二 1 命题与证明-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

68 二　全等三角形 1　命题与证明 1. 一个命题的条件和结论分别为另一个命题 的 和 的两个命题,称为互 逆命题.如果我们将其中一个命题称为原命 题,那么另一个命题就是这个原命题的 . 2. (1) 要判断一个命题是真命题,则要从命题 的 出发,根据已学过的 、 定义、性质和定理等,进行有理有据的推理, 这种推理的过程叫作证明. (2) 命题的证明的一般步骤:第一步,依据题 意画图,将 语言转换为 语 言;第二步,根据图形写出已知、求证;第三步, 根据 、已有 等进行证明. 3. 如果一个定理的 是真命题,那么 这个逆命题也可以称为原定理的逆定理. 一个定理和它的逆定理是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(教材P38练习第1题变式)写出下列命 题的逆命题,并判断其逆命题的真假.对于假命 题,请举出反例说明. (1) 直角都相等; (2) 同旁内角互补,两直线平行; (3) 如果a+b>0,那么a>0,b>0. 先分析原命题的条件和结论,然后交换位 置,得到逆命题. 解答: 解有所悟:(1) 原命题和逆命题是成对出现的;每 一个命题都有它的逆命题;写一个命题的逆命题只 需要将它的条件和结论互换.(2) 原命题的真假与 逆命题的真假无关. 典例2(教材P39习题第5题变式)求证:两直 线平行,内错角的平分线也平行. 命题的条件是“两直线平行”,结论是“内 错角的平分线也平行”,根据条件和结论画出图 形,结合图形写出已知和求证,利用平行线的性 质和判定进行证明即可. 解答: 解有所悟:对于文字命题的证明,应当按下列步骤 进行:第一步,依据题意画图,将文字语言转换为符 号(或图形)语言;第二步,根据图形写出已知、求 证;第三步,根据基本事实、已有定理等进行证明. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 拍 照 批 改 69 [基础过关] 1. 在证明过程中,不能用来作为推理依据的是 ( ) A. 公理 B. 定理 C. 定义 D. 命题 2. 下列命题的逆命题是真命题的为 ( ) A. 如果a>b,那么ac>bc B. 如果a=b=0,那么ab=0 C. 如果a>b,那么a2>b2 D. 如果|a|=|b|,那么a=b 3. 下列定理中,没有逆定理的是 ( ) A. 同旁内角互补,两直线平行 B. 直角三角形的两锐角互余 C. 互为相反数的两个数的绝对值相等 D. 两直线平行,内错角相等 4. 对于命题“如果∠1=∠2=90°,那么∠1与 ∠2互补”,能说明这个命题的逆命题是假命 题的反例为 ( ) A. ∠1=80°,∠2=110° B. ∠1=10°,∠2=169° C. ∠1=60°,∠2=120° D. ∠1=60°,∠2=140° 5. 写出下面命题的逆命题,并判断原命题和逆 命题的真假. (1) 若m2≠n2,则m≠n; (2) 如果一个三角形有一个内角是钝角,那 么这个三角形的另外两个内角都是锐角. 6. 如图,在△ABC 中,点D,E 分别在边AB, AC 上,EF 交DC 于点F,∠3+∠2=180°, ∠1=∠B.求证:DE∥BC. 第6题 [综合提升] 答案讲解 7. 如图,∠1+∠ABC=180°,请你从 下列三个条件中,选出两个作为已 知条件,另一个作为结论,组成一个 真命题,并证明. ① BE 是∠ABC 的平分线;② ∠E=∠2; ③ DF∥AB. 你选择的条件是 ,结论是 (填序号). 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 20 得x=12. 经检验,x=12 是原分式方程的解.(2) 方程两 边同乘(x+2)(x-2),得x2+2x-x2+4=3,解得x= -12. 经检验,x=-12 是原分式方程的解. 17. x+1 x-2+1 ÷2x 2-x x2-4= x+1+x-2 x-2 ·(x+2)(x-2) x(2x-1) = 2x-1 x-2 ·(x+2)(x-2) x(2x-1) = x+2 x ,当x=-3时,原式= -3+2 -3 = 1 3. 18. (1) 8 3. (2) 根据题意,得|2-(-1)2|-1x+1=1 ,解 得x=1.经检验,x=1是原分式方程的解.∴ x 的值为 1.(3) 嘉嘉输入的第二个数为“0”,导致1b 没有意义, ∴ 屏幕显示“这个程序无法运行”. 19. 原分式方程可化为x-1 x+2- x+2 x-1=0. 设y= x-1 x+2 ,则 原分式方程转化为y- 1 y=0. 方程两边同乘y,得y2- 1=0.∴ y=±1.经检验,y=±1是方程y- 1 y=0 的解. 当y=1,即 x-1 x+2=1 时,无解;当y=-1,即 x-1 x+2=-1 时,解得x=-12. 经检验,x=-12 是原分式方程的解. 综上所述,原分式方程的解为x=-12. 20. (1) A=a 2-4 a-1× a-1 (a-2)2= (a+2)(a-2) a-1 × a-1 (a-2)2= a+2 a-2. (2) 变小了.理由:∵ A=a+2a-2 ,A 化简结果的分子 与分母同时加上3,得到分式B,∴ B=a+5a+1.∴ A-B= a+2 a-2 - a+5 a+1 = (a+2)(a+1)-(a+5)(a-2) (a-2)(a+1) = a2+3a+2-(a2+3a-10) (a-2)(a+1) = 12 (a-2)(a+1).∵ a>2, ∴ A-B>0.∴ A>B.∴ 分式B 的值与原来分式A 的 值相比,变小了.(3) A=a+2a-2=1+ 4 a-2.∵ A 的值是整 数,a也是整数,∴ a-2=±1或a-2=±2或a-2= ±4.∴ a=3,1,4,0,6,-2.∵ a=1时,分式A 没有意 义,∴ 所有符合条件的a的值为3,4,0,6,-2. 21. (1) 设A种工艺品的单价为x元,则B种工艺品的单 价为 (x-50)元.根据题意,得600x = 450 x-50 ,解得x= 200.经检验,x=200是原分式方程的解.∴ x-50=150. ∴ A种工艺品的单价为200元,B种工艺品的单价为 150元.(2) 设购买A种工艺品m 件,则购买B种工艺品 (200-m)件.根据题意,得200m+150(200-m)≤ 30 500,解得m≤10.∴ 5≤m≤10且m 为正整数.∴ m= 5,6,7,8,9,10.∴ 工厂共有6种购买方案. 二　全等三角形 1 命题与证明 知识梳理 1. 结论 条件 逆命题 2. (1) 条件 基本事实 (2) 文字 符号(或图形) 基本事实 定理、性质、定义 3. 逆命题 互逆定理 典例演练 典例1 (1) 逆命题:相等的角都是直角.假命题.反例不 唯一,如∠1=30°,∠2=30°,∠1=∠2,但∠1与∠2都不 是直角.(2) 逆命题:两直线平行,同旁内角互补.真命题. (3) 逆命题:如果a>0,b>0,那么a+b>0.真命题. 典例2 如图,直线AB∥CD,EF 分别交AB,CD 于点G, H,GM,HN 分别平分∠AGF,∠EHD.求证:GM∥HN. 证明:∵ GM,HN 分别平分∠AGF,∠EHD(已知), ∴ ∠1=12∠AGF ,∠2=12∠EHD (角平分线的定义). 又 ∵ AB∥CD(已知),∴ ∠AGF=∠EHD(两直线平 行,内错角相等).∴ ∠1=∠2(等量代换).∴ GM∥HN (内错角相等,两直线平行). 典例2图 预学训练 1. D 2. D 3. C 4. C 5. (1) 逆命题:若m≠n,则m2≠n2.原命题是真命题,逆 命题是假命题.(2) 逆命题:如果一个三角形有两个内角 是锐角,那么这个三角形的另一个内角是钝角.原命题是 真命题,逆命题是假命题. 6. ∵ ∠DFE+∠2=180°,∠3+∠2=180°,∴ ∠DFE= ∠3.∴ BD∥EF.∴ ∠1= ∠ADE.∵ ∠1= ∠B, ∴ ∠ADE=∠B.∴ DE∥BC. 7. 答案不唯一,如①②;③.∵ BE 是∠ABC 的平分线, ∴ ∠2= ∠CBE.∵ ∠E = ∠2,∴ ∠CBE = ∠E. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 ∴ AE∥BC.∴ ∠A+∠ABC=180°.∵ ∠1+∠ABC= 180°,∴ ∠A=∠1.∴ DF∥AB. 2 全等图形 知识梳理 1. (1) 完全重合 (2) 对应点 对应边 对应角 (3) △ABC≌△A'B'C' 对应 2. 相等 相等 典例演练 典例 (1) ∵ △ABC≌△DEB,∴ AB=DE=7,BE= CB=4.∴ AE=AB-BE=7-4=3.(2) ∵ △ABC≌ △DEB,∴ ∠A=∠D=35°.又∵ ∠C=60°,∴ ∠ABC= 180°-∠A-∠C=180°-35°-60°=85°. 预学训练 1. A 2. C 3. B 4. A 5. ④ 6. ∵ △ABC≌△EFD,∴ AC=DE.∵ DE=CD+ CE=2+2.5=4.5,∴ AC=4.5. 7. (1) ∵ BE⊥AD,∴ ∠EBD=90°.∵ △ACF≌ △DBE,∴ ∠FCA=∠EBD=90°.∴ ∠A=180°-90°- ∠F=28°.(2) ∵ △ACF≌△DBE,∴ CA=BD.∴ CA- CB=BD-BC,即AB=CD.∵ AD=9cm,BC=5cm, ∴ AB+CD=AD-BC=9-5=4(cm).∴ AB=2cm. 8. 20° 9. 2或6 解析:设 BE=x,则 BF=2x.△AEG 与 △BEF 全等有两种情况:① AG=BE=x,AE=BF= 2x.∵ AB=6,∴ x+2x=6,解得x=2,即AG=2. ② AG=BF=2x,BE=AE=x.∵ AB=6,∴ x+x=6, 解得x=3.∴ AG=2×3=6.综上所述,AG 的长为2 或6. 10. (1) ∵ △BAD≌△ACE,∴ BD=AE,AD=CE. ∴ BD=AE=AD+DE=CE+DE,即BD=DE+CE. (2) 当△ABD 满足∠ADB=90°时,BD∥CE.理由: ∵ △BAD≌△ACE,∴ ∠E=∠ADB=90°(满足的条件 是∠ADB=90°).∴ ∠BDE=180°-∠ADB=90°= ∠E.∴ BD∥CE. 3 全等三角形的判定 第1课时　“边边边”“边角边” 知识梳理 1. 分别相等 SSS 2. 稳定性 3. 夹角 SAS 典例演练 典例1 ∵ C 是AB 的中点,∴ AC=CB.在△ACD 和 △CBE 中,∵ AD=CE, CD=BE, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△CBE(SSS). ∴ ∠ACD=∠B.∴ CD∥BE. 典例2 ∵ ∠DAB=∠CAE ,∴ 易得∠DAE=∠CAB. 在△ACB和△ADE中,∵ AC=AD, ∠CAB=∠DAE, AB=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌ △ADE(SAS).∴ BC=ED. 预学训练 1. C 2. C 3. C 4. 100° 5. 答案不唯一,如OB=OD 6. 能.∵ AE=13AB ,AF=13AC ,AB=AC,∴ AE= AF.在△AEO 和△AFO 中,∵ AE=AF, OE=OF, OA=OA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEO≌ △AFO(SSS).∴ ∠BAD=∠CAD.∴ 这样设计能达到 要求. 7. ∵ DE∥AC,∴ ∠EDB=∠A.在△DEB 和△ABC 中,∵ DE=AB, ∠EDB=∠A, BD=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEB≌△ABC(SAS). 8. 选择不唯一,如选择①.在△ABF 和△CDE 中, ∵ AB=CD, AF=CE, BF=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△CDE(SSS).∴ ∠B=∠D. ∵ BF=DE,∴ BF+EF=DE+EF,即BE=DF.在 △ABE 和 △CDF 中,∵ AB=CD, ∠B=∠D, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △CDF(SAS).∴ ∠AEB=∠CFD.∴ AE∥CF. 9. B 10. D 11. (1) 补充条件:AE=AD.在△ABE 和△ACD 中, ∵ AE=AD, AB=AC, BE=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACD(SSS).(2) ∵ △ABE≌ △ACD,∴ ∠BAE=∠CAD.∵ ∠BAE=∠BAC+ ∠CAE,∠CAD=∠DAE+∠CAE,∴ ∠DAE=∠BAC= 40°.(3) ∵ △ABE ≌ △ACD,∴ ∠B = ∠ACD. ∵ ∠BAC+∠B+∠ACB=∠DCE+∠ACD+∠ACB= 180°,∴ ∠DCE=∠BAC. 12. (1) 根据题意,得∠ABE=∠CBD=90°.在△ABE 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈