2025年高一数学秋季开学摸底考01（全国通用）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025年秋季高一数学开学摸底考试模拟卷01 数学答案及评分标准 一、单选题：本题共10小题，每小题1分，共10分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的，将唯一正确的答案填涂在答题卡上 3 5 C D B D D y B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD BC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.xx>1或x<-2) 136引 14.129 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步躁。 15.(13分) 解：(1)当a=1时，A=(-21 43分 B=（-0,-U[2+o), 所以AUB=(-o,1U[2,+o): 006分 (2)A=(-,32,因为AnB=A台AcB, 又因为A≠0，所以-2-粗<2，解得aE(-1,. 13分 16.(15分) 解：(1)因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故y=2×6+4x=360+4x≤260x>0, 3分 化简得x2-65x+900≤0x>0,解得20≤x≤45， 所以x的取值范围为x20≤x≤45) 7分 (2)由(1)可知y=360°+4xx>0, 因为360+4x≥23600.4x=240,当且仅当3600=4x即x=30时等号成立， 44412分 所以当x=30时，一年的总费用最小， ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故x的值为30. 15分 17.(15分) 解：(1)关于x的不等式ax2+bx-12≥0的解集为(xx≤-3或x≥4}， .a>0,且-3和4是方程ax2+bx-12=0的两实数根，3分 -3+4=-6 由根与系数的关系知， -3×4=-色，解得a=1,b=-1, 47分 (2)由(1)知，a=1,b=-1时， 不等式bx2+ax+6≥0为-x2+x+6≥0=(x+2)(x-3)≤0.10分 -2≤x≤3， .不等式bx2+ax+6≥0的解集是{x-2≤x≤3…15分 18,17分) 解：(1)由题意可知f(0)=0,故n=0, 2分 又f1)=1可得f1)=十1=1，解得m=2: 4分 所以f)=x2+xe[-1,, 此时f)定义域关于原点对称，且f(-)=群=一华=-f), -2x 故f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，满足题意， 所以7m=2,n=0. 5分 (2)f(x)在[-1,1]上单调递增，证明如下： 取任意x1x2∈[-1,1，且x1<x2, 则f0-f)=器-器--20 (x2+1)(x3+1) (经+1（经+1）方7 分 因为x1x2e[-1,1],且x1<x2: 所以x1-x2<0,x子+1>0x径+1>0，x1x2<1, 所以1-x1x2>0, 9分 所以-f-a<0.即<f 因此f(x)在[-1,1]上单调递增 10分 (3)由(1)(2)可知，f(x)是在[-1,1]上单调递增的奇函数， 所以由f(a-1)+f(a2-1)<0可得f(a-1)<-f(a2-1)=f(1-a2), .12分 0≤a≤2 因此需满足 解得 2≤a≤2，即0≤a<1: a-1<1-a2 -2<a<1 故实数a的取值范围为[0,1)15分 19.(17分) ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：(1)由题意可得：A8B=(-1,-1).(-1,1).(0,-1).(0,1).(1,-1),(1,1) .2分 B⑧A=(-1,-1).(-1,0).(-1,1).(1,-10(1,0).(1,10}… 44分 (2)若A1=A2,设A1=A2=A, 由定义可知：A1☒A2={(a,b)川aeA且b∈A}=A2⑧A1, 所以“A1☒A2=A2☒A1”是“A1=A2"的必要条件； 7分 若A⑧A2=A2⑧A1,对任意(a,b)EA1⑧A2,均有(a,b)∈A2⑧A1 即对任意aeA1,b∈A2,均有aeA2,b∈A1, 由任意性可知A1SA2,A2SA1,则A1=A2, 所以“A1⑧A2=A2⑧A1”是“A1=A2”的充分条件；10分 综上所述：“A1⑧A2=A2⑧A1”是“A1=A2”的充要条件 (3)Al=clA2l=dc,dE N', 则A18A2l=|A2⑧A1l=cd=m3,A1⑧A1l=c2,1A2☒A2l=d2, 可得4841+M8=+=+≥2.d=2, 1428A cd 12分 当且仅当=。，即c=d时，等号成立， 所以实数a的取值范围(-o,v2 若a取到最大值，则c=d,即IA1=|Az 可得c2=m3,即c=vm=(vm3eN, 所以m=k2,k∈N… ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高一数学开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高一数学开学摸底考试模拟卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：初高中衔接知识+人教A版必修一前三章知识 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 6．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 8．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 10．若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 不等式的解集为 ． 13． 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 14． 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．(13分)已知全集为，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．(15分)2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 17．(15分)已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 18．(17分)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使成立的实数a的取值范围. 19．(17分)高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年秋季高一数学开学摸底考试模拟卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：初高中衔接知识+人教A版必修一前三章知识 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 6．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 8．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 10．若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 不等式的解集为 ． 13． 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 14． 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．(13分)已知全集为，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．(15分)2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 17．(15分)已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 18．(17分)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使成立的实数a的取值范围. 19．(17分)高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高一数学开学摸底考试模拟卷01 数学•全解全析 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的定义可得. 【详解】由题意可得. 故选：C. 2．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 3．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，不符合题意；当时，根据二次函数的图象列式可得结果. 【详解】当时，的定义域为，不符合题意； 当时，依题意得在R上恒成立，则， 解得. 故选：D 4．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然 ，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则 ，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 5．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可； 【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得. 故选：D 7．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 8．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期. 二、多选题 9．下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 10．若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 11．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 【答案】AC 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以， 解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，， 所以，即函数的值域为，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，，其图象的对称轴为直线，且，， 所以函数在上的值域为，故D不正确． 故选：AC． 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果. 【详解】根据分式不等式解法可知等价于， 由一元二次不等式解法可得或； 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 13．已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有 种． 【答案】 【分析】讨论A中最大的数，分别求出A和B的非空子集，从而求得正确答案. 【详解】当A中最大的数为1时，B可以是的非空子集， 有（种）选择方法； 当A中最大的数为2时，A可以是或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为3时，A可以是，，或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为时，A可以是，，，，，，, 或，B可以是的非空子集，有（种）选择方法. 当中最大的数为时，可以是：，， ，， ，是，有（种）选择方法. 所以满足条件的集合共有（种）不同的选择方法. 故答案为： 四、解答题 15．已知全集为，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）当时，求得集合，进而可求； （2）由已知可得，可得且，求解即可. 【详解】（1）当时，.....................................................................................................3分 ， 所以；..............................................................................................................6分 （2），因为， 又因为，所以且，解得，．................................................................13分 16．(15分)2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， ...........................................................................................3分 化简得，解得， 所以x的取值范围为.............................................................................................................7分 （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立，...................................12分 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30.................................................................................................................................................15分 17．(15分)已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）代入参数，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）关于的不等式的解集为或， ∴，且和4是方程的两实数根，................................................................3分 由根与系数的关系知，，解得；...............................................................7分 （2）由（1）知，时， 不等式为.......................................................10分 ， ∴不等式的解集是..............................................................................15分 18．(17分)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使成立的实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【详解】（1）由题意可知，故，.........................................................................................2分 又由可得，解得；....................................................................................4分 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以...........................................................................................................................................5分 （2）在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则；....................................................7分 因为，且， 所以，， 所以，......................................................................................................................................9分 所以，即， 因此在上单调递增......................................................................................................................10分 （3）由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数， 所以由可得，........................................12分 因此需满足，解得，即； 故实数a的取值范围为........................................................................................................................15分 19．(17分)高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. 【详解】（1）由题意可得：，.......................2分 ............................................................................4分 （2）若，设， 由定义可知：且 ， 所以“”是“”的必要条件；................................................................................7分 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件；..............................................................................10分 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）设， 则，， 可得，...................................................................12分 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围.................................................................................................................14分 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以.......................................................................................................................................17分 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$