专题3 整式的化简求值-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

32 专题三　整式的化简求值 整式的化简求值题,一般情况下应先化简,再代入求值.代入求值时,若是直接给定字母的 值,则直接代入;若是给定某个式子的值,则往往需整体代入,或者将所给式子化简变形后,再直 接或整体代入求值,或者根据式子求出字母的值,再代入求值. 类型一 先化简，再直接代入求值 1. 先化简,再求值: (1) 5m2-[3m-(3m+3)+4m2],其中 m=-3; (2) (5a2+2a-1)-4(3-8a+2a2),其中a 是最大的负整数; (3) 3 2m- 5 2m-1 +3(4-m),其中m 的 倒数等于它本身; (4) (a+2b)(a-2b)+(a+2b)2-a(2a- 3b),其中a=15 ,b=3; (5) x(x-4y)+(2x+y)(2x-y)-(2x- y)2,其中x=-2,y=1; (6) (2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+5x(x+ 1),选取一个你喜欢的数作为x 的值代入 求值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 拍 照 批 改 33 2. 已知|x|=2y,y= 1 2 ,且xy<0,求代数式 4(2x2y-xy2)-2(2xy2+3x2y)的值. 3. 已知|a-3|+(b+1)2=0,求代数式(a- 3b)(3a+2b)-2b(5a-3b)的值. 4. 已 知 单 项 式-2xm+4y2 和 x3y 的 积 与 7x6y3是同类项,求2m2(3-m)-2(m2- m3)+1的值. 答案讲解 5. 已知M=3a2+4ab-1,N=a2- 2ab-1. (1) 用含a,b的代数式表示M-3N; (2) 若a,b满足(a-1)2+|b-2|=0,求 M-3N 的值. 类型二 先化简，再整体代入求值 6. 先化简,再求值:(a-2)2+b(b-2a)+4(a- 1),其中(a-b)2=2. 7. 已知2x-8y=1,xy=5,求(6xy+9y)- [8x-(5xy-y+6x)]的值. 8. 先化简,再求值:2xy(x3y+3x)+xy(x3y- x),其中x2y=3. 9. 先化简,再求值:(x+4)(x-4)+(x-3)2, 其中x2-3x+1=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 34 答案讲解 10. 新考法 新定义题 对于任意有 理数a,b,c,d,规定(a,b)⊗(c, d)=ad-bc,例如:(1,3)⊗(2,4)= 1×4-3×2=-2. (1) (-2,3)⊗(4,5)的值为 ; (2) 求(3a+1,a-2)⊗(a+2,a-3)的值, 其中a2-4a+1=0. 类型三 化简说理 11. 有一道题:求(2x3-3x2y-2xy2)-(x3- 2xy2+y2)+(3x2y-x3-y2)的值,其中 x=12 ,y=-2.在计算的过程中,小芳错把 “x=12 ”写成“x=2”;小玲错把“y=-2”写 成“y=2”,但她们的计算结果却都是正确 的,你能找出其中的原因吗? 答案讲解 12. 新考法 探究题 我们知道,关于 x,y的多项式(ax2-3x+by-1)- 23-y- 3 2x+x 2 中,a,b分别是 ax2和by 项的系数.一般情况下,当给定 a,b的值之后,这个多项式的值由x,y 的 取值确定. (1) 给定a=3,b=2,当x=y=1时,求这 个多项式的值. (2) 是否存在a,b,不管x,y 取何值,该多 项式的值始终是一个常数? 如果存在,请 求出a,b的值;如果不存在,请说明理由. 13. 已知多项式P=(x+2)2+x(1-x)-9(x 为整数).试说明:无论x取何值,多项式P 的值都能被5整除. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 9 由:∵ M,N 分别为AC,BC 的中点,∴ AM=MC= 1 2AC ,CN=BN=12BC.∴ MN=MC-CN=12AC- 1 2BC= 1 2 (AC-BC)=12bcm. 第6题 7. (1) ① 45;135.② ∠ACB+∠DCE=180°.理由: ∵ ∠ACD=∠BCE=90°,∴ ∠DCE=90°-∠BCD. ∴ ∠ACB+∠DCE=∠ACD+∠BCD+(90°-∠BCD)= 180°.(2) 由题意得,∠BCE=90°,∠ACD=60°.∵ ∠ACD= 60°,∴ ∠DCE=60°-∠ACE.∴ ∠ACB+∠DCE= ∠BCE+∠ACE+∠DCE=∠BCE+∠ACE+(60°- ∠ACE)=150°.(3) ∠AOD+∠BOC=α+β.理由: ∵ ∠AOB=α,∠COD =β,∴ ∠AOC=α- ∠BOC. ∴ ∠AOD=∠COD + ∠AOC =β+ (α- ∠BOC). ∴ ∠AOD+∠BOC=α+β. 8. (1) 当点C,D 运动了2s时,CM=2cm,BD=6cm. ∵ AB=10cm,CM=2cm,BD=6cm,∴ AC+MD= AB-CM-BD=10-2-6=2(cm).(2) ∵ C,D 两点的 运动速度分别为1cm/s,3cm/s,∴ BD=3CM.又∵ MD= 3AC,∴ BD+MD=3CM+3AC,即BM=3AM.∴ AB= AM+MB=4AM.∴ AM=14AB. (3) 如图①,当点N 在线段AB 上时,∵ AN-BN=MN,AN-AM=MN, ∴ BN =AM = 14AB.∴ MN= 1-14- 1 4 AB= 1 2AB ,即MN AB= 1 2. 如图②,当点N 在线段AB 的延长线 上时,∵ AN-BN=MN,AN-BN=AB,∴ MN= AB,即MNAB=1. 综上所述,MN AB 的值为1 2 或1. 第8题 线段动态问题的解决方法 解决线段上的动点问题时,需要明确点的运动方 向和速度,考虑点的运动会带来哪些线段长度的变化 或对应位置的变化;对于一些图形位置不固定的问题, 要将所有情况一一列举出来,并利用线段的和差倍分 关系进行计算. 9. (1) ∠DBA=∠DBC-∠ABC=60°-45°=15°. (2) 设∠ABE=x°,则∠ABD=60°-x°,∠CBE=45°- x°.∵ BM,BN 分别平分∠ABD,∠CBE,∴ ∠ABM= 1 2∠ABD= 1 2 (60°-x°),∠EBN=12∠CBE= 1 2 (45°- x°).∴ ∠MBN=∠ABM+∠ABE+∠EBN=12 (60°- x°)+x°+12 (45°-x°)=52.5°.(3) 设∠ABE=y°,则 ∠ABD=60°+y°,∠CBE=45°+y°.∵ BM,BN 分别平 分∠ABD,∠CBE,∴ ∠ABM=12∠ABD= 1 2 (60°+ y°),∠EBN= 1 2∠CBE= 1 2 (45°+y°).∴ ∠MBN= ∠ABM-∠ABE+∠EBN=12 (60°+y°)-y°+ 1 2 (45°+ y°)=52.5°,即∠MBN 的度数不会发生变化. 专题三　整式的化简求值 1. (1) 原式=5m2-(3m-3m-3+4m2)=5m2-(-3+ 4m2)=5m2+3-4m2=m2+3.当m=-3时,原式= (-3)2+3=12.(2) 原式=5a2+2a-1-12+32a- 8a2=-3a2+34a-13.∵ a 是最大的负整数,∴ a= -1.当a=-1时,原式=-3×(-1)2+34×(-1)- 13=-50.(3) 原式=32m- 5 2m+1+12-3m=-4m+ 13.∵ m 的倒数等于它本身,∴ m=±1.当m=1时,原 式=-4×1+13=-4+13=9;当m=-1时,原式= -4×(-1)+13=4+13=17.(4) 原式=a2-4b2+a2+ 4ab+4b2-2a2+3ab=7ab.当a=15 ,b=3时,原式= 7×15×3= 21 5. (5) 原式=x2-4xy+4x2-y2-4x2+ 4xy-y2=x2-2y2.当x=-2,y=1时,原式=(-2)2- 2×12=2.(6) 原式=4x2-4x+1-(9x2-1)+5x2+ 5x=4x2-4x+1-9x2+1+5x2+5x=x+2.选取的数 不唯一,如当x=1时,原式=1+2=3. 2. ∵ |x|=2y,y= 1 2 ,且xy<0,∴ x=-1.原式= 8x2y-4xy2-4xy2-6x2y=2x2y-8xy2.当x=-1, y= 1 2 时,原式=2×(-1)2×12-8× (-1)× 12 2 = 1+2=3. 3. ∵ |a-3|+(b+1)2=0,∴ a-3=0,b+1=0.∴ a= 3,b=-1.原式=3a2+2ab-9ab-6b2-10ab+6b2= 3a2-17ab.当a=3,b=-1时,原式=3×32-17×3× (-1)=78. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 10 4. 原式=6m2-2m3-2m2+2m3+1=4m2+1.∵ 单项 式-2xm+4y2 和 x3y 的 积 与 7x6y3 是 同 类 项,且 -2xm+4y2·x3y=-2xm+7y3,∴ m+7=6,解得m= -1.∴ 原式=4×(-1)2+1=4+1=5. 5. (1) M-3N=3a2+4ab-1-3(a2-2ab-1)=3a2+ 4ab-1-3a2+6ab+3=10ab+2.(2) ∵ (a-1)2+|b- 2|=0,∴ a-1=0,b-2=0,解得a=1,b=2.∴ M- 3N=10×1×2+2=22. 6. 原式=a2-4a+4+b2-2ab+4a-4=a2+b2-2ab. ∵ (a-b)2=2,即a2+b2-2ab=2,∴ 原式=2. 7. 原式=6xy+9y-8x+5xy-y+6x=11xy-2x+ 8y.∵ 2x-8y=1,xy=5,∴ 原式=11xy-(2x-8y)= 11×5-1=55-1=54. 8. 原式=2x4y2+6x2y+x4y2-x2y=3x4y2+5x2y.当 x2y=3时,原式=3(x2y)2+5x2y=3×32+5×3=42. 9. 原式=x2-16+x2-6x+9=2x2-6x-7.∵ x2- 3x+1=0,∴ x2-3x=-1.∴ 原式=2(x2-3x)-7= 2×(-1)-7=-2-7=-9. 10. (1) -22.(2)(3a+1,a-2)⊗(a+2,a-3)=(3a+ 1)(a-3)-(a-2)(a+2)=3a2-9a+a-3-(a2-4)= 3a2-9a+a-3-a2+4=2a2-8a+1.∵ a2-4a+1= 0,∴ a2-4a=-1.∴ 原式=2(a2-4a)+1=2×(-1)+ 1=-1. 11. 原式=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y2+3x2y- x3-y2=-2y2.∵ 结果中不含x,∴ 结果与x的取值无 关.当y=±2时,-2y2=-8,结果不变. 12. 原式=ax2-3x+by-1-6+2y+3x-2x2=(a- 2)x2+(b+2)y-7.(1) 当a=3,b=2时,原式=x2+ 4y-7.当x=y=1时,原式=12+4×1-7=-2.(2) 存 在.由题意,得a-2=0,b+2=0,解得a=2,b=-2. ∴ 当a=2,b=-2时,不管x,y 取何值,该代数式的值 始终是常数-7. 13. P=(x+2)2+x(1-x)-9=x2+4x+4+x-x2- 9=5x-5=5(x-1).∵ x 为整数,∴ 无论x 取何值,多 项式P 的值都能被5整除. 专题四　“含参”方程（组） 和不等式（组） 1. C 2. 0 3. 0 4. C 5. B 6. 1 7. 把 x=2, y=1 代 入 2x+ (m-1)y=2, nx+y=1, 解 得 m=-1 , n=0. ∴ (m+n)2 024=(-1+0)2 024=1. 8. ∵ 关于x,y的方程组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与 x-4y=23 , bx+ay=8 的解x,y的值刚好交换了位置,∴ 可得 2x+5y=-6, y-4x=23, 解得 x=-112 , y=1. ∴ 第一个方程组的解是 x=- 11 2 , y=1, 第二 个方程组的解是 x=1, y=- 11 2. 把 x=- 11 2 , y=1 代入ax-by= -4,得-112a-b=-4①. 把 x=1, y=- 11 2 代入bx+ay=8, 得b-112a=8②. 由①②,得 a=-411 , b=6. 9. (1) 把 x=73 , y= 2 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代入mx+2y=6,得 7 3m+ 4 3=6 ,解 得m=2.把 x=-2, y=4 代入2x+ny=8,得-4+4n=8,解 得n=3.(2) 由(1),得方程组为 2x+2y=6①, 2x+3y=8②. 由②- ①,得y=2.把y=2代入①,解得x=1.∴ 该方程组正确 的解为 x=1, y=2. 10. 将 x=-3, y=-1 代入②,得-12+b=-2,解得b=10.将 x=5, y=4 代入①,得5a+20=15,解得a=-1.∴ a2 025+ -b10 2 024 =(-1)2 025+(-1)2 024=-1+1=0. 11. B 12. 4或-4 13. C 14. m≠-1 15. D 16. A 17. B 18. a≥1 19. 由x-m>0,得x>m;由x-m<1,得x<m+1. ∴ 不等式组的解集为m<x<m+1.∵ 不等式组的每一 个解都不符合2≤x<5,∴ m+1≤2或m≥5,解得m≤1 或m≥5. 20. C 21. 6<a≤8 22. m≤32 利用方程(组)解的不等关系求参数的取值范围 由方程(组)解的不等关系列出不等式,求出方程 (组)中参数的取值范围,关键点有两个:一是要会解含 有参数的方程(组),二是要会根据解的不等关系列出 不等式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈