专题7 三角形的内角平分线与外角平分线-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

44 专题七　三角形的内角平分线与外角平分线 在三角形中,有关角的计算不仅涉及三角形内角和与外角的关系,还常涉及三角形的角平分 线,最为常见的解题方法是利用角平分线得出角之间的倍数关系,而内角和外角平分线相交所形 成的角具备特殊的性质. 类型一 三角形两内角平分线的夹角 1. ★如图,△ABC 的角平分线BD,CE 相交于 点O,∠A=70°,则∠COD 的度数为 ( ) A. 70° B. 60° C. 55° D. 40° 第1题 第2题 2. 如图,在△AOB 中,AO1,BO1 分别平分 ∠OAB,∠OBA,AO2,BO2 分 别 平 分 ∠OAO1,∠OBO1.若∠O=60°,则∠O2 的 度数为 ( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 类型二 一个内角平分线与一个外角平分线的 夹角 3. 如图,P 是△ABC 中∠ABC 和外角∠ACE 的平分线的交点.若∠P=40°,则∠A= . 第3题 4. 如图①,∠MON=90°,点A,B 分别在OM, ON 上运动(不与点O 重合),BC 是∠ABN 的平分线,BC 的反向延长线与∠BAO 的平 分线交于点D. (1) ① 若∠BAO=60°,则∠D= °. ② 猜想:∠D 的度数是否随点A,B 的运动 而发生改变? 请说明理由. (2) 拓展延伸:如图②,若∠ABC=13∠ABN , ∠BAD=13∠BAO ,求∠D 的度数. 第4题 类型三 三角形两外角平分线的夹角 5. 如图,P 为外角∠CBD 与∠BCE 的平分线 的交点,试说明:∠P=90°-12∠A. 第5题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 拍 照 批 改 45 答案讲解 6. 已知直线MN 与直线PQ 垂直相交 于点O,点A 在射线OP 上运动(不 与点O 重合),点B 在射线OM 上 运动(不与点O 重合). (1) 如图①,∠BAP 与∠ABM 的平分线相 交于点E,点A,B 在运动过程中,∠E 的大 小是否发生变化? 若发生变化,请说明理 由;若不发生变化,请求出∠E 的度数. (2) 如图②,若∠MOQ<90°,∠BAO 与 ∠BOQ 的平分线相交于点E,延长BA 至 点G,∠OAG 的平分线与射线EO 相交于 点F.在点A,B 的运动过程中,试探究∠F 与∠ABO 之间的数量关系,并说明理由. 第6题 7. 如图①,BP,CP 分别是△ABC 的外角 ∠CBD,∠BCE 的平分线,BQ,CQ 分别是 ∠PBC,∠PCB 的平分线,BM,CN 分别是 ∠PBD,∠PCE 的平分线,∠BAC=α. (1) 当α=40°时,∠BPC= , ∠BQC= ; (2) 当α= 时,BM∥CN; (3) 如图②,当α=120°时,BM,CN 所在直 线交于点O,求∠BOC 的度数; (4) 在α>60°的条件下,直接写出∠BPC, ∠BQC,∠BOC 之间的数量关系. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 46 类型四 三角形的角平分线与高线之间的夹角 8. 如图,在△ABC 中,AD 为△ABC 的角平分 线,BE 为△ABC 的高,∠C=70°,∠ABC= 48°,则∠3的度数为 ( ) 第8题 A. 59° B. 60° C. 56° D. 22° 9. 如图,在△ABC 中,AD 是高,AE,BF 是角 平分线,它们相交于点 O,∠CAB=50°, ∠C=60°.求∠DAE 和∠BOA 的度数. 第9题 10. 如图,在△ABC 中,∠B=70°,∠C=30°, AD,AE 分别是△ABC 的高与角平分线. (1) 求∠BAE 的度数. (2) 求∠DAE 的度数. (3) 如果把条件∠B=70°,∠C=30°改成 ∠B-∠C=40°,那么能否得出∠DAE 的 度数? 若能,请你写出求解过程;若不能, 请说明理由. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 13 ∠BAE.∴ ∠DEA=∠DEM +∠MEA=∠FDE+ ∠BAE=46°,∠ACD=∠NCA+∠NCD=∠BAC+ ∠FDC=56°.∴ ∠FDE+∠BAE +∠BAC+∠FDC= ∠DEA+∠ACD=102°.∵ DE 和AC 分别平分∠FDC 和∠BAE,∴ ∠FDC=2∠FDE=2∠EDC,∠BAE= 2∠BAC=2∠EAC.∴ ∠FDE+∠BAE+∠BAC+ ∠FDC=3(∠FDE+∠BAC)=102°.∴ ∠BAC+ ∠FDE=34°.又∵ ∠BAC +∠FDC=∠BAC+2∠FDE= 56°,∴ ∠FDE=22°.∴ ∠FDC=2∠FDE=44°. 12. (1) 如图①,过点G 作GR∥AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥ CD ∥GR.∴ ∠1=∠EGR,∠2=∠FGR.∴ ∠1+∠2= ∠EGR+∠FGR=∠EGF.∵ ∠1=30°,∠EGF=75° , ∴ ∠2=∠EGF-∠1=45°.(2) ∵ FN 平分∠CFG,EM 平分∠AEN,∴ 可设∠CFN=∠GFN=β,∠AEM= ∠NEM=α.如图②,过点G 作GP∥CD,过点N 作NQ∥ AB.又∵ AB ∥CD.∴ NQ∥AB∥CD∥GP.∴ ∠QNF= ∠CFN=β,∠QNE=∠AEN=2α,∠PGE=∠AEM= α,∠PGF=∠DFG=180°-2β.∴ ∠FNE=∠QNF- ∠QNE=β-2α,∠FGE=∠PGE+∠PGF=α+180°- 2β.又∵ ∠FNE+12∠FGE=54° ,∴ β-2α+ 1 2 (α+ 180°-2β)=54°,解得α=24°.∴ ∠AEN=2α=48°. (3) ∠EGF=2∠EHF.理由:∵ FK 平分∠CFG,EL 平 分∠AEG,∴ 可 设 ∠CFK = ∠GFK =n,∠AEL= ∠LEG=m.如图③,过点H 作 HI∥CD,过点G 作GJ∥ AB.∵ AB∥CD,∴ GJ∥AB∥CD∥HI.∴ ∠JGE= ∠AEG=2m,∠JGF=∠CFG=2n ,∠IHK=∠CFK= n,∠IHL=∠AEL=m.∴ ∠EGF=∠JGE-∠JGF= 2m-2n=2(m-n),∠EHF=∠IHL-∠IHK=m-n. ∴ ∠EGF=2∠EHF. 第12题 专题七　三角形的内角平分线 与外角平分线 1. C 解析:∵ △ABC 的角平分线BD,CE 相交于点O, ∴ ∠OBC=12∠ABC ,∠OCB=12∠ACB.∵ ∠BOC+ ∠OBC+∠OCB=180°,∴ ∠BOC=180°-12 (∠ABC+ ∠ACB).∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°= 110°,∴ ∠BOC=180°-12×110°=125°.∴ ∠COD= 180°-∠BOC=180°-125°=55°. 三角形两内角平分线的夹角 三角形的两条内角平分线交于一点,所形成的夹 角的度数等于90°加上第三个内角度数的一半.如图,P 是△ABC 两条内角平分线的交点,则 ∠P=90°+ 1 2∠A. 2. A 解析:∵ ∠O + ∠OAB + ∠OBA =180°, ∴ ∠OAB+∠OBA=180°-∠O=180°-60°=120°. ∵ AO1,BO1 分别平分∠OAB,∠OBA,∴ ∠O1AB= ∠O1AO= 1 2∠OAB ,∠O1BA=∠O1BO= 1 2∠OBA. 又∵ AO2,BO2分别平分∠OAO1,∠OBO1,∴ ∠O2AO1= 1 2 ∠O1AO = 1 4∠OAB ,∠O2BO1 = 1 2∠O1BO = 1 4∠OBA.∴ ∠O2AB + ∠O2BA = 3 4∠OAB + 3 4∠OBA= 3 4 (∠OAB+∠OBA)= 34×120°=90°. ∴ ∠O2=180°- (∠O2AB + ∠O2BA)=180°- 90°=90°. 3. 80° 解析:根据三角形的外角性质,得∠ACE=∠A+ ∠ABC,∠PCE=∠P+∠PBC.∵ BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACE,∴ ∠PBC=12∠ABC ,∠PCE=12∠ACE. ∴ ∠P+ 12 ∠ABC= 1 2 (∠A+∠ABC).∴ ∠A= 2∠P.∵ ∠P=40°,∴ ∠A=80°. 4. (1) ① 45.② ∠D 的度数不随点A,B 的运动而发生 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 改变.理由:∵ ∠ABN 是△AOB 的外角,∴ ∠AOB= ∠ABN-∠BAO=90°.∵ BC 平分∠ABN,AD 平分 ∠BAO,∴ ∠ABC=12∠ABN ,∠BAD=12∠BAO. ∵ ∠ABC是△ABD 的外角,∴ ∠D=∠ABC-∠BAD= 1 2∠ABN- 1 2∠BAO= 1 2 (∠ABN-∠BAO)=12× 90°=45°,即∠D 的度数不随点A,B 的运动而发生改变. (2) ∵ ∠ABN 是△AOB 的外角,∴ ∠AOB=∠ABN- ∠BAO=90°.∵ ∠ABC 是△ABD 的外角,∴ ∠D= ∠ABC- ∠BAD.∵ ∠ABC= 13∠ABN ,∠BAD = 1 3∠BAO ,∴ ∠D=∠ABC-∠BAD=13∠ABN- 1 3∠BAO= 1 3 (∠ABN-∠BAO)=13×90°=30°. 5. ∵ ∠CBD 与∠BCE 的平分线交于点P,∴ ∠P= 180°- 12 ∠CBD- 1 2 ∠BCE=180°- 1 2 (∠CBD+ ∠BCE)=180°-12 (∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)= 180°-12 (180°+∠A)=90°-12∠A. 6. (1) ∠E 的大小不发生变化.∵ ∠BAP 与∠ABM 的 平分线相交于点E,∴ ∠EAB=12∠BAP ,∠EBA= 1 2∠ABM.∵ MN⊥PQ,∴ ∠AOB=90°.∵ ∠PAB= ∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO,∠MBA=∠AOB+ ∠BAO=90°+∠BAO,∴ ∠EAB+∠EBA=12 (∠PAB+ ∠MBA)= 12 (90°+∠ABO+90°+∠BAO)=90°+ 1 2 (∠ABO+∠BAO).∵ ∠ABO+∠BAO=180°- ∠AOB=90°,∴ ∠EAB+∠EBA=90°+45°=135°. ∴ ∠E=180°-135°=45°.(2) 1 2∠ABO+∠F=90°. 理 由:如图,∵ ∠BAO 与∠BOQ 的平分线相交于点E, ∴ ∠1=12∠BAO ,∠2=12∠BOQ. 由外角的性质,可得 ∠ABO=∠BOQ-∠BAO,∠E=∠2-∠1.∴ ∠E= 1 2∠BOQ- 1 2∠BAO= 1 2∠ABO.∵ AE 平分∠BAO, AF 平分∠GAO,∴ ∠EAF=12∠BAO+ 1 2∠GAO= 90°.∴ ∠E+∠F=180°-∠EAF=90°,即12∠ABO+ ∠F=90°. 第6题 7. (1) 70°;125°.(2) 60°.(3) ∵ α=120°,∴ 易得∠MBC+ ∠NCB=34 (∠DBC+∠BCE)=34 [360°-(180°-α)]= 3 4 (180°+α)=225°.∴ ∠BOC=180°-(∠OBC+ ∠OCB)=180°-[360°-(∠MBC+∠NCB)]=∠MBC+ ∠NCB-180°=225°-180°=45°.(4) ∠BPC+∠BQC+ ∠BOC=180°. 8. A 9. ∵ ∠CAB=50°,∠C=60°,∴ ∠ABC=180°-50°- 60°=70°.又∵ AD 是高,∴ ∠ADC=90°.∴ ∠DAC= 180°-90°-∠C=30°.∵ AE,BF 是角平分线,∴ ∠EAF= 1 2∠CAB=25° ,∠CBF=∠ABF= 12 ∠ABC=35°. ∴ ∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°,∠AFB= ∠C+ ∠CBF=60°+35°=95°.∴ ∠BOA=∠EAF+∠AFB= 25°+95°=120°. 10. (1) ∵ ∠B+∠C+∠BAC=180°,∴ ∠BAC=180°- ∠B-∠C=180°-70°-30°=80°.∵ AE 平分∠BAC, ∴ ∠BAE=12∠BAC=40°. (2) ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB= 90°.∴ ∠BAD=180°-∠ADB-∠B=20°.∴ ∠DAE= ∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°.(3) 能.∵ ∠B+ ∠C+∠BAC=180°,∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C. ∵ AE 平分∠BAC,∴ ∠BAE=12∠BAC= 1 2 (180°- ∠B-∠C)=90°- 12 (∠B+∠C).∵ AD⊥BC, ∴ ∠ADB=90°.∴ 易得∠BAD=90°-∠B.∴ ∠DAE= ∠BAE-∠BAD=90°-12 (∠B+∠C)-(90°-∠B)= 1 2 (∠B-∠C).∵ ∠B-∠C=40°,∴ ∠DAE=12× 40°=20°. 整合提优自主检测 一、 1. A 2. B 3. C 4. D 5. D 6. A 7. B 8. B 9. B 10. A 11. A 12. C 解析:∵ BA1 平分∠ABC,CA1 平分∠ACD, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈