专题6 平行线中与角有关的计算问题-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

41 专题六　平行线中与角有关的计算问题 平行线是初中几何的重要基础知识,运用平行线的性质与判定能解决求角的度数以及判断 两条直线是否平行等问题.如果题中有平行线存在,那么总有相等的角存在;如果题中没有平行 线,那么可以通过证明两线平行或者构造平行线得到相等的角. 类型一 平行线的性质与判定 1. (长沙中考)如图,在△ABC 中,∠BAC= 60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第1题 第2题 2. 如图,l∥AB,∠A=2∠B.若∠1=108°,则 ∠2的度数为 ( ) A. 36° B. 46° C. 72° D. 82° 3. (徐州中考)如图,在△ABC 中,若DE∥BC, FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则 ∠C= . 第3题 4. 如图,∠ABD=∠EFD,∠FEC 与∠ECD 互补,当∠FEC=150°,∠ABC =46°时, ∠BCE 的度数为 . 第4题 答案讲解 5. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥ BC,∠B=80°. (1) 求∠BAD 的度数; (2) 若AE 平分∠BAD,且交BC 于点E, ∠BCD=50°,求证:AE∥DC. 第5题 答案讲解 6. 如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1= 40°,求∠2的度数. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 42 类型二 过一个拐点作平行线 7. (泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角 形ABC 的两个顶点B,C 分别落在直线l, m 上.若∠ABE=21°,则∠ACD 的度数为 ( ) A. 45° B. 39° C. 29° D. 21° 第7题 第8题 8. (潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其 底部支架AB 与吊线FG 平行,灯杆CD 与 底部支架AB 所成锐角∠α=15°.顶部支架 EF 与灯杆CD 所成锐角∠β=45°,则EF 与 FG 所成锐角的度数为 ( ) A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° 9. 新考法 过程性学习 ★两条平行线间的拐 点问题往往可以通过作一条直线的平行线 来解决.例如:如图①,MN∥PQ,点C,B 分 别在直线MN,PQ 上,点A 在直线MN,PQ 之间.求证:∠CAB=∠MCA+∠PBA. 证明:如图①,过点A 作AD∥MN. ∵ MN∥PQ,AD∥MN, ∴ AD∥MN∥PQ. ∴ ∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB. ∴ ∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+ ∠PBA. 【类比应用】 已知直线AB∥CD,P 为平面内 一点,连接PA,PD. (1) 如 图②,∠A=50°,∠D =150°,求 ∠APD 的度数; (2) 如图③,设∠PAB=α,∠CDP=β,直接 写出α,β,∠P之间的数量关系: ; (3) 如图④,AP⊥PD,AN 与DP 交于 点O,DN 平分∠PDC,若∠PAN+12∠PAB= ∠P,运用(2)中的结论,求∠N 的度数. 第9题 类型三 过多个拐点作平行线 答案讲解 10. ★如 图,AB ∥CD,∠MBN = 3 2∠ABM ,∠MDN=32∠CDM. 试说明:2∠N+5∠M=720°. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 43 11. 如 图,AB∥DF,DE 和 AC 分 别 平 分 ∠FDC 和 ∠BAE.若 ∠DEA =46°, ∠ACD=56°,求∠FDC 的度数. 第11题 答案讲解 12. 已知直线AB∥CD,点E 在直线 AB 上,点F 在直线CD 上,G 是 平面内一点. (1) 如图①,点G 在直线 AB,CD 之间,若 ∠1=30°,∠EGF=75°,求∠2的度数. (2) 如图②,点G 在直线 AB,CD 之间, FN 平分∠CFG,延长 GE 交 FN 于点 M, EM 平分∠AEN.当∠N+12∠FGE=54° 时,求∠AEN 的度数. (3) 如图③,点G 在直线AB 上方,FK 平 分∠CFG,EL 平分∠AEG,直线 KF 与直 线LE 相交于点 H.试猜想∠EGF 与 ∠EHF 之间的数量关系,并说明理由. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 11 23. 2x-y=4m-5①, x+4y=-7m+2②. ①+②,得3x+3y=-3m- 3,∴ x+y=-m-1.∵ x+y>-3,∴ -m-1>-3. ∴ m<2.∵ m 是非负整数,∴ m=1或0. 24. x+3y=3-2k①, 3x+y=1+k②. ①+②,得4x+4y=4-k,∴ x+ y=1- k 4.∵ 关于x,y 的方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解 满足x+y>0,∴ 1-k4>0 ,解得k<4.由x-2(x-1)≤ 3,得x≥-1;由2k+x3 ≥x ,得x≤k.∵ 关于x的不等式 组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 有解,∴ k≥-1.∴ -1≤k<4. ∴ 符合条件的整数k的值有-1,0,1,2,3. 专题五　方程（组）和不等式在 实际生活中的应用 1. B 2. A 3. C 4. 5×8+3x+13y=100 , x+y+8=100 5. 2.5 6. 设这种大笔记本的单价是x元,则小笔记本的单价是 (x-3)元.根据题意,得4x+6(x-3)=62,解得x=8. ∴ 这种大笔记本的单价是8元. 7. 设天头长为x cm,则易得地头长为23x cm,边的宽为 1 10x+ 2 3x =16x(cm).∴ 装裱后的长为2 3x+x+ 100= 53x+100 cm,装裱后的宽为16x+ 1 6x+27= 1 3x+27 cm.由题意,得53x+100= 1 3x+27 ×4, 解得x=24.∴ 1 6x=4.∴ 边的宽为4 cm,天头长为 24 cm. 8. (1) 设足球和跳绳的单价分别为x 元,y 元.由题意, 得 12x+10y=1 400, 10x+12y=1 240, 解得 x=100 , y=20. ∴ 足球和跳绳的单 价分别为100元,20元.(2) 由题意,得80a+15b=1 800 (a>15),可购进足球的数量最多为1 800 80 ≈22 (个),∴ 15< a≤22.当a=16时,b=1043 (不合题意,舍去);当a=17 时,b=883 (不合题意,舍去);当a=18时,b=24;当a=19 时,b=563 (不合题意,舍去);当a=20时,b=403 (不合题 意,舍去);当a=21时,b=8;当a=22时,b=83 (不合题 意,舍去).∴ 有两种购进方案,方案一:购进足球18个, 跳绳24根;方案二:购进足球21个,跳绳8根.(3) 方案 一的获利为(100-80)×18+(20-15)×24=480(元),方 案二的获利为(100-80)×21+(20-15)×8=460(元). ∵ 480>460,∴ 为了获利最多,应选择方案一,即购进足 球18个,跳绳24根. 利用枚举法求二元一次方程的整数解 二元一次方程的解有无数组,但在限定条件下往往 可以求出其整数解.求二元一次方程的整数解,在问题 不是特别复杂的情况下,可以采用枚举法,即将其中的 一个未知数可以取的整数一一列举出来,求出对应的另 一个未知数的值,并找出符合题意的整数解.本题就是在 已知a的取值范围的条件下,列举出所有符合条件的整数 值,通过计算求出b的值,最后选取a,b均是整数的解. 9. A 10. B 11. 八八 12. 设购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型号 的干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+380× (50-x)≤21 000,解得x≤12.5.∵ x为整数,∴ x的最 大值为12.∴ 最多可购买这种型号的水基灭火器12个. 13. (1) 设该班胜x场,负y场.根据题意,得 x+y=15, 3x+y=39, 解 得 x=12, y=3. ∴ 该班胜12场,负3场.(2) 设该班这场比赛 中投中了m 个3分球,则投中了(27-m)个2分球.根据 题意,得3m+2(27-m)≥58,解得m≥4.∴ m 的最小值 为4.∴ 该班在这场比赛中至少投中了4个3分球. 14. (1) 根据题意,得 a-b=2, 3b-2a=6, 解得 a=12 , b=10. (2) 设购 买A型设备x台,则购买B型设备(10-x)台.由题意,得 12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5.∵ x 为非负整数, ∴ x=0或1或2.∴ 有三种购买方案:① 购买A型设备 0台,B型设备10台;② 购买A型设备1台,B型设备 9台;③ 购买A型设备2台,B型设备8台.(3) 由题意, 得240x+200(10-x)≥2 040,解得x≥1.又∵ x≤2.5, 且x为非负整数,∴ x=1或2.当x=1时,购买资金为 12×1+10×9=102(万元);当x=2时,购买资金为12× 2+10×8=104(万元).∵ 102<104,∴ 为了节约资金,应 购买A型设备1台,B型设备9台. 专题六　平行线中与角有关的 计算问题 1. C 2. A 3. 55° 4. 16° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 5. (1) ∵ AD∥BC,∴ ∠B+∠BAD=180°.∵ ∠B= 80°,∴ ∠BAD=180°-80°=100°.(2) ∵ AE 平分 ∠BAD,∴ ∠DAE= 12 ∠BAD =50°.∵ AD∥BC, ∴ ∠AEB=∠DAE=50°.∵ ∠BCD=50°,∴ ∠BCD= ∠AEB.∴ AE∥DC. 6. 如图,延长AE 交l2 于点B.∵ l1∥l2,∠1=40°, ∴ ∠3=∠1=40°.∵ ∠α=∠β,∴ AB∥CD.∴ ∠2+ ∠3=180°.∴ ∠2=180°-∠3=140°. 第6题 7. B 8. A 解析:如图,过点E 作EH∥AB.∵ AB∥FG, ∴ AB∥EH∥FG.∴ ∠BEH =∠α=15°,∠FEH + ∠EFG=180°.∵ ∠β=45°,∴ ∠FEH=180°-∠β- ∠BEH=180°-45°-15°=120°.∴ ∠EFG=180°- ∠FEH=180°-120°=60°.∴ EF 与FG 所成锐角的度 数为60°. 第8题 9. (1) 如图,过点P 作PE∥AB.∵ AB∥CD,PE∥AB, ∴ AB∥PE∥CD.∴ ∠APE=∠A=50°,∠DPE+ ∠D=180°.∴ ∠DPE=180°-∠D=180°-150°=30°. ∴ ∠APD=∠APE+∠DPE=50°+30°=80°.(2) α+β- ∠P=180°.(3) ∵ AP⊥PD,∴ ∠P=90°.∵ ∠PAN+ 1 2∠PAB= ∠P ,∴ ∠PAN + 12∠PAB = 90°. ∵ ∠POA+∠PAN=180°-∠P=90°,∴ ∠POA= 1 2∠PAB.∵ ∠POA=∠NOD,∴ ∠NOD=12∠PAB. ∵ DN 平分∠PDC,∴ ∠ODN=12∠PDC.∴ ∠N= 180°-∠NOD-∠ODN=180°-12 (∠PAB+∠PDC). 由(2),得∠PDC+∠PAB-∠P=180°,∴ ∠PDC+ ∠PAB=180°+∠P.∴ ∠N=180°- 12 (∠PAB+ ∠PDC)=180°-12 (180°+∠P)=180°-12× (180°+ 90°)=45°. 第9题 利用拐点作辅助线探究角之间的数量关系 当两条平行线之间存在拐点时,通常过拐点作平 行线,构造出同位角、内错角、同旁内角,为运用平行线 的性质创造条件.本题先利用拐点添加辅助线,再计算 角的度数. 10. 过点M 向右作ME∥AB,过点N 向左作NF∥AB. ∵ AB∥CD,∴ ME∥AB∥CD∥NF.∴ ∠BME=∠ABM, ∠DME=∠CDM,∠BNF+∠ABN=180°,∠DNF+ ∠CDN=180°.∴ ∠BMD=∠BME+∠DME=∠ABM+ ∠CDM,∠BNF+∠ABN+∠DNF+∠CDN=360°,即 ∠BND+∠ABN+∠CDN=360°.∵ ∠MBN=32∠ABM , ∠MDN=32∠CDM ,∴ ∠ABN=52∠ABM ,∠CDN= 5 2∠CDM.∴ ∠BND+52∠ABM+ 5 2∠CDM=360°. ∴ ∠BND+52 (∠ABM +∠CDM)=360°.∴ ∠BND+ 5 2 ∠BMD=360°.∴ 2 ∠BND+5 ∠BMD=720°. “凹凸形”的平行线问题的求解方法 如图①,解答“内凹形”的平行线问题时有以下结 论:若∠B+∠D=∠BPD,则AB∥CD;若AB∥CD. 则∠B+∠D=∠BPD.其方法是过点P 作PE∥AB 或PE∥CD,利用“两直线平行,内错角相等”来解答.如 图②,解答“外凸形”的平行线问题时有以下结论:若 ∠B+∠BED+∠D=360°,则AB ∥CD;若AB∥CD,则 ∠B+∠BED+∠D=360°.其方法是过点E 作EF∥AB 或EF∥CD,利用“两直线平行,同旁内角互补”来解答. 11. 过点C 向右作CN∥AB,过点E 向右作EM∥AB. ∵ AB∥DF,∴ AB∥CN∥EM∥DF.∴ ∠BAC= ∠NCA,∠NCD=∠FDC,∠FDE=∠DEM,∠MEA= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 ∠BAE.∴ ∠DEA=∠DEM +∠MEA=∠FDE+ ∠BAE=46°,∠ACD=∠NCA+∠NCD=∠BAC+ ∠FDC=56°.∴ ∠FDE+∠BAE +∠BAC+∠FDC= ∠DEA+∠ACD=102°.∵ DE 和AC 分别平分∠FDC 和∠BAE,∴ ∠FDC=2∠FDE=2∠EDC,∠BAE= 2∠BAC=2∠EAC.∴ ∠FDE+∠BAE+∠BAC+ ∠FDC=3(∠FDE+∠BAC)=102°.∴ ∠BAC+ ∠FDE=34°.又∵ ∠BAC +∠FDC=∠BAC+2∠FDE= 56°,∴ ∠FDE=22°.∴ ∠FDC=2∠FDE=44°. 12. (1) 如图①,过点G 作GR∥AB.∵ AB∥CD,∴ AB∥ CD ∥GR.∴ ∠1=∠EGR,∠2=∠FGR.∴ ∠1+∠2= ∠EGR+∠FGR=∠EGF.∵ ∠1=30°,∠EGF=75° , ∴ ∠2=∠EGF-∠1=45°.(2) ∵ FN 平分∠CFG,EM 平分∠AEN,∴ 可设∠CFN=∠GFN=β,∠AEM= ∠NEM=α.如图②,过点G 作GP∥CD,过点N 作NQ∥ AB.又∵ AB ∥CD.∴ NQ∥AB∥CD∥GP.∴ ∠QNF= ∠CFN=β,∠QNE=∠AEN=2α,∠PGE=∠AEM= α,∠PGF=∠DFG=180°-2β.∴ ∠FNE=∠QNF- ∠QNE=β-2α,∠FGE=∠PGE+∠PGF=α+180°- 2β.又∵ ∠FNE+12∠FGE=54° ,∴ β-2α+ 1 2 (α+ 180°-2β)=54°,解得α=24°.∴ ∠AEN=2α=48°. (3) ∠EGF=2∠EHF.理由:∵ FK 平分∠CFG,EL 平 分∠AEG,∴ 可 设 ∠CFK = ∠GFK =n,∠AEL= ∠LEG=m.如图③,过点H 作 HI∥CD,过点G 作GJ∥ AB.∵ AB∥CD,∴ GJ∥AB∥CD∥HI.∴ ∠JGE= ∠AEG=2m,∠JGF=∠CFG=2n ,∠IHK=∠CFK= n,∠IHL=∠AEL=m.∴ ∠EGF=∠JGE-∠JGF= 2m-2n=2(m-n),∠EHF=∠IHL-∠IHK=m-n. ∴ ∠EGF=2∠EHF. 第12题 专题七　三角形的内角平分线 与外角平分线 1. C 解析:∵ △ABC 的角平分线BD,CE 相交于点O, ∴ ∠OBC=12∠ABC ,∠OCB=12∠ACB.∵ ∠BOC+ ∠OBC+∠OCB=180°,∴ ∠BOC=180°-12 (∠ABC+ ∠ACB).∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°= 110°,∴ ∠BOC=180°-12×110°=125°.∴ ∠COD= 180°-∠BOC=180°-125°=55°. 三角形两内角平分线的夹角 三角形的两条内角平分线交于一点,所形成的夹 角的度数等于90°加上第三个内角度数的一半.如图,P 是△ABC 两条内角平分线的交点,则 ∠P=90°+ 1 2∠A. 2. A 解析:∵ ∠O + ∠OAB + ∠OBA =180°, ∴ ∠OAB+∠OBA=180°-∠O=180°-60°=120°. ∵ AO1,BO1 分别平分∠OAB,∠OBA,∴ ∠O1AB= ∠O1AO= 1 2∠OAB ,∠O1BA=∠O1BO= 1 2∠OBA. 又∵ AO2,BO2分别平分∠OAO1,∠OBO1,∴ ∠O2AO1= 1 2 ∠O1AO = 1 4∠OAB ,∠O2BO1 = 1 2∠O1BO = 1 4∠OBA.∴ ∠O2AB + ∠O2BA = 3 4∠OAB + 3 4∠OBA= 3 4 (∠OAB+∠OBA)= 34×120°=90°. ∴ ∠O2=180°- (∠O2AB + ∠O2BA)=180°- 90°=90°. 3. 80° 解析:根据三角形的外角性质,得∠ACE=∠A+ ∠ABC,∠PCE=∠P+∠PBC.∵ BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACE,∴ ∠PBC=12∠ABC ,∠PCE=12∠ACE. ∴ ∠P+ 12 ∠ABC= 1 2 (∠A+∠ABC).∴ ∠A= 2∠P.∵ ∠P=40°,∴ ∠A=80°. 4. (1) ① 45.② ∠D 的度数不随点A,B 的运动而发生 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈