专题4 “含参”方程(组)和不等式(组)-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

35 专题四　“含参”方程（组）和不等式（组） “含参”方程(组)和不等式(组)是学习中的难点,也是重点.解这类问题要注意以下三点: (1) 紧紧围绕方程(组)与不等式(组)的有关概念,从定义出发寻求解决问题的方法;(2) 要辩证 看待问题中的参数与未知数,根据解题的需要,灵活变更“主元”;(3) 涉及不等式的问题,要充分 利用数轴,从数形结合的角度思考与解决问题. 类型一 “含参”方程（组） (一) 根据一次方程(组)的定义求参数 1. 若(k-2)x+1=0是关于x 的一元一次方 程,则k的值不可能是 ( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. -2 2. 若xm-2-yn+4=21是关于x,y的二元一次 方程,则m+n值为 . 3. 若 3xa-1+8y=2, 4x+bz=y 是关于x,y 的二元一次 方程组,则ab= . (二) 根据一次方程(组)解的定义求参数 4. 整体思想 若x=1是关于x的方程-2mx+ n-1=0的解,则2 024+n-2m 的值为 ( ) A. 2 023 B. 2 024 C. 2 025 D. 2 026 5. (眉山中考)已知关于x,y 的二元一次方程 组 3x-y=4m+1, x+y=2m-5 的解满足x-y=4,则 m 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若关于x,y的二元一次方程组 x+y=3, 2x-ay=5 的解是 x=b, y=1, 则 ab 的值为 . 7. 已知 x=2, y=1 是关于x,y 的二元一次方程组 2x+(m-1)y=2, nx+y=1 的 解,求 (m +n)2 024 的值. 答案讲解 8. 新考法 新定义题 若关于x,y 的二元一次方程组 a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2 与 a3x+b3y=c3, a4x+b4y=c4 的解分别是 x=x0 , y=y0 与 x=y0, y=x0, 则称这两个二元一次方程组的解是 “对称 解”.现 已 知 关 于 x,y 的 方 程 组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与 x-4y=23 , bx+ay=8 的解是“对 称解”,试求a,b的值及每个方程组的解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 36 (三) 根据一次方程组的错解求参数 9. 解关于x,y的方程组 mx+2y=6, 2x+ny=8 时,小军 看错了方程组中的n,解得 x=73 , y= 2 3 ; 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 小红看错 了方程组中的m,解得 x=-2, y=4. 求: (1) m,n的值; (2) 该方程组正确的解. 答案讲解 10. 甲、乙两人同时解关于x,y 的方 程组 ax+5y=15①, 4x-by=-2②, 由于甲看 错了方程①中的a,得到方程组的解为 x=-3, y=-1; 乙看错了方程②中的b,得到方程 组的解为 x=5, y=4. 试求a2 025+ -b10 2 024 的值. (四) 根据一次方程组解的情况求参数 11. 若关于x,y的二元一次方程组 ax+2y=1, 3x+y=3 有解,则 ( ) A. a≠0 B. a≠6 C. a=0 D. a为任意数 12. 已知m 为整数,关于x,y的二元一次方程 组 4x-3y=6, 6x+my=26 有 正 整 数 解,则 m = . 类型二 “含参”不等式（组） (一) 根据一次不等式的定义求参数 13. 已知4x2k+3+11+k2>4是关于x 的一元 一次不等式,则k的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 14. 已知关于x的不等式2m-mx2 > 1 2x-1 是 一元一次不等式,则 m 的取值范围是 . (二) 根据一次不等式(组)的解集求参数 15. 若关于x 的一元一次不等式m-2x3 ≤-2 的解集为x≥5,则m 的值为 ( ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 16. 若关于x 的不等式组 x-2>2a, -12+4x<10+ x 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的解集为-2<x<3,则a的取值范围是 ( ) A. a=-2 B. a=12 C. a≥-2 D. a≤-1 答案讲解 17. 已知关于x 的一元一次不等式组 2+2(1-x)>13-5x, x-k>-2 的解集是 x>3,则k的取值范围是 ( ) A. k<5 B. k≤5 C. k>5 D. k≥5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 37 18. 若关于x的一元一次不等式组 x-a>0, 1-x>x-1 无解,则a的取值范围是 . 19. 已知关于x 的不等式组 x-m>0, x-m<1 有解, 且它的每一个解都不符合2≤x<5,求m 的取值范围. (三) 根据一次不等式(组)的整数解求参数 20. 若x=3是关于x 的不等式2x-m>4的 一个整数解,而x=2不是其整数解,则m 的取值范围是 ( ) A. 0<m<2 B. 0≤m≤2 C. 0≤m<2 D. 0<m≤2 答案讲解 21. 若关于x 的一元一次不等式组 x-1>0, 2x-a<0 有且只有2个整数解, 则a的取值范围是 . 类型三 一次方程（组）与一次不等式（组） 结合求参数 22. ★若关于x的方程2x-m=4x-3+m 的 解为非负数,则m 的取值范围是 . 23. 已 知 关 于 x,y 的 二 元 一 次 方 程 组 2x-y=4m-5, x+4y=-7m+2 的解满足x+y>-3, 其中m 是非负整数,求m 的值. 答案讲解 24. 关于x,y的方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解满足x+y>0,且关于x的不 等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有解,求符合条件 的整数k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 10 4. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1.∵ 单项 式-2xm+4y2 和 x3y 的 积 与 7x6y3 是 同 类 项,且 -2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3,∴ m+7=6,解得m= -1.∴ 原式=4×(-1)2+1=4+1=5. 5. (1) M-3N=3a2+4ab-1-3(a2-2ab-1)=3a2+ 4ab-1-3a2+6ab+3=10ab+2.(2) ∵ (a-1)2+|b- 2|=0,∴ a-1=0,b-2=0,解得a=1,b=2.∴ M- 3N=10×1×2+2=22. 6. 原式=a2-4a+4+b2-2ab+4a-4=a2+b2-2ab. ∵ (a-b)2=2,即a2+b2-2ab=2,∴ 原式=2. 7. 原式=6xy+9y-8x+5xy-y+6x=11xy-2x+ 8y.∵ 2x-8y=1,xy=5,∴ 原式=11xy-(2x-8y)= 11×5-1=55-1=54. 8. 原式=2x4y2+6x2y+x4y2-x2y=3x4y2+5x2y.当 x2y=3时,原式=3(x2y)2+5x2y=3×32+5×3=42. 9. 原式=x2-16+x2-6x+9=2x2-6x-7.∵ x2- 3x+1=0,∴ x2-3x=-1.∴ 原式=2(x2-3x)-7= 2×(-1)-7=-2-7=-9. 10. (1) -22.(2)(3a+1,a-2)⊗(a+2,a-3)=(3a+ 1)(a-3)-(a-2)(a+2)=3a2-9a+a-3-(a2-4)= 3a2-9a+a-3-a2+4=2a2-8a+1.∵ a2-4a+1= 0,∴ a2-4a=-1.∴ 原式=2(a2-4a)+1=2×(-1)+ 1=-1. 11. 原式=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y2+3x2y- x3-y2=-2y2.∵ 结果中不含x,∴ 结果与x的取值无 关.当y=±2时,-2y2=-8,结果不变. 12. 原式=ax2-3x+by-1-6+2y+3x-2x2=(a- 2)x2+(b+2)y-7.(1) 当a=3,b=2时,原式=x2+ 4y-7.当x=y=1时,原式=12+4×1-7=-2.(2) 存 在.由题意,得a-2=0,b+2=0,解得a=2,b=-2. ∴ 当a=2,b=-2时,不管x,y 取何值,该代数式的值 始终是常数-7. 13. P=(x+2)2+x(1-x)-9=x2+4x+4+x-x2- 9=5x-5=5(x-1).∵ x 为整数,∴ 无论x 取何值,多 项式P 的值都能被5整除. 专题四　“含参”方程（组） 和不等式（组） 1. C 2. 0 3. 0 4. C 5. B 6. 1 7. 把 x=2, y=1 代 入 2x+ (m-1)y=2, nx+y=1, 解 得 m=-1 , n=0. ∴ (m+n)2 024=(-1+0)2 024=1. 8. ∵ 关于x,y的方程组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与 x-4y=23 , bx+ay=8 的解x,y的值刚好交换了位置,∴ 可得 2x+5y=-6, y-4x=23, 解得 x=-112 , y=1. ∴ 第一个方程组的解是 x=- 11 2 , y=1, 第二 个方程组的解是 x=1, y=- 11 2. 把 x=- 11 2 , y=1 代入ax-by= -4,得-112a-b=-4①. 把 x=1, y=- 11 2 代入bx+ay=8, 得b-112a=8②. 由①②,得 a=-411 , b=6. 9. (1) 把 x=73 , y= 2 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代入mx+2y=6,得 7 3m+ 4 3=6 ,解 得m=2.把 x=-2, y=4 代入2x+ny=8,得-4+4n=8,解 得n=3.(2) 由(1),得方程组为 2x+2y=6①, 2x+3y=8②. 由②- ①,得y=2.把y=2代入①,解得x=1.∴ 该方程组正确 的解为 x=1, y=2. 10. 将 x=-3, y=-1 代入②,得-12+b=-2,解得b=10.将 x=5, y=4 代入①,得5a+20=15,解得a=-1.∴ a2 025+ -b10 2 024 =(-1)2 025+(-1)2 024=-1+1=0. 11. B 12. 4或-4 13. C 14. m≠-1 15. D 16. A 17. B 18. a≥1 19. 由x-m>0,得x>m;由x-m<1,得x<m+1. ∴ 不等式组的解集为m<x<m+1.∵ 不等式组的每一 个解都不符合2≤x<5,∴ m+1≤2或m≥5,解得m≤1 或m≥5. 20. C 21. 6<a≤8 22. m≤32 利用方程(组)解的不等关系求参数的取值范围 由方程(组)解的不等关系列出不等式,求出方程 (组)中参数的取值范围,关键点有两个:一是要会解含 有参数的方程(组),二是要会根据解的不等关系列出 不等式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 23. 2x-y=4m-5①, x+4y=-7m+2②. ①+②,得3x+3y=-3m- 3,∴ x+y=-m-1.∵ x+y>-3,∴ -m-1>-3. ∴ m<2.∵ m 是非负整数,∴ m=1或0. 24. x+3y=3-2k①, 3x+y=1+k②. ①+②,得4x+4y=4-k,∴ x+ y=1- k 4.∵ 关于x,y 的方程组 x+3y=3-2k, 3x+y=1+k 的解 满足x+y>0,∴ 1-k4>0 ,解得k<4.由x-2(x-1)≤ 3,得x≥-1;由2k+x3 ≥x ,得x≤k.∵ 关于x的不等式 组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 有解,∴ k≥-1.∴ -1≤k<4. ∴ 符合条件的整数k的值有-1,0,1,2,3. 专题五　方程（组）和不等式在 实际生活中的应用 1. B 2. A 3. C 4. 5×8+3x+13y=100 , x+y+8=100 5. 2.5 6. 设这种大笔记本的单价是x元,则小笔记本的单价是 (x-3)元.根据题意,得4x+6(x-3)=62,解得x=8. ∴ 这种大笔记本的单价是8元. 7. 设天头长为x cm,则易得地头长为23x cm,边的宽为 1 10x+ 2 3x =16x(cm).∴ 装裱后的长为2 3x+x+ 100= 53x+100 cm,装裱后的宽为16x+ 1 6x+27= 1 3x+27 cm.由题意,得53x+100= 1 3x+27 ×4, 解得x=24.∴ 1 6x=4.∴ 边的宽为4 cm,天头长为 24 cm. 8. (1) 设足球和跳绳的单价分别为x 元,y 元.由题意, 得 12x+10y=1 400, 10x+12y=1 240, 解得 x=100 , y=20. ∴ 足球和跳绳的单 价分别为100元,20元.(2) 由题意,得80a+15b=1 800 (a>15),可购进足球的数量最多为1 800 80 ≈22 (个),∴ 15< a≤22.当a=16时,b=1043 (不合题意,舍去);当a=17 时,b=883 (不合题意,舍去);当a=18时,b=24;当a=19 时,b=563 (不合题意,舍去);当a=20时,b=403 (不合题 意,舍去);当a=21时,b=8;当a=22时,b=83 (不合题 意,舍去).∴ 有两种购进方案,方案一:购进足球18个, 跳绳24根;方案二:购进足球21个,跳绳8根.(3) 方案 一的获利为(100-80)×18+(20-15)×24=480(元),方 案二的获利为(100-80)×21+(20-15)×8=460(元). ∵ 480>460,∴ 为了获利最多,应选择方案一,即购进足 球18个,跳绳24根. 利用枚举法求二元一次方程的整数解 二元一次方程的解有无数组,但在限定条件下往往 可以求出其整数解.求二元一次方程的整数解,在问题 不是特别复杂的情况下,可以采用枚举法,即将其中的 一个未知数可以取的整数一一列举出来,求出对应的另 一个未知数的值,并找出符合题意的整数解.本题就是在 已知a的取值范围的条件下,列举出所有符合条件的整数 值,通过计算求出b的值,最后选取a,b均是整数的解. 9. A 10. B 11. 八八 12. 设购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型号 的干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+380× (50-x)≤21 000,解得x≤12.5.∵ x为整数,∴ x的最 大值为12.∴ 最多可购买这种型号的水基灭火器12个. 13. (1) 设该班胜x场,负y场.根据题意,得 x+y=15, 3x+y=39, 解 得 x=12, y=3. ∴ 该班胜12场,负3场.(2) 设该班这场比赛 中投中了m 个3分球,则投中了(27-m)个2分球.根据 题意,得3m+2(27-m)≥58,解得m≥4.∴ m 的最小值 为4.∴ 该班在这场比赛中至少投中了4个3分球. 14. (1) 根据题意,得 a-b=2, 3b-2a=6, 解得 a=12 , b=10. (2) 设购 买A型设备x台,则购买B型设备(10-x)台.由题意,得 12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5.∵ x 为非负整数, ∴ x=0或1或2.∴ 有三种购买方案:① 购买A型设备 0台,B型设备10台;② 购买A型设备1台,B型设备 9台;③ 购买A型设备2台,B型设备8台.(3) 由题意, 得240x+200(10-x)≥2 040,解得x≥1.又∵ x≤2.5, 且x为非负整数,∴ x=1或2.当x=1时,购买资金为 12×1+10×9=102(万元);当x=2时,购买资金为12× 2+10×8=104(万元).∵ 102<104,∴ 为了节约资金,应 购买A型设备1台,B型设备9台. 专题六　平行线中与角有关的 计算问题 1. C 2. A 3. 55° 4. 16° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈