一 3 分式的加减-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

17 乘,则x 2+x x2-1× x x+1= x(x+1) x2-1 × x x+1= x2 x2-1. 由题意, 易得x≠0,±1,∴ x 只能取2.当x=2时,x 2 x2-1= 22 22-1= 4 3. 14. 正确.理由:∵ x2-4 x2+x+1÷ x2-2x x3+x2+x · 1 x+2= (x+2)(x-2) x2+x+1 ·x(x 2+x+1) x(x-2) · 1 x+2=1 ,即不论x 取 何值(分式有意义),代数式的值都是1,∴ 琪琪的说法是 正确的. 15. 甲工程队修900m所用的时间为 900a2-4 天,乙工程队 修600m所用的时间为 600(a-2)2 天.根据题意,得 900a2-4÷ 600 (a-2)2= 900 (a+2)(a-2) ·(a-2) 2 600 = 3a-6 2a+4.∴ 甲工程 队修900m所用的时间是乙工程队修600m所用的时间 的3a-6 2a+4 倍. 3 分式的加减 知识梳理 1. 不变 相加(或相减) A±CB 2. 同分母 相同 最 简 3. 通分 同分母 A ·D B·D± B·C B·D A·D±B·C B·D 4. 乘除 加减 括号 括号内的 典例演练 典例1 (1) 原式=2 (x2-y2) x-y = 2(x+y)(x-y) x-y =2 (x+ y)=2x+2y.(2) 原式=m+2nn-m - n n-m- 2m n-m= m+2n-n-2m n-m = n-m n-m=1. 典例2 (1) 原式=c 3 abc+ a3 abc= c3+a3 abc . (2) 原式= a(a+2) (a+2)(a-2)- a(a-2) (a+2)(a-2)= 4a a2-4. (3) 原式= 1x+1+ x-1 1 = 1 x+1+ (x-1)(x+1) x+1 = x2 x+1. (4) 原 式 = m(m+n) (m-n)(m+n)- n(m-n) (m-n)(m+n)+ 2mn (m-n)(m+n)= m2+2mn+n2 (m-n)(m+n)= (m+n)2 (m-n)(m+n)= m+n m-n. 典例3 a 2-4 a2-4a+4- a a-2 ÷a 2+2a a-2 = (a+2)(a-2)(a-2)2 - a a-2 ÷a(a+2)a-2 = a+2a-2- aa-2 · a-2a(a+2)= 2a-2· a-2 a(a+2)= 2 a(a+2). 当a=-2,a=0,a=2时,原式无意 义,∴ 把a=-1代入,得原式= 2-1×(-1+2)=-2. 预学训练 1. D 2. A 3. C 4. B 5. (1) 原式=2a+b+a-2b-a+b3a2b = 2a 3a2b= 2 3ab. (2) 原 式= 3x+2- 1 x-2+ 2x x2-4= 3 x+2- 1 x-2+ 2x (x+2)(x-2)= 3(x-2)-(x+2)+2x (x+2)(x-2) = 4(x-2) (x+2)(x-2)= 4 x+2. (3) 原 式= a 2 a-1- a+1 1 = a2 a-1- a2-1 a-1= a2-(a2-1) a-1 = a2-a2+1 a-1 = 1 a-1. 6. 3 x+1-x+1 ÷x 2-4x+4 x+1 = 3-(x-1)(x+1) x+1 · x+1 (x-2)2= 3-x2+1 (x-2)2 = (2+x)(2-x) (2-x)2 = 2+x 2-x.∵ 当x= -1或2时,原式无意义,∴ x=-2.当x=-2时,原式= 2-2 2+2=0. 7. C 8. A 9. A 解析:当ab=1时,M= aa+1+ b b+1= a a+ab+ b b+ab= a a(b+1)+ b b(a+1)= 1 b+1+ 1 a+1=N.∴ 当 ab=1时,M=N,即结论①正确.当a+b=0时,则b= -a.∴ M = aa+1 + b b+1 = a a+1 + -a -a+1 = -2a2 (a+1)(1-a) ,N = 1a+1+ 1 b+1= 1 a+1+ 1 -a+1= 2 (a+1)(1-a).∴ M·N= -4a 2 (1-a2)2≤0 ,即结论②正确. 综上所述,结论①和结论②都正确. 10. 2400 m2+10m 11. ∵ 3x-4 (x-1)(x-2) = A(x-2)+B(x-1) (x-1)(x-2) = (A+B)x+(-2A-B) (x-1)(x-2) ,∴ 3x-4=(A+B)x+(-2A- B).∴ A+B=3, -2A-B=-4, 解得A=1,B=2. 12. (1) 当x>0时,M-N>0.理由:∵ M=x+12 ,N= x x+1 ,∴ M -N =x+12 - x x+1= (x+1)2-2x 2(x+1) = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 x2+1 2(x+1).∵ x>0,∴ x2>0,2(x+1)>0.∴ x2+1>0. ∴ x2+1 2(x+1)>0.∴ M-N>0.(2) 依题意,得y= 2+x x+1 2 - 2× xx+1= 2(2+x) x+1 - 2x x+1= 4 x+1. 4 分式方程 知识梳理 1. 分母 解 根 2. (1) 整式方程 (2) 整式方程 (3) 分式方程 增根 典例演练 典例1 (1) 方程两边同乘x(x-1),得3x-2(x-1)= 0,解得x=-2.经检验,x=-2是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘2x-1,得2x-5=3(2x-1),解得 x=-12. 经检验,x=-12 是原分式方程的解.(3) 方程 两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,解得x=-3. 经检验,x=-3是原分式方程的解. 典例2 (1) 将x=3代入分式方程,得6+m=3,解得 m=-3.(2) 去分母,得2x+m=3(x-2).将x=2代 入,得4+m=0,解得m=-4.∴ 当m=-4时,此方程 会产生增根. 预学训练 1. B 2. D 3. C 4. B 5. -1 6. 小丁和小迪的解法都不正确,画“✕”略.xx-2- x-3 2-x= 1.方程两边同乘x-2,得x+x-3=x-2,解得x=1.经 检验,x=1是原分式方程的解. 7. (1) 方程两边同乘x(x+5),得2x2-x(x+5)=(x+ 5)2,解得x=-53 ,经检验,x=-53 是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘x-2,得1-x=-1-2(x-2),解得 x=2.经检验,x=2是原分式方程的增根,∴ 原分式方程 无解.(3) 方程两边同乘(x-1)(x+2),得3+(x-1)· (x+2)=x(x+2),解得x=1.经检验,x=1是原分式方 程的增根,∴ 原分式方程无解.(4) 方程两边同乘(x+1)· (x-1),得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,解得x=2.经检 验,x=2是原分式方程的解. 8. C 9. D 解析:∵ a★b= 1a-b2 ,∴ x★(-1)= 1x-(-1)2= 1 x-1.∴ 1 x-1= x 3-3x ,即 1 x-1=- x 3(x-1). 方程两边 同乘3(x-1),得3=-x,解得x=-3.经检验,x=-3 是原分式方程的解.根据题意,把x=-3代入不等式 (2-a)x-3>0,得-3(2-a)-3>0,解得a>3. 10. B 解析: m x+5=1. 去分母,得m=x+5,解得x= m-5.要使分式方程有解,则x+5≠0,即m-5+5≠0, ∴ m≠0.当m<5且m≠0时,x=m-5<0,∴ 甲的说法 错误.当m>5时,x=m-5>0,∴ 乙的说法正确. 11. m≥-5且m≠-3 12. (1) 方程两边同乘3-3x,得-9=nx+3-3x,解得 x=-12n-3. 当n-3=0时,原分式方程无解,此时n=3.当 x=1时,原分式方程无解,此时n-3=-12,即n=-9. 综上所述,若这个方程无解,则n的值为3或-9.(2) 由 (1)及题意,得- 12n-3≥0 且- 12n-3≠1 ,解得n<3且 n≠-9. 13. (1) 根据题意,得 x x-3=2- -2 x-3. 方程两边同乘x- 3,得x=2(x-3)+2.去括号,得x=2x-6+2.移项、合 并同类项,得x=4.经检验,x=4是原分式方程的解. (2) 设原分式方程中“?”代表的数是m,则 xx-3=2- m x-3. 方程两边同乘x-3,得x=2(x-3)-m.∵ x=3 是方程的增根,∴ 把x=3代入x=2(x-3)-m,解得 m=-3,即原分式方程中“?”代表的数是-3. 14. (1) A +B = x-3x2-1+ 1 x-1= x-3 (x+1)(x-1)+ x+1 (x+1)(x-1)= x-3+x+1 (x+1)(x-1)= 2x-2 (x+1)(x-1)= 2(x-1) (x+1)(x-1)= 2 x+1. (2) ∵ A=3B,∴ x-3 x2-1= 3 x-1 , 解得x=-3.经检验,x=-3是原分式方程的解. (3) ∵ mA+B=2x+6x2-1 ,∴ m(x-3) x2-1 + 1 x-1= 2x+6 x2-1 , 解得x=5+3mm-1.∵ 关于x的方程mA+B=2x+6x2-1 无解, ∴ m-1=0或5+3mm-1=±1 ,解得m=1或m=-3或 m=-1.∵ m<-2,∴ m=-3. 5 分式方程的应用 知识梳理 1. 等量关系 检验 2. 工作效率 之和 3. 速度 时间 4. 进价 利润 进价 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 56 3　分式的加减 1. 同分母的两个分式相加(或相减),分母 ,把分子 .用字母表示: A B± C B= . 2. 把几个异分母分式分别化为与它们相等的 分 式,叫 作 分 式 的 通 分,这 个 的分母叫作这几个分式的公分母. 几个分式的公分母不止一个,通分时一般选 取 公分母. 3. 异分母的两个分式相加(或相减),先 , 化为 的分式,再相加(或相减).用 字母表示:A B± C D= = . 4. 进行分式的加、减、乘、除混合运算时,一般 要按照运算顺序进行:先算 ,后算 ;如 果 有 ,要 先 算 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 计算: (1) 2x2 x-y- 2y2 x-y ; (2) m+2n n-m + n m-n- 2m n-m. (1) 两个分式的分母相同,分母不变,分子 相减;(2) m-n可转化为-(n-m),则 nm-n= - nn-m ,从而把原式转化为同分母的分式后进 行加减运算. 解答: 解有所悟:(1) 对于分子是多项式的分式,进行其加 减运算时,分子要添括号,以避免符号出错.(2) 当 分式的分母互为相反数时,可先将其中一个分式的 分母提出负号后转化为同分母的分式,再计算. (3) 将结果化为最简分式或整式. 典例2 计算: (1) c2 ab+ a2 bc ; (2) a a-2- a a+2 ; (3) 1 x+1+x-1 ;(4) m m-n- n m+n+ 2mn m2-n2. (1) 最简公分母是abc;(2)(3)(4) 先确定 最简公分母并将各式通分,再加减. 解答: 解有所悟:在异分母分式的加减运算中,通分是关 键.通过通分达到“化异(分母)为同(分母)”的目 的;若一个分式和一个整式相加减,则可以把整式 看作分母是1的分式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 拍 照 批 改 57 典例3 先化简,再求值: a 2-4 a2-4a+4- a a-2 ÷ a2+2a a-2 ,并从-2,-1,0,2中选择一个合适的 数a代入求值. 先根据分式混合运算顺序和运算法则化 简原式,再选取使分式有意义的a 的值代入求 值即可. 解答: 解有所悟:对于化简后求值类的题目,选值时应注 意两点:一是原分母不能为零;二是除式不能为零, 即解题过程中的每一个分式都要有意义. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列计算正确的是 ( ) A. 1 a+ 1 b= 2 a+b B. b a- b+2 a = 2 a C. m a+ m b= 2m ab D. 2 a+ 3 b= 3a+2b ab 2. 化简 2x x2-9- 1 x+3 的结果是 ( ) A. 1 x-3 B. x+3 C. 1 x+3 D. x-3 3. 化简x-1 x+1+1 ÷ xx+1时,甲、乙两名同学使 用的方法不同,但化简结果相同.甲同学: x-1 x+1+1 ÷ xx+1=x-1x+1+x+1x+1 ×x+1x = 2x x+1× x+1 x =2. 乙同学:x-1 x+1+1 ÷ xx+1= x-1 x+1+1 ×x+1x =x-1x+1×x+1x +1×x+1x = x-1 x + x+1 x = 2x x=2. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 甲同学的方法正确 B. 乙同学的方法正确 C. 两人的方法都正确 D. 两人的方法都不正确 4. 若 m 和n 互 为 相 反 数,且 mn ≠0,则 m n- n m ÷ 1m-1n 的值是 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 无法确定 5. (教材P17例3变式)计算: (1) 2a+b 3a2b+ a-2b 3a2b- a-b 3a2b ; (2) 3 x+2+ 1 2-x- 2x 4-x2 ; (3) a2 a-1-a-1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 58 6. 先 化 简,再 求 值: 3 x+1-x+1 ÷ x2-4x+4 x+1 ,请从-1,-2,2中选择一个合 适的x的值代入求值. [综合提升] 7. 若分式 x 2 x+1□ x x+1 的运算结果为x(x≠0), 则“□”中的运算符号为 ( ) A. + B. - C. +或÷ D. -或× 8. 若化简 1 x-4+ 1 x+4 ÷ △x2-16的最终结果 为整数,则“△”代表的式子可以是 ( ) A. 2x B. x-2 C. x+4 D. 4 答案讲解 9. 已知a≠-1,b≠-1,设M= aa+1+ b b+1 ,N= 1a+1+ 1 b+1 ,结论①:当 ab=1时,M=N;结论②:当a+b=0时, M·N≤0.对于结论①和结论②,下列判断中 正确的是 ( ) A. 结论①和结论②都正确 B. 结论①和结论②都错误 C. 结论①错误,结论②正确 D. 结论①正确,结论②错误 10. 某公司全体员工在植树节当天植树240棵. 原计划每小时植树m 棵,实际每小时植树 的棵数比原计划每小时植树的棵数多10, 那么实际比原计划提前了 小时完 成任务(用含m 的单项式表示). 11. 已知 3x-4(x-1)(x-2)= A x-1+ B x-2 ,求A 和 B 的值. 答案讲解 12. 已知M=x+12 ,N= xx+1. (1) 当x>0时,判断M-N 与0 的大小关系,并说明理由. (2) 设y= 2+x M -2N. 代入M,N,化简y. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级