos α－sin α>0，不符合题意， 综上所述，α是第二象限角. (2)(2025·深圳模拟)若角α的终边过点(4，3)，则sin等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　A 解析　∵角α的终边过点(4，3)， ∴cos α＝ ∴sin＝cos α＝. 同角三角函数基本关系式及诱导公式 题型一　同角三角函数基本关系式 例1　(1)(2024·广州模拟)已知sin α－cos α＝则tan α＋的值为(　　) A.－ B.－4 C. D.4 答案　D 解析　方法一　sin α－cos α＝ 则(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝ 解得sin αcos α＝ tan α＋＝4. 方法二　(对偶式) 设cos α＋sin α＝t， 则cos2α＋2sin αcos α＋sin2α＝t2， ① 又sin α－cos α＝ 则sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝ ② ①②相加，可得t2＝即t＝或t＝－ 当t＝时，由 可得sin α＝cos α＝ 所以tan α＝＝2＋ 所以tan α＋＝2＋＝2＋＋2－＝4， 同理，当t＝－时，tan α＋＝4. (2)已知tan α＝－3，则等于(　　) A.－ B. C. D.－ 答案　C 解析　因为tan α＝－3， 所以＝－＝－＝－＝－. 题型二　诱导公式 例2　(1)若sin(π＋α)＝则sin(π－α)＋cos等于(　　) A.－ B. C. D.－ 答案　A 解析　sin(π＋α)＝－sin α＝sin α＝－sin(π－α)＋cos＝sin α＋sin α＝2sin α＝－. (2)(2025·沧州模拟)已知cos则sin等于(　　) A.－ B. C. D.－ 答案　A 解析　方法一　因为cos 所以sin＝sin ＝－sin＝－sin ＝－cos＝－. 方法二　令t＝＋x，则x＝t－ 所以sin＝sin＝sin ＝－cos t＝－cos＝－. 题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例3　(1)(2024·商洛模拟)已知sin(5π＋α)＝5sin则sin 2α＋sin2α等于(　　) A.－ B. C. D. 答案　C 解析　因为sin(5π＋α)＝5sin 所以－sin α＝5cos α， 可得tan α＝＝－5， 所以原式＝ ＝. (2)已知α∈β∈且sincossin(π＋α)＝sin则β－α＝　　　　　　.  答案　 解析　由题意得 由①2＋3×②2得，cos2α＋9sin2α＝3， 又cos2α＋sin2α＝1，所以sin2α＝ 又α∈所以sin α＝则α＝. 将α＝代入①，得sin β＝ 因为β∈所以β＝则β－α＝. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一　两角和与差的三角函数公式 例1　(1)若＝3，则tan等于(　　) A.－3 B.－ C. D.3 答案　C 解析　由题意，得＝3，所以tan α＝－ 则tan. (2)(2024·厦门模拟)若cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α等于(　　) A.B.－ C. D.－ 答案　D 解析　因为cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)， 所以－sin(50°－α)＋cos(20°＋α)＝sin(50°＋α)， 即－sin 50°cos α＋cos 50°sin α＋cos(20°＋α)＝sin 50°cos α＋cos 50°sin α， 所以cos 20°cos α－sin 20°sin α＝2sin 50°cos α， 即(cos 20°－2sin 50°)cos α＝sin 20°sin α， 所以tan α＝ ＝＝－. 题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 例2　(1)(2024·南充模拟)已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x.若x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　C 解析　f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝sin φ＝cos φ＝ ∵当x＝θ时，f(x)取得最大值，∴θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ－φ，k∈Z， ∴cos＝cos ＝cos＝cos cos φ＋sin sin φ ＝－××. (2)tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝　　　　　　.  答案　 解析　因为tan 30°＝tan(10°＋20°)＝ 故tan 10°＋tan 20°＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°， 所以tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30° ＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30° ＝2tan 30°＝. 题型三　角的变换问题 例3　(1)已知sinα∈则cos α等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由α∈得α＋∈ 则cos＝－＝－ cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－××. (2)(2024·杭州模拟)已知α∈β∈若sin(α＋β)＝cos β＝则sin α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为α∈β∈sin(α＋β)＝>0，cos β＝所以α＋β∈ 则sin β＝ cos(α＋β)＝－＝－ 所以sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝××. 简单的三角恒等变换 题型一　三角函数式的化简 例1　(1)sin2＋sin2－sin2α等于(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　C 解析　原式＝－sin2α ＝1－－sin2α ＝1－cos 2αcos －sin2α ＝1－. (2)化简：＝　　　　.  答案　sin 4α 解析　 ＝2cos2α(－cos 2α) ＝cos2αcos 2αtan α＝sin αcos αcos 2α ＝sin 2αcos 2α＝sin 4α. 题型二　三角函数式的求值 例2　(2024·宜昌模拟)古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，则＝　　　　　　.  答案　 解析　 ＝ ＝ ＝. 例3　(2024·石家庄模拟)已知cos则sin等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　C 解析　方法一　因为cos 所以sin＝sin ＝cos＝2cos2－1 ＝2×－1＝－. 方法二　(换元法) 令t＝＋α，则α＝t－cos t＝ 所以sin＝sin ＝sin＝cos 2t＝2cos2t－1＝－. 例4　已知sin α＝cos β＝且α，β为锐角，则α＋2β＝　　　　　　.  答案　 解析　因为sin α＝且α为锐角， 所以cos α＝ 因为cos β＝且β为锐角， 所以sin β＝ 则sin 2β＝2sin βcos β＝2×× cos 2β＝1－2sin2β＝1－2× 所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×× 因为α∈β∈所以2β∈(0，π). 所以α＋2β∈故α＋2β＝. 题型三　三角恒等变换的综合应用 例5　已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋.若f 则sin 2α的值为　　　　　　.  答案　－ 解析　f(x)＝sin 2x－·sin 2x－cos 2x＝sin. 因为f  所以sin所以sin sin 2α＝sin＝cos 2 ＝1－2sin2＝1－2×＝－. 三角函数的图象与性质 题型一　三角函数的定义域和值域 例1　(1)函数y＝的定义域为　　　　　　　　　　　　.  答案　(k∈Z) 解析　方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示. 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z). 方法二　要使函数y＝有意义， 则sin x－cos x≥0，即sin≥0， 即2kπ≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 即原函数的定义域为(k∈Z). (2)函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的值域为　　　　　　.  答案　 解析　设sin x＋cos x＝sin＝t，t∈[－]，则2sin xcos x＝t2－1， 则由函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2，可知y＝t2＋t＋1＝t∈[－]， 当t＝－时，ymin＝；当t＝时，ymax＝3＋. 因此函数的值域为. 题型二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性 例2　(1)(多选)(2024·淄博模拟)已知函数f(x)＝sin＋1，则下列结论中正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期T＝π B.函数f(x)的图象关于点对称 C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D.函数f(x)在区间[0，2π]上有4个零点 答案　AC 解析　∵f(x)＝sin＋1， ∴f(x)的最小正周期T＝＝π，A正确； ∵sin＝0，∴函数f(x)的图象关于点对称，B错误； 又sin＝1，∴函数f(x)的图象关于直线x＝对称，C正确； 令f(x)＝0得sin＝－1， ∴2x－＝－＋2kπ，k∈Z， ∴x＝－＋kπ，k∈Z， 又x∈[0，2π]，∴x＝ ∴f(x)在[0，2π]内有2个零点，D错误. (2)(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝cos(x＋φ)，则“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由题意可知，f(x)的定义域为R， 若f(0)＝cos φ＝0，可得φ＝＋kπ，k∈Z， 若k为偶数，则f(x)＝cos ＝cos＝－sin x为奇函数； 若k为奇数，则f(x)＝cos ＝－cos＝sin x为奇函数， 即充分性成立； 若f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即必要性成立. 综上所述，“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的充要条件. 题型三　三角函数的单调性 例3　函数f(x)＝sin的单调递减区间为　　　　　　，在[0，π]上的单调递减区间为　　　　　　.  答案　k∈Z　和 解析　f(x)＝sin的单调递减区间是g(x)＝sin的单调递增区间. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋k∈Z. 故所求函数的单调递减区间为k∈Z. 令A＝k∈Z，B＝[0，π]， ∴A∩B＝∪ ∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和. 例4　(2025·广州模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间[a，b]上单调递减，且f(a)＝1，f(b)＝－1，b－a＝则ω等于(　　) A. B.1 C. D.2 答案　C 解析　由函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx ＝2sin 因为f(a)＝1，f(b)＝－1，所以sinsin＝－ 又f(x)在区间[a，b]上单调递减，ω>0， 所以ωa＋＋2kπ，k∈Z，ωb＋＋2kπ，k∈Z， 两式相减，可得ω(b－a)＝因为b－a＝ 所以ω＝. 函数y＝Asin(ωx＋φ) 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1　(1)(多选)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　) A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的纵坐标不变 B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.先将横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 答案　AC 解析　正弦曲线y＝sin x先向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，故A正确，B错误； 先将正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝sin的图象，故C正确，D错误. (2)(2025·西安模拟)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则m的值可以是(　　) A. B.π C. D. 答案　D 解析　将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得到函数y＝2sin的图象，因为所得图象关于原点对称，所以2m－＝kπ，k∈Z，解得m＝k∈Z，当k＝3时，m＝. 题型三　三角函数图象、性质的综合应用 例3　(1)如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位：分钟)为(　　) A. B.3 C. D. 答案　C 解析　设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h， 依题意，A＝20，h＝25，T＝10，所以ω＝ 又f(0)＝5，所以φ＝－. 所以f(t)＝20sin＋25＝25－20cos t. 依题意25－20cos t≥35， 所以cos t≤－ 又0≤t≤10，解得≤t≤ 则摩天轮转动一周内，有(分钟)会有最佳视觉效果. (2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　因为y＝cos向左平移个单位长度所得函数为y＝cos＝cos＝－sin 2x， 所以f(x)＝－sin 2x， 而直线y＝x－显然过与(1，0)两点， 作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示， 考虑2x＝－2x＝2x＝ 即x＝－x＝x＝处f(x)与y＝x－的大小关系， 当x＝－时，f ＝－sin＝－1， y＝×＝－<－1； 当x＝时，f ＝－sin＝1， y＝×<1； 当x＝时，f ＝－sin＝1， y＝×>1. 所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3. 三角函数中有关ω的范围问题 题型一　三角函数的单调性与ω的关系 例1　已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在上存在最值，且在上单调，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　当0<x<时，因为ω>0，则－<ωx－< 因为函数f(x)在上存在最值，则>解得ω>2， 当<x<π时<ωx－<πω－ 因为函数f(x)在上单调， 则⊆(k∈Z)， 所以其中k∈Z，解得k－≤ω≤k＋(k∈Z)， 所以k－≤k＋(k∈Z)，解得k≤且k∈Z， 又因为ω>0，则k∈{0，1，2}. 当k＝0时，0<ω≤； 当k＝1时，1≤ω≤； 当k＝2时≤ω≤. 又因为ω>2，因此ω的取值范围是. 题型二　三角函数的对称性与ω的关系 例2　(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)＝sin在上有三条对称轴和两个极小值，则(　　) A.<ω≤ B.<ω≤ C.－≤ω<－ D.－≤ω<－ 答案　C 解析　∵x∈ ①当ω>0时，ωx＋∈ 若f(x)在上有两个极小值，则f(x)至少有4条对称轴，不满足题意； ②当ω<0时，ωx＋∈ 又函数f(x)＝sin在上有三条对称轴和两个极小值， ∴－≤<－解得－≤ω<－ 综上，－≤ω<－. 题型三　三角函数的最值与ω的关系 例3　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则实数ω的取值范围是　　　　　　.  答案　(－∞，－2]∪ 解析　显然ω≠0. 若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω， 因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－解得ω≥； 若ω<0，当x∈时ω≤ωx≤－ω， 因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪. 题型四　三角函数的零点与ω的关系 例4　(2025·福州模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，2]内有且仅有5个零点，则f(x)在[0，2]内的极值点个数为(　　) A.4 B.4或5 C.5 D.5或6 答案　D 解析　因为ω>0，当x∈[0，2]时， ≤ωx＋≤2ω＋ 由函数f(x)在[0，2]内有且仅有5个零点，得5π≤2ω＋<6π， 当5π≤2ω＋<π时，函数f(x)在[0，2]内有5个极值点，当π≤2ω＋<6π时，函数f(x)在[0，2]内有6个极值点， 所以f(x)在[0，2]内的极值点个数为5或6. 正弦定理、余弦定理 题型一　利用正弦、余弦定理解三角形 例1　(1)(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2.若b＝a＝3sin B，则C等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　在△ABC中，由b2＋c2＋bc＝a2及余弦定理，可得cos A＝＝－ 由0<A<π，可得A＝ 又b＝a＝3sin B， 由正弦定理得sin B＝ 又sin B>0，解得sin B＝ 又0<B<因此B＝ 所以C＝π－A－B＝. (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为b＝8，c＝3，A＝60°， 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7， 所以此三角形外接圆的直径2R＝所以R＝. 题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用 例2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 答案　D 解析　方法一　因为c－acos B＝(2a－b)cos A， C＝π－(A＋B)， 所以由正弦定理得sin C－sin Acos B ＝2sin Acos A－sin Bcos A， 所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B ＝2sin Acos A－sin Bcos A， 所以cos A(sin B－sin A)＝0， 所以cos A＝0或sin B＝sin A， 所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)， 所以△ABC为等腰或直角三角形. 方法二　因为c－acos B＝(2a－b)cos A， 由余弦定理得 c－a·＝(2a－b)· 化简得(a－b)(b2＋c2－a2)＝0， 所以a－b＝0或b2＋c2－a2＝0， 所以a＝b或b2＋c2＝a2， 故△ABC为等腰或直角三角形. 例3　(2024·武汉模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝b＝6，a2＋c2＝2ac，则△ABC的面积为　　　　　　.  答案　3 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即36＝a2＋c2＋ac＝2ac＋ac＝3ac， 所以ac＝6 所以△ABC的面积 S＝acsin B＝×6×＝3. 例4　已知D是Rt△ABC斜边BC上一点，AC＝DC. (1)若∠DAC＝30°，则∠ADC＝　　　　　　；  (2)若BD＝2DC，且DC＝1，则AD的长为　　　　　　.  答案　(1)120°　(2) 解析　(1)在△ADC中，由正弦定理得 所以sin∠ADC＝× 又∠ADC＝B＋∠BAD＝B＋(90°－∠DAC)＝B＋60°>60°， 所以∠ADC＝120°. (2)由BD＝2DC，且DC＝1知BC＝3， 又AC＝DC，则AC＝ 所以Rt△ABC中，cos C＝ 在△ADC中，由余弦定理得 AD2＝AC2＋DC2－2AC·DC·cos C＝()2＋1－2×1×＝2， 所以AD＝. 典例　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝8，c＝9，则AC边上的中线长为　　　　.  答案　7 解析　方法一　在△ABC中，设BD是AC边上的中线，由中线长定理知， AB2＋BC2＝2(BD2＋DC2)， 即c2＋a2＝2， 则BD2＝＝49，BD＝7， 故AC边上的中线长为7. 方法二　因为a＝7，b＝8，c＝9，由余弦定理得cos B＝. 设D是AC的中点，则)， 两边平方得||2＝＋2·) ＝×＝49， 所以||＝7，即AC边上的中线长为7. (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC＝，AD＝2，则2b＋c的最小值为　　　　　　　.  答案　6＋4 解析　如图，∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD ＝∠BAC＝， 由张角定理得， 即，∴， ∴2b＋c＝(2b＋c)×2 ＝6＋≥6＋2 ＝6＋4(当且仅当且， 即c＝b＝2＋2时取等号). 解三角形中的最值与范围问题 题型一　利用基本不等式求最值(范围) 例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值. 解　(1)由 结合正弦定理得 所以tan A＝ 又因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc， 即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立， 所以S△ABC＝bcsin A≤×4× 即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为. 题型二　转化为三角函数求最值(范围) 例2　(2024·广州模拟)如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，AB＝3，BC＝7，△ACD为正三角形. (1)求AC的取值范围； (2)设∠ABC＝α，当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值. 解　(1)因为四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，所以∠BAC＋∠CAD<π， 又因为△ACD为正三角形，∠CAD＝ 所以0<∠BAC< 在△ABC中，由余弦定理得 ＝cos∠BAC， 又因为－<cos∠BAC<1， 将AB＝3，BC＝7代入并整理得AC2＋3AC－40>0，且AC2－6AC－40<0，解得5<AC<10， 所以AC的取值范围是(5，10). (2)在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos α＝9＋49－2×3×7cos α＝58－42cos α， 由(1)知5<AC<10， 则cos α＝∈ 又因为△ACD为正三角形， 所以S△ACD＝AC2＝cos α， 又S△ABC＝AB·BC·sin α＝sin α， 所以＝S△ACD＋S△ABC ＝cos α＋sin α ＝21× ＝21sin 所以当α－即α＝时，cos ＝－∈成立， 此时四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为21＋. 题型三　转化为其他函数求最值(范围) 例3　(2024·北京模拟)在△ABC中，AB＝5，D在边AB上，且2BD＝3AD，BC＝2CD. (1)若CD＝2，求△ABC的周长； (2)求△ACD周长的最大值. 解　(1)若CD＝2，则BC＝2CD＝4， 又AB＝5，2BD＝3AD，所以BD＝3，AD＝2， 在△BCD中，由余弦定理得 cos B＝ 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝25＋16－2×5×4×＝6， 故AC＝ 故△ABC的周长为5＋4＋＝9＋. (2)由(1)知，BD＝3，AD＝2， 设CD＝x，则BC＝2x， 由三边关系可得解得1<x<3， 在△BCD中，由余弦定理得 cos B＝ 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝25＋4x2－2×5×2x×＝10－x2， 故AC＝ 所以△ACD的周长为＋x＋2， 令f(x)＝＋x＋2，1<x<3， 则f'(x)＝＋1＝x∈(1，3)， 当1<x<时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当<x<3时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 故f(x)在x＝处取得极大值，也是最大值， 故△ACD周长的最大值为f()＝＋2＝2＋2. 解三角形应用举例 题型一　测量距离问题 例1　(1)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 答案　A 解析　依题意，如图，在△ABC中，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°， AB＝40×＝20(海里)， 由正弦定理得 即 因此BC＝＝10(海里)， 所以B，C两点间的距离是10 海里. (2)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为10 km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，则基站A，B之间的距离为(　　) A.10 km B.30(－1)km C.30(－1)km D.10 km 答案　D 解析　在△ACD中，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又∠ADB＝75°， 所以∠BDC＝45°，∠CAD＝30°，∠ACD＝∠CAD＝30°，所以AD＝CD＝10 在△BCD中， ∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°， 由正弦定理得BD＝＝5＋5 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝－2×10×(5＋5)cos 75°＝500， 所以AB＝10即基站A，B之间的距离为10 km. 题型二　测量高度问题 例2　(1)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量学著作.现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1 000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3丈＝5步) (　　) A.1 200步 B.1 300步 C.1 155步 D.1 255步 答案　D 解析　设海岛的高为h步，由题意知，FM＝GN＝5，AM＝123，BN＝127，MN＝1 000， 则 即AC＝ BC＝ 所以MN＝BC－AC－BN＋AM， 则1 000＝－127＋123，解得h＝1 255， 即海岛的高为1 255步. (2)(2025·南京模拟)如图，某中学校园内的景观树已有百年历史，小明为了测量景观树高度，他选取与景观树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得景观树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则景观树的高度为(　　) A.10 米 B.20 米 C. 米 D. 米 答案　D 解析　 依题意可得如图图形， 在△ABC中，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40， 由正弦定理得 解得BC＝＝20 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°， 所以CD＝BCtan 30°＝20× 所以景观树的高度为米. 题型三　测量角度问题 例3　如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离(30－30)海里处有一个小岛C. (1)求小岛A到小岛C的距离； (2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向. 解　(1)在△ABC中，AB＝60，BC＝30－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°， 根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝602＋(30－30)2－2×60×(30－30)·cos 120°＝ 5 400， 所以AC＝30. 所以小岛A到小岛C的距离是30 海里. (2)根据正弦定理得 所以 解得sin∠ACB＝ 在△ABC中，因为AB<AC，所以∠ACB为锐角，所以∠ACB＝45°， 所以∠CAB＝180°－120°－45°＝15°. 由75°－15°＝60°， 得游船应该沿北偏东60°的方向航行. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 任意角和弧度制、三角函数的概念 题型一　角及其表示 例1　(1)(2025·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　) A.－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上 (2)如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为　　　　　　　　.  题型二　弧度制及其应用 例2　(1)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414≈1.732)(　　) A.1.612米 B.1.768米 C.1.868米 D.2.045米 (2)已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. ①若α＝R＝10 cm，求扇形的弧长l； ②若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ ③若α＝R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积. 题型三　三角函数的概念 例3　(1)若角α满足sin α·cos α<0，cos α－sin α<0，则α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2)(2025·深圳模拟)若角α的终边过点(4，3)，则sin等于(　　) A. B.－ C. D.－ 同角三角函数基本关系式及诱导公式 题型一　同角三角函数基本关系式 例1　(1)(2024·广州模拟)已知sin α－cos α＝则tan α＋的值为(　　) A.－ B.－4 C. D.4 (2)已知tan α＝－3，则等于(　　) A.－ B. C. D.－ 题型二　诱导公式 例2　(1)若sin(π＋α)＝则sin(π－α)＋cos等于(　　) A.－ B. C. D.－ (2)(2025·沧州模拟)已知cos则sin等于(　　) A.－ B. C. D.－ 题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例3　(1)(2024·商洛模拟)已知sin(5π＋α)＝5sin则sin 2α＋sin2α等于(　　) A.－ B. C. D. (2)已知α∈β∈且sincossin(π＋α)＝sin则β－α＝　　　　　　.  两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一　两角和与差的三角函数公式 例1　(1)若＝3，则tan等于(　　) A.－3 B.－ C. D.3 (2)(2024·厦门模拟)若cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α等于(　　) A.B.－ C. D.－ 题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 例2　(1)(2024·南充模拟)已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x.若x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos等于(　　) A. B.－ C. D.－ (2)tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝　　　　　　.  题型三　角的变换问题 例3　(1)已知sinα∈则cos α等于(　　) A. B. C. D. (2)(2024·杭州模拟)已知α∈β∈若sin(α＋β)＝cos β＝则sin α等于(　　) A. B. C. D. 简单的三角恒等变换 题型一　三角函数式的化简 例1　(1)sin2＋sin2－sin2α等于(　　) A.－ B.－ C. D. (2)化简：＝　　　　.  题型二　三角函数式的求值 例2　(2024·宜昌模拟)古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，则＝　　　　　　.  例3　(2024·石家庄模拟)已知cos则sin等于(　　) A.－ B. C.－ D. 例4　已知sin α＝cos β＝且α，β为锐角，则α＋2β＝　　　　　　.  题型三　三角恒等变换的综合应用 例5　已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋.若f 则sin 2α的值为　　　　　　.  三角函数的图象与性质 题型一　三角函数的定义域和值域 例1　(1)函数y＝的定义域为　　　　　　　　　　　　.  (2)函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的值域为　　　　　　.  题型二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性 例2　(1)(多选)(2024·淄博模拟)已知函数f(x)＝sin＋1，则下列结论中正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期T＝π B.函数f(x)的图象关于点对称 C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D.函数f(x)在区间[0，2π]上有4个零点 (2)(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝cos(x＋φ)，则“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例4　(2025·广州模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间[a，b]上单调递减，且f(a)＝1，f(b)＝－1，b－a＝则ω等于(　　) A. B.1 C. D.2 函数y＝Asin(ωx＋φ) 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1　(1)(多选)为了得到函数f(x)＝sin的图象，只需把正弦曲线上所有的点(　　) A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的纵坐标不变 B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.先将横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 (2)(2025·西安模拟)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则m的值可以是(　　) A. B.π C. D. 题型三　三角函数图象、性质的综合应用 例3　(1)如图所示，摩天轮的半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度视觉效果最佳，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度(单位：分钟)为(　　) A. B.3 C. D. (2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 三角函数中有关ω的范围问题 题型一　三角函数的单调性与ω的关系 例1　已知函数f(x)＝2sin(ω>0)在上存在最值，且在上单调，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 题型二　三角函数的对称性与ω的关系 例2　(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)＝sin在上有三条对称轴和两个极小值，则(　　) A.<ω≤ B.<ω≤ C.－≤ω<－ D.－≤ω<－ 题型三　三角函数的最值与ω的关系 例3　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则实数ω的取值范围是　　　　　　.  题型四　三角函数的零点与ω的关系 例4　(2025·福州模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，2]内有且仅有5个零点，则f(x)在[0，2]内的极值点个数为(　　) A.4 B.4或5 C.5 D.5或6 正弦定理、余弦定理 题型一　利用正弦、余弦定理解三角形 例1　(1)(2025·重庆模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2.若b＝a＝3sin B，则C等于(　　) A. B. C. D. (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R等于(　　) A. B. C. D. 题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用 例2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 例3　(2024·武汉模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝b＝6，a2＋c2＝2ac，则△ABC的面积为　　　　　　.  例4　已知D是Rt△ABC斜边BC上一点，AC＝DC. (1)若∠DAC＝30°，则∠ADC＝　　　　　　；  (2)若BD＝2DC，且DC＝1，则AD的长为　　　　　　.  典例　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝8，c＝9，则AC边上的中线长为　　　　.  (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC＝，AD＝2，则2b＋c的最小值为　　　　　　　.  解三角形中的最值与范围问题 题型一　利用基本不等式求最值(范围) 例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值. 题型二　转化为三角函数求最值(范围) 例2　(2024·广州模拟)如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，AB＝3，BC＝7，△ACD为正三角形. (1)求AC的取值范围； (2)设∠ABC＝α，当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值. 题型三　转化为其他函数求最值(范围) 例3　(2024·北京模拟)在△ABC中，AB＝5，D在边AB上，且2BD＝3AD，BC＝2CD. (1)若CD＝2，求△ABC的周长； (2)求△ACD周长的最大值. 解三角形应用举例 题型一　测量距离问题 例1　(1)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 (2)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为10 km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，则基站A，B之间的距离为(　　) A.10 km B.30(－1)km C.30(－1)km D.10 km 题型二　测量高度问题 例2　(1)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量学著作.现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1 000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3丈＝5步) (　　) A.1 200步 B.1 300步 C.1 155步 D.1 255步 (2)(2025·南京模拟)如图，某中学校园内的景观树已有百年历史，小明为了测量景观树高度，他选取与景观树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得景观树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则景观树的高度为(　　) A.10 米 B.20 米 C. 米 D. 米 题型三　测量角度问题 例3　如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离(30－30)海里处有一个小岛C. (1)求小岛A到小岛C的距离； (2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向. 学科网（北京）股份有限公司 $$