专题5 方程(组)和不等式在实际生活中的应用-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

38 专题五　方程（组）和不等式在实际生活中的应用 利用等量关系和不等关系建立方程(组)与不等式模型,把实际问题转化为数学问题,从而解 决问题.建立方程(组)或不等式模型的难点是如何根据问题的描述找到其中的数量关系,并挖掘 出题目中的隐含条件,从而建立相等关系和不等关系. 类型一 方程（组）模型 1. 新考向 数学文化 (广西中考)《九章算 术》是我国古代重要的数学著作,其中记载 了一个问题,大意如下:现有田出租,第一年 3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱. 三年共得100钱.问:出租的田有多少亩? 设出租的田有x亩,则可列方程为 ( ) A. x 3+ x 4+ x 5=1 B. x 3+ x 4+ x 5=100 C. 3x+4x+5x=1 D. 3x+4x+5x=100 2. 新情境 热点信息 (福建中考)今年我国国 民经济良好,市场销售稳定增长,社会消费 增长较快,第一季度社会消费品的零售总额 为120 327亿元,比去年第一季度增长了 4.7%,求去年第一季度社会消费品的零售总 额.若将去年第一季度社会消费品的零售总 额设为x亿元,则符合题意的方程是 ( ) A. (1+4.7%)x=120 327 B. (1-4.7%)x=120 327 C. x 1+4.7%=120 327 D. x 1-4.7%=120 327 3. (宜宾中考)某果农将采摘的荔枝分装为大 箱和小箱销售,其中每个大箱装4千克荔 枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘 了32千克荔枝,根据市场销售需求,大、小 箱都要装满,则最多装 ( ) A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 4. 新考向 数学文化 (嘉兴中考)我国古代数 学名著《张丘建算经》中有这样一道题:一只 公鸡值5钱,一只母鸡值3钱,3只小鸡值 1钱,现花100钱买了100只鸡.若公鸡有 8只,设母鸡有x 只,小鸡有y只,则可列方 程组为 . 5. 《九章算术》中记载了一个有趣的追及问题, 大意如下:速度快的人每分钟走100米,速 度慢的人每分钟走60米,现在速度慢的人 先走100米,速度快的人去追他,则速度快 的人追上他需要 分钟. 6. 新情境 日常生活 小红在一家文具店买了 一种大笔记本4本和一种小笔记本6本,共 用了62元.已知她买的大笔记本每本的价格 比小笔记本每本的价格贵3元,求这种大笔 记本的单价. 7. 新考向 传统文化 (北京中考)对联是中华 传统文化的瑰宝,对联装裱后如图所示,上、 下空白处分别称为天头和地头,左、右空白 处统称为边.一般情况下,天头长与地头长 的比是6∶4,左、右边的宽相等,均为天头长 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 拍 照 批 改 39 与地头长的和的1 10. 某人要装裱一副对联, 对联的长为100 cm,宽为27 cm.若要求装裱 后的长是装裱后的宽的4倍,求边的宽和天 头长(书法作品选自《启功法书》). 第7题 答案讲解 8. 新情境 日常生活 ★为了锻炼,很 多同学准备购买足球、跳绳. (1) 某校七年级(1)班有部分同学 准备统一购买足球和跳绳.经班长统计,需 要购买足球的有12名同学,需要购买跳绳的 有10名同学.请你根据如图所示的对话信息 分别求出足球和跳绳的单价. (2) 由于足球和跳绳的需求量增大,体育用 品商店计划再次购进足球a 个和跳绳b根 (其中a>15),恰好用了1 800元,其中每个 足球的进价为80元,每根跳绳的进价为 15元,则有哪几种购进方案? (3) 假如(2)中所购进的足球和跳绳全部售 出,且售价与(1)中的单价相同,为了获利最 多,应选择哪种购进方案? 第8题 类型二 不等式模型 9. (丽水中考)小霞原有存款52元,小明原有存 款70元.从这个月开始,小霞每月存15元零 花钱,小明每月存12元零花钱,设经过n个 月后小霞的存款超过小明,可列不等式为 ( ) A. 52+15n>70+12n B. 52+15n<70+12n C. 52+12n>70+15n D. 52+12n<70+15n 答案讲解 10. 某公司为响应政府号召,需要购买 分类垃圾桶6个,市场上有A型和 B型两种分类垃圾桶,A型分类垃 圾桶500元/个,B型分类垃圾桶550元/个, 总费用不超过3 100元,则不同的购买方 案有 ( ) A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 40 11. (广东中考)某商品的进价为4元,标价5元 出售,商家准备打折销售,但其利润率不能 少于10%,则最多可打 折. 12. (山西中考)为加强校园消防安全,学校计 划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭 火器共50个.其中水基灭火器的价格为 540元/个,干粉灭火器的价格为380元/个. 若学校购买这两种灭火器的总价不超过 21 000元,则最多可购买这种型号的水基 灭火器多少个? 13. 某校利用课后服务时间,在八年级开展班 级篮球赛,共16个班参加. (1) 比赛积分规定:每场比赛都要分出胜 负,胜一场积3分,负一场积1分,某班在 15场比赛中共积39分,求该班胜、负各是 多少场. (2) 投篮评分规则:在3分线外投篮,投中 一球可得3分,在3分线内(含3分线)投 篮,投中一球可得2分.某班在一场比赛 中,共投中27个球,所得总分不少于58分, 求该班在这场比赛中至少投中了多少个 3分球(假设没有罚球). 答案讲解 14. 新情境 日常生活 为了更好地 治理流溪河水质,保护环境,市治 污公司决定购买10台污水处理设 备.现有A,B两种型号的设备,其中每台的 价格、月处理污水量如下表: A型 B型 价格/(万元/台) a b 月处理污水量/吨 240 200 经调查:购买1台 A型设备比购买1台 B型设备多2万元,购买2台A型设备比 购买3台B型设备少6万元. (1) 求a,b的值. (2) 经预算,市治污公司购买污水处理设备 的资金不超过105万元,该公司有哪几种 购买方案? (3) 在(2)的条件下,若要求每月处理流溪 河两岸的污水量不低于2 040吨,为了节约 资金,请你为市治污公司设计一种最省钱 的购买方案. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 11 23. 2x-y=4m-5①, x+4y=-7m+2②. ①+②,得3x+3y=-3m- 3,∴ x+y=-m-1.∵ x+y>-3,∴ -m-1>-3. ∴ m<2.∵ m 是非负整数,∴ m=1或0. 24. x+3y=3-2k①, 3x+y=1+k②. ①+②,得4x+4y=4-k,∴ x+ y=1- k 4.∵ 关于x,y 的方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解 满足x+y>0,∴ 1-k4>0 ,解得k<4.由x-2(x-1)≤ 3,得x≥-1;由2k+x3 ≥x ,得x≤k.∵ 关于x的不等式 组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 有解,∴ k≥-1.∴ -1≤k<4. ∴ 符合条件的整数k的值有-1,0,1,2,3. 专题五　方程（组）和不等式在 实际生活中的应用 1. B 2. A 3. C 4. 5×8+3x+13y=100 , x+y+8=100 5. 2.5 6. 设这种大笔记本的单价是x元,则小笔记本的单价是 (x-3)元.根据题意,得4x+6(x-3)=62,解得x=8. ∴ 这种大笔记本的单价是8元. 7. 设天头长为x cm,则易得地头长为23x cm,边的宽为 1 10x+ 2 3x =16x(cm).∴ 装裱后的长为2 3x+x+ 100= 53x+100 cm,装裱后的宽为16x+ 1 6x+27= 1 3x+27 cm.由题意,得53x+100= 1 3x+27 ×4, 解得x=24.∴ 1 6x=4.∴ 边的宽为4 cm,天头长为 24 cm. 8. (1) 设足球和跳绳的单价分别为x 元,y 元.由题意, 得 12x+10y=1 400, 10x+12y=1 240, 解得 x=100 , y=20. ∴ 足球和跳绳的单 价分别为100元,20元.(2) 由题意,得80a+15b=1 800 (a>15),可购进足球的数量最多为1 800 80 ≈22 (个),∴ 15< a≤22.当a=16时,b=1043 (不合题意,舍去);当a=17 时,b=883 (不合题意,舍去);当a=18时,b=24;当a=19 时,b=563 (不合题意,舍去);当a=20时,b=403 (不合题 意,舍去);当a=21时,b=8;当a=22时,b=83 (不合题 意,舍去).∴ 有两种购进方案,方案一:购进足球18个, 跳绳24根;方案二:购进足球21个,跳绳8根.(3) 方案 一的获利为(100-80)×18+(20-15)×24=480(元),方 案二的获利为(100-80)×21+(20-15)×8=460(元). ∵ 480>460,∴ 为了获利最多,应选择方案一,即购进足 球18个,跳绳24根. 利用枚举法求二元一次方程的整数解 二元一次方程的解有无数组,但在限定条件下往往 可以求出其整数解.求二元一次方程的整数解,在问题 不是特别复杂的情况下,可以采用枚举法,即将其中的 一个未知数可以取的整数一一列举出来,求出对应的另 一个未知数的值,并找出符合题意的整数解.本题就是在 已知a的取值范围的条件下,列举出所有符合条件的整数 值,通过计算求出b的值,最后选取a,b均是整数的解. 9. A 10. B 11. 八八 12. 设购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型号 的干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+380× (50-x)≤21 000,解得x≤12.5.∵ x为整数,∴ x的最 大值为12.∴ 最多可购买这种型号的水基灭火器12个. 13. (1) 设该班胜x场,负y场.根据题意,得 x+y=15, 3x+y=39, 解 得 x=12, y=3. ∴ 该班胜12场,负3场.(2) 设该班这场比赛 中投中了m 个3分球,则投中了(27-m)个2分球.根据 题意,得3m+2(27-m)≥58,解得m≥4.∴ m 的最小值 为4.∴ 该班在这场比赛中至少投中了4个3分球. 14. (1) 根据题意,得 a-b=2, 3b-2a=6, 解得 a=12 , b=10. (2) 设购 买A型设备x台,则购买B型设备(10-x)台.由题意,得 12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5.∵ x 为非负整数, ∴ x=0或1或2.∴ 有三种购买方案:① 购买A型设备 0台,B型设备10台;② 购买A型设备1台,B型设备 9台;③ 购买A型设备2台,B型设备8台.(3) 由题意, 得240x+200(10-x)≥2 040,解得x≥1.又∵ x≤2.5, 且x为非负整数,∴ x=1或2.当x=1时,购买资金为 12×1+10×9=102(万元);当x=2时,购买资金为12× 2+10×8=104(万元).∵ 102<104,∴ 为了节约资金,应 购买A型设备1台,B型设备9台. 专题六　平行线中与角有关的 计算问题 1. C 2. A 3. 55° 4. 16° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈