一 1 分式-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

51 一　分式和分式方程 1　分　式 1. 一般 地,我 们 把 形 如A B 的 代 数 式 叫 作 ,其中,A,B 都是 ,且B 含有 .A 叫作分式的 ,B 叫作分式的 . 2. 对于分式A B ,当 时,分式有意义;当 时,分式无意义;当 时, 分式的值为零. 3. 分式的分子和分母同 (或 ) 一个不等于0的整式,分式的值不变.用字 母表示:A B= ,A B= . 其中, 是不等于0的整式. 4. 把分式中分子和分母的 约去,叫作 分式的约分.约分的依据是分式的 . 约分时常先对分子、分母进行 . 5. 分子和分母没有公因式的分式叫作 . 分式化简的结果应是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 仔细观察下列各式,回答问题. ① 1 2ab ;② 10a3bc -5a2b3c2 ;③ x+3 x2-9 ;④ x-3; ⑤ 1 x-3 ;⑥ 6x x2-6x+9 ;⑦ x-3 π+3 ;⑧ x+3 x-3. (1) 以上式子中,属于分式的有 ;属于 最简分式的有 .(填序号) (2) 分式x+3 x2-9 的值能等于0吗? 为什么? (3) 当x取何值时,分式x+3x-3 的值为正数? 本题综合考查分式的概念及相关特征,特 别需要注意:若分式的值为0,则分式首先要有 意义,即分子等于0而分母不等于0. 解答: 解有所悟:(1) 识别分式时要抓住两点:一是含分数 线,二是分母中含字母.(2) 分式的值为0必须同时 满足两个条件:分子等于0和分母不等于0,两者缺 一不可. 典例2(教材P6例2变式)约分: (1) 21a3b4c 56a2b5d ; (2) ax2-4ay2 x2-4xy+4y2 . (1) 分子、分母的公因式为7a2b4,约去即 可;(2) 分子、分母的公因式为x-2y,利用分 式的基本性质约去x-2y. 解答: 解有所悟:分式约分的基本步骤:(1) 确定分子与分 母的公因式(若分子或分母中的多项式能进行因式 分解,则应先对分子或分母进行因式分解,再确定 公因式);(2) 约去分子与分母的公因式;(3) 分子 与分母不再含有公因式(1除外),即为约分后的最 简分式或整式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 52 [基础过关] 1. 有下列式子: x+y 2 ,-3ba ,1 x+y ,x-y+1 π . 其中,分式的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若分式x 2-y2 △ 是最简分式,则“△”可能表示 ( ) A. 2x+2y B. (x-y)2 C. x2+2xy+y2 D. x2+y2 3. 已知分式x(x-1)(x-2) x2-4 的值为0,则x 的 值为 ( ) A. 0或1或2 B. 0或-2或2 C. 0或1 D. 0或-2 4. 分式-a a-b 可变形为 ( ) A. a a-b B. - aa+b C. a a+b D. - aa-b 5. 若4 5= 4(x-1) 5(x-1) 成立,则x 的取值范围是 . 6. 已知甲种糖果每千克的售价为16元,乙种糖 果每千克的售价为20元,取甲种糖果a千克 和乙种糖果b千克,则混合后的糖果每千克 的售价为 元.当a=25,b=15时,混 合后的糖果每千克的售价为 元. 7. (教材P7习题第2题变式)先化简,再求值: 6x-3y 4x2-4xy+y2 ,其中x=3,y=2. [综合提升] 答案讲解 8. 把分式 ab 2a-3b 的分子、分母中的a, b 都扩大到原来的2倍,则分式 的值 ( ) A. 扩大为原来的2倍B. 扩大为原来的4倍 C. 缩小为原来的1 2 D. 保持不变 9. 不改变分式的值,将下面各分式的分子、分 母中的系数化为整数,并使其成为最简 分式. (1) 0.2x+y 0.2x-12y ; (2) 1 3x+ 1 4y 1 2x- 1 3y . 答案讲解 10. 对分式a 2-b2 a+b 进行变形.甲同学的 解法是a 2-b2 a+b = (a+b)(a-b) a+b = a -b;乙 同 学 的 解 法 是 a 2-b2 a+b = (a2-b2)(a-b) (a+b)(a-b) = (a2-b2)(a-b) a2-b2 = a-b. 根据分式的基本性质,判断甲、乙两名同学 的解法是否正确,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 15 ∴ ∠A1BC = 1 2∠ABC , ∠A1CD = 1 2∠ACD. ∵ ∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1+∠A1BC, ∴ ∠A1+∠A1BC= 1 2 (∠A+∠ABC).∴ ∠A1= 1 2∠A= 1 2α. 同理,∠A2= 1 2∠A1= 1 22α ,以此类推, ∠A2025= 1 22025α. 二、 13. a3b2 14. 答案不唯一,如7 15. ∠1+12∠BEH=90° 解析:如图,过点O 作OM∥ AB,则∠1=∠EOM.∵ AB∥CD,∴ OM∥CD.∴ ∠2= ∠FOM.∵ OE⊥OF,∴ ∠EOF=90°.∵ ∠EOF= ∠EOM+∠FOM=90°,∴ ∠1+∠2=90°.∵ AB∥CD, ∴ ∠BEH=∠EHC.∵ FG∥EH,∴ ∠EHC=∠CFG. ∴ ∠BEH = ∠CFG.∵ FO 平 分 ∠CFG,∴ ∠2= 1 2∠CFG.∴ ∠2=12∠BEH.∴ ∠1+12∠BEH=90°. 第15题 16. x2048- 1x2048 三、 17. ∵ 关 于 x,y 的 方 程 组 ax+by=4, 3x-y=2 与 x+2y=1, ax-by=-2 有相同的解,∴ 方程组 3x-y=2, x+2y=1 的解也 是它 们 的 解,解 得 x=57 , y= 1 7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代 入 其 他 两 个 方 程,得 5 7a+ 1 7b=4 , 5 7a- 1 7b=-2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=75 , b=21. 18. (1) 37.(2) ∵ (2025-x)(2024-x)=20,∴ (2025- x)2+(2024-x)2=[(2025-x)-(2024-x)]2+ 2(2025-x)(2024-x)=12+2(2025-x)(2024-x)= 1+2×20=41. 19. (1) 两直线平行,内错角相等;平行于同一条直线的 两条直线平行;∠BEF;∠CEF.(2) 过点E 向左作EF∥ AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥CD∥EF.∴ ∠B+∠BEF= 180°,∠C+∠CEF=180°.∴ ∠B+∠BEF+∠C+ ∠CEF=360°.∴ ∠B+∠C+∠BEC=360°.∴ ∠B+ ∠C=360°-∠BEC.(3) ∠B+∠D+∠F-∠E=180°. 20. (1) 设该经营户批发西红柿x kg,西蓝花y kg.由题 意,得 x+y=300, 3.6x+8y=1 520, 解得 x=200 , y=100. ∴ 这两种蔬菜 当天全部售完一共能赚200×(5.4-3.6)+100×(14- 8)=960(元).(2) 设该经营户批发西红柿a kg.由题意, 得(5.4-3.6)a+(14-8)×1 520-3.6a 8 ≥1 050,解得 a≤100.∴ 该经营户最多批发西红柿100 kg. 21. (1) 24.(2) 16.(3) ① 根据题意,得长方形地面的长 为(2m+n)米,宽为(m+2n)米.∵ 长方形地面的周长为 8.4米,∴ 2(2m+n+m+2n)=8.4.∴ m+n=1.4. ② S白色地砖=S长方形地面-S5块灰色小长方形地砖=(2m+n)(m+ 2n)-5mn=(2m2+2n2)平方米.∵ 每块灰色小长方形地 砖的面积为0.36平方米,∴ mn=0.36.∵ m+n=1.4, ∴ (m+n)2=m2+2mn+n2=m2+0.72+n2=1.96. ∴ m2+n2=1.24.∴ 所用的白色地砖的总面积为2× 1.24=2.48(平方米). 22. (1) 135. 解析:∵ m⊥n,∴ ∠AOB=90°.∴ ∠BAO+ ∠ABO=90°.∵ AC,BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的平 分 线,∴ ∠CAB = 12∠BAO ,∠CBA = 12∠ABO. ∴ ∠CAB+∠CBA= 12 (∠BAO+ ∠ABO)=45°. ∴ ∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=180°-45°=135°. (2) ∠D 的大小不发生改变.∵ ∠OBE 是△AOB 的外 角,∴ ∠OBE=∠BAO+∠AOB.∵ ∠AOB=90°, ∴ ∠OBE-∠BAO=90°.∵ BD 平分∠OBE,AC 平分 ∠BAO,∴ ∠EBD= 12 ∠OBE ,∠BAG= 12 ∠BAO. ∵ ∠EBD 是△ADB 的外角,∴ ∠EBD=∠BAG+ ∠D.∴ ∠D=∠EBD-∠BAG=12∠OBE- 1 2∠BAO= 1 2 (∠OBE - ∠BAO)=45°.(3) ∵ ∠ACB =135°, ∠ACB+∠BCG=180°,∴ ∠BCG=180°-∠ACB= 180°-135°=45°.∵ ∠AGO 是△BCG 的外角,∴ ∠AGO= ∠BCG+∠CBG=45°+∠CBG.∵ ∠AGO-∠BCF= 45°,∴ 45°+∠CBG-∠BCF=45°.∴ ∠CBG=∠BCF. ∴ CF∥OB. 3 预学储备 一　分式和分式方程 1 分 式 知识梳理 1. 分式 整式 字母 分子 分母 2. B≠0 B=0 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 A=0且B≠0 3. 乘 除以 A×MB×M A÷M B÷M M 4. 公因式 基本性质 因式分解 5. 最简分式 最简 分式或整式 典例演练 典例1 (1) ①②③⑤⑥⑧;①⑤⑥⑧.(2) 分式x+3 x2-9 的 值不能等于0.若分式x+3x2-9 的值等于0,则x+3=0,解得 x=-3.当x=-3时,分母x2-9=0,分式无意义,∴ 分 式x+3 x2-9 的值不能等于0.(3) 若分式的值为正数,则分式 的分子、分母同号.根据题意,得 x+3>0, x-3>0 或 x+3<0 , x-3<0, 解得x>3或x<-3. 典例2 (1) 21a3b4c 56a2b5d= 7a2b4·3ac 7a2b4·8bd= 3ac 8bd. (2) ax2-4ay2 x2-4xy+4y2 =a (x+2y)(x-2y) (x-2y)2 =ax+2ayx-2y . 预学训练 1. B 2. D 3. C 4. D 5. x≠1 6. 16a+20b a+b 17.5 解析:根据题意,得甲、乙两种糖果混 合后共有(a+b)千克,甲、乙两种糖果共售(16a+20b)元. ∴ 将甲、乙两种糖果混合后每千克的售价应为16a+20b a+b 元. 当a=25,b=15时,16a+20ba+b = 16×25+20×15 25+15 =17.5. ∴ 混合后的糖果每千克的售价为17.5元. 7. 6x-3y 4x2-4xy+y2 =3 (2x-y) (2x-y)2 = 32x-y. 当x=3,y=2 时,原式= 32×3-2= 3 4. 8. A 9. (1) 原式=2x+10y2x-5y. (2) 原式=4x+3y6x-4y. 10. 甲同学的解法正确,乙同学的解法错误.理由:∵ 分 式a 2-b2 a+b 已隐含条件a+b≠0,∴ 可用分式的基本性质, 将分式的分子和分母同时约去a+b.∵ a-b不是分式的 分母中所含有的,即无法确定a-b是否为0,∴ 不能用 分式的基本性质,将分式的分子和分母都乘a-b,再约去 a2-b2. 2 分式的乘除 知识梳理 1. 分子 分母 A ·C B·D 2. 颠倒位置 相乘 AB ·D C A·D B·C 典例演练 典例1 (1) 原式=- a 3bc2d 2a2cd2b3=- ac·a2bcd 2b2d·a2bcd= - ac2b2d. (2) 原式= (x2-x)·(x-1) (x-1)2 = x·(x-1)2 (x-1)2 = x.(3) 原式=-2x (x-2)·x·(x+2) (x+2)(x-2)2 =- 2x2 x-2. 典例2 (1) 原式=xy 2 2z2 · 4az 2 -3x2y2 =-4axy 2z2 6x2y2z2 =-2a3x. (2) 原式= (a-1)2 a-3 ÷ a-1 1 = (a-1)2 a-3 · 1 a-1= a-1 a-3. (3) 原式= (x-3y)(x+3y) (x+3y)2 ÷ x+3y3x(x+3y)= x-3y x+3y · 3x 1= 3x2-9xy x+3y . 预学训练 1. A 2. C 3. C 4. C 5. A 6. x≠0且x≠1且x≠-2 7. 6 8. (1) 原 式 =x 2 y ·y 2 x2 =y. (2) 原 式 =2-mm+2 · (m-2)(m+2) (m-2)2 = -(m-2) m+2 ·m+2 m-2=-1. (3) 原式= a(a-3) a(a+1) ·(a-1)(a+1) a-3 ·a+1 a-1=a+1. 9. (1) 原式=m+1m+2 ·(m+2)(m-2)(m+1)2 = m-2 m+1. 当m=1 时,原式=1-21+1=- 1 2. (2) 原式=a 2+b2+2ab ab × a-b (a+b)(a-b)= (a+b)2 ab × 1 a+b= a+b ab . 当a=2,b= -12 时,原式= 2-12 2× -12 =-32. 10. B 11. D 12. B 解析: x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6= x-2 (x-2)2× (x+6)= x+6 x-2=1+ 8 x-2.∵ 算式 x-2 x2-4x+4÷ 1 x+6 的值为F, ∴ F=1+ 8x-2 (x≠2,-6).∵ F 为整数,∴ 8 x-2 为整 数.∴ 当x-2=±1,±2,±4,±8,即当x=3,1,4,0,6, -2,10,-6时,1+ 8x-2 的值为整数.∵ x≠-6,∴ 当 x=3,1,4,0,6,-2,10时,F 为整数.∴ F 可以取到的整 数值有7个. 13. 答案不唯一,如选取② x2+x x2-1 ;③ x x+1 两个式子相 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈