专题2 与线段、角有关的计算和证明-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

29 专题二　与线段、角有关的计算和证明 有关线段、角的计算的题目往往渗透了一些数学思想,如方程思想、分类讨论思想、整体思想 等,借助数学思想并结合几何图形可以进行线段、角之间的转化.特别是一些动态问题,动点会带 来线段的相对位置、长度的变化,角的运动会带来角的相对位置和大小的变化,解决这类问题要 明确运动的方向、速度,用已知的量表示变化的量,从而解决问题. 类型一 方程思想 1. (1) 一个角的余角比这个角的1 2 小30°,求 这个角的度数; (2) 一个锐角的补角比它的余角的4倍小 30°,求这个锐角的度数. 2. 如图,点O 在直线MN 上,过点O 引射线 OA 和OB,且∠MOA=2∠BON,∠BON 比∠AOB 大20°.求∠MOA 和∠AOB 的 度数. 第2题 3. ★如图,C,B是线段AD 上的两点,AC∶CB∶ BD=3∶1∶4,E,F 分别是AB,CD 的中点, 且EF=14,求AB,CD 的长. 第3题 类型二 分类讨论思想 4. 已知线段AB=60,C 为直线AB 上一点, AB=54BC. (1) 求线段BC 的长; (2) E 为线段AC 上一点,AE=14AC ,F 为 线段BC 上一点,CF=2FB,求线段 EF 的长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 30 5. 新考法 新定义题 [定义]从角的顶点出 发,在角的内部作一条射线,若该射线将该 角分成的两个角中有一个角与该角互为余 角,则称该射线为这个角的“分余线”. [应用](1) 如图①,∠AOB=70°,∠AOC= 50°,判断射线OC 是否为∠AOB 的“分余 线”,并说明理由. (2) 如图②,射线OC 平分∠AOB,且射线 OC 为∠AOB 的“分余线”,求∠AOB 的 度数. (3) 如图③,∠AOB=160°,在∠AOB 的内 部作射线OC,OM,ON,使OM 为∠AOC 的 平分线,ON 为∠BOC 的平分线.当OC 为 ∠MON 的“分余线”时,求∠AOC 的度数. 第5题 类型三 整体思想 6. (1) 如图,点C 在线段AB 上,AC=10cm, BC=8cm,M,N 分别为AC,BC 的中点.求 线段MN 的长. (2) 若C 为线段AB 上一点,且满足AC+ BC=acm,M,N 分别为AC,BC 的中点,试 猜想MN 的长,并说明理由(用含a的代数 式表示). (3) 若点C 在线段AB 的延长线上,且满足 AC-BC=bcm,M,N 分别为AC,BC 的中 点,试猜想 MN 的长(用含b 的代数式表 示).请你先画出图形,再写出猜想,并说明 理由. 第6题 7. 现在我们用一副三角尺来探究两个角之间 的关系. (1) 如图①,将两把三角尺的直角顶点C 叠 放在一起,使CD 落在∠BCE 内部. ① 若CD 平分∠BCE,则∠DCE 的度数为 °,∠ACB 的度数为 °; ② 猜想∠ACB 与∠DCE 之间的数量关系, 并说明理由. (2) 如图②,将一把三角尺的直角顶点与另 一把三角尺60°角的顶点重合,使CD 落在 ∠BCE 内部,求∠ACB+∠DCE 的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 31 (3) 根据以上探究,有同学提出,将任意两个 锐角的顶点重合,使一个角的一边落在另一 个角的内部,都有类似的结论.如图③, ∠AOB=α,∠COD=β(0°<α<90°,0°< β<90°),它们的顶点O 重合,则∠AOD 与 ∠BOC之间有怎样的数量关系(用含α,β的 代数式表示)? 请说明理由. 第7题 类型四 动态问题 8. ★如图①,M 是线段AB 上一点,点C 在线 段AM 上,点D 在线段BM 上,C,D 两点分 别同时从点 M,B 出发,分别以1cm/s, 3cm/s的速度沿直线BA 运动,运动方向如 图中箭头所示. (1) 若AB=10cm,2cm<AM<4cm,当点 C,D 运动了2s时,求AC+MD 的长; (2) 若点C,D 运动时,总有MD=3AC,求 AM 与AB 之间的数量关系; (3) 如图②,若AM=14AB ,N 是直线AB 上一点,且AN-BN=MN,求MNAB 的值. 第8题 答案讲解 9. 将一副三角尺按如图①所示的方式 摆放(∠D=30°,∠BAC=45°). (1) 求∠DBA 的度数; (2) 将三角尺DBE 绕点B 按逆时针方向旋 转到如图②所示的位置,且BM,BN 分别平 分∠ABD,∠CBE,求∠MBN 的度数; (3) 若将三角尺BDE 继续绕点B 按逆时针 方向旋转到如图③所示的位置,其他条件同 (2),则∠MBN 的度数是否会发生变化? 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 8 (-8)- 4×94+1 =-2-10=-12.(4) 原式= 214- 1 4 ÷ -32 + -35 × -53 = 2× -23 +1=-43+1=-13.(5) 原式=-9×19+ 3 4× (-24)-16× (-24)+38× (-24)=-1-18+4- 9=-24. 7. 令S=1+5+52+53+…+52 024,则5S=5+52+53+ 54+…+52 025.两式相减,得5S-S=52 025-1.∴ 原式= S=5 2 025-1 4 . 8. 令S=2+4+6+8+…+2 024①,即S=2 024+2 022+ 2 020+…+2②.①+②,得2S=(2+2 024)×1 012. ∴ S= (2+2 024)×1 012 2 =1 025 156.∴ 2+4+6+ 8+…+2 024=1 025 156. 9. (1) 1 b 1 a- 1 a+b .(2) 1 1×4+ 1 4×7+ 1 7×10+ …+ 1 2 022×2 025= 1 3× 1-14+14-17+17-110+…+ 1 2022- 1 2025 =13× 1- 12 025 =2 024 6 075. 专题二　与线段、角有关的 计算和证明 1. (1) 设这个角的度数为x,则它的余角为90°-x.根据 题意,得1 2x- (90°-x)=30°,解得x=80°.(2) 设这个 锐角的度数为y.根据题意,得180°-y=4(90°-y)- 30°,解得y=50°. 2. 设∠BON=x°,则∠MOA=2x°.根据题意,得x°- (180°-x°-2x°)=20°,解得x=50.∴ ∠MOA=2x°= 100°,∠AOB=180°-x°-2x°=30°. 3. 设AC=3x,则CB=x,BD=4x.∴ AB=AC+CB= 3x+x=4x,CD=CB+BD=x+4x=5x.∵ E,F 分别 是AB,CD 的中点,∴ BE=12AB=2x ,CF=12CD= 5 2x.∵ EF=14,∴ EB+CF-CB=14.∴ 2x+52x- x=14,解得x=4.∴ AB=4x=16,CD=5x=20. 解关系复杂的线段或角的计算题的方法 解关系复杂的线段或角的计算题时,往往通过设 未知数(如本题中出现比,可以设每份为x),并根据已 知条件,用未知数表示其他量,然后根据题目中的等量 关系列方程求解. 4. (1) ∵ AB=60,AB=54BC ,∴ BC=48.(2) ① 当 点C在线段AB 上时(如图①),∵ AB=60,BC=48, ∴ AC=AB-BC=12.∵ AE=14AC ,∴ AE=3.∴ CE= AC-AE=9.∵ CF=2FB,BC=BF+CF,∴ BF=16, CF=32.∵ EF=EC+CF,∴ EF=41.② 当点C 在线 段AB 的延长线上时(如图②),∵ AB=60,BC=48, ∴ AC=AB+BC=108.∵ AE=14AC ,∴ AE=27. ∴ BE=AB-AE=33.∵ CF=2FB,BC=BF+CF, ∴ BF=16,CF=32.∵ EF=BE+BF,∴ EF=49.综上 所述,线段EF 的长为41或49. 第4题 5. (1) 射线OC是∠AOB 的“分余线”.理由:∵ ∠AOB= 70°,∠AOC=50°,∴ ∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°- 50°=20°.∵ ∠AOB+∠BOC=70°+20°=90°,∴ 射线 OC是∠AOB 的“分余线”.(2) ∵ 射线OC 平分∠AOB, ∴ ∠AOC=∠BOC=12∠AOB.∵ 射线OC 为∠AOB 的“分余线”,∴ ∠BOC+∠AOB=90°,即12∠AOB+ ∠AOB=90°.∴ ∠AOB=60°.(3) ∵ OC 为∠MON 的 “分余线”,∴ 分两种情况:① 当∠MOC+∠MON=90° 时,∵ OM 为∠AOC的平分线,ON 为∠BOC 的平分线, ∴ ∠MOC=12∠AOC ,∠NOC=12∠BOC.∴ ∠MON= ∠MOC+∠NOC=12 (∠AOC+∠BOC)=12∠AOB= 80°.∴ ∠MOC=10°.∴ ∠AOC=20°;② 当∠NOC+ ∠MON=90°时,同理①,得∠NOC=10°,∠BOC=20°, ∴ ∠AOC=∠AOB-∠BOC=140°.综上所述,∠AOC 的度数为20°或140°. 6. (1) ∵ M,N 分别为AC,BC 的中点,AC=10cm, BC=8cm,∴ CM=12AC=5cm ,CN=12BC=4cm. ∴ MN=CM+CN=9cm.(2) MN=12acm. 理由: ∵ M,N 分别为AC,BC 的中点,∴ CM=12AC ,CN= 1 2BC.∴ MN =CM +CN = 12AC + 1 2BC = 1 2 (AC+BC)=12acm. (3) 如图所示.MN=12bcm. 理 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 由:∵ M,N 分别为AC,BC 的中点,∴ AM=MC= 1 2AC ,CN=BN=12BC.∴ MN=MC-CN=12AC- 1 2BC= 1 2 (AC-BC)=12bcm. 第6题 7. (1) ① 45;135.② ∠ACB+∠DCE=180°.理由: ∵ ∠ACD=∠BCE=90°,∴ ∠DCE=90°-∠BCD. ∴ ∠ACB+∠DCE=∠ACD+∠BCD+(90°-∠BCD)= 180°.(2) 由题意得,∠BCE=90°,∠ACD=60°.∵ ∠ACD= 60°,∴ ∠DCE=60°-∠ACE.∴ ∠ACB+∠DCE= ∠BCE+∠ACE+∠DCE=∠BCE+∠ACE+(60°- ∠ACE)=150°.(3) ∠AOD+∠BOC=α+β.理由: ∵ ∠AOB=α,∠COD =β,∴ ∠AOC=α- ∠BOC. ∴ ∠AOD=∠COD + ∠AOC =β+ (α- ∠BOC). ∴ ∠AOD+∠BOC=α+β. 8. (1) 当点C,D 运动了2s时,CM=2cm,BD=6cm. ∵ AB=10cm,CM=2cm,BD=6cm,∴ AC+MD= AB-CM-BD=10-2-6=2(cm).(2) ∵ C,D 两点的 运动速度分别为1cm/s,3cm/s,∴ BD=3CM.又∵ MD= 3AC,∴ BD+MD=3CM+3AC,即BM=3AM.∴ AB= AM+MB=4AM.∴ AM=14AB. (3) 如图①,当点N 在线段AB 上时,∵ AN-BN=MN,AN-AM=MN, ∴ BN =AM = 14AB.∴ MN= 1-14- 1 4 AB= 1 2AB ,即MN AB= 1 2. 如图②,当点N 在线段AB 的延长线 上时,∵ AN-BN=MN,AN-BN=AB,∴ MN= AB,即MNAB=1. 综上所述,MN AB 的值为1 2 或1. 第8题 线段动态问题的解决方法 解决线段上的动点问题时,需要明确点的运动方 向和速度,考虑点的运动会带来哪些线段长度的变化 或对应位置的变化;对于一些图形位置不固定的问题, 要将所有情况一一列举出来,并利用线段的和差倍分 关系进行计算. 9. (1) ∠DBA=∠DBC-∠ABC=60°-45°=15°. (2) 设∠ABE=x°,则∠ABD=60°-x°,∠CBE=45°- x°.∵ BM,BN 分别平分∠ABD,∠CBE,∴ ∠ABM= 1 2∠ABD= 1 2 (60°-x°),∠EBN=12∠CBE= 1 2 (45°- x°).∴ ∠MBN=∠ABM+∠ABE+∠EBN=12 (60°- x°)+x°+12 (45°-x°)=52.5°.(3) 设∠ABE=y°,则 ∠ABD=60°+y°,∠CBE=45°+y°.∵ BM,BN 分别平 分∠ABD,∠CBE,∴ ∠ABM=12∠ABD= 1 2 (60°+ y°),∠EBN= 1 2∠CBE= 1 2 (45°+y°).∴ ∠MBN= ∠ABM-∠ABE+∠EBN=12 (60°+y°)-y°+ 1 2 (45°+ y°)=52.5°,即∠MBN 的度数不会发生变化. 专题三　整式的化简求值 1. (1) 原式=5m2-(3m-3m-3+4m2)=5m2-(-3+ 4m2)=5m2+3-4m2=m2+3.当m=-3时,原式= (-3)2+3=12.(2) 原式=5a2+2a-1-12+32a- 8a2=-3a2+34a-13.∵ a 是最大的负整数,∴ a= -1.当a=-1时,原式=-3×(-1)2+34×(-1)- 13=-50.(3) 原式=32m- 5 2m+1+12-3m=-4m+ 13.∵ m 的倒数等于它本身,∴ m=±1.当m=1时,原 式=-4×1+13=-4+13=9;当m=-1时,原式= -4×(-1)+13=4+13=17.(4) 原式=a2-4b2+a2+ 4ab+4b2-2a2+3ab=7ab.当a=15 ,b=3时,原式= 7×15×3= 21 5. (5) 原式=x2-4xy+4x2-y2-4x2+ 4xy-y2=x2-2y2.当x=-2,y=1时,原式=(-2)2- 2×12=2.(6) 原式=4x2-4x+1-(9x2-1)+5x2+ 5x=4x2-4x+1-9x2+1+5x2+5x=x+2.选取的数 不唯一,如当x=1时,原式=1+2=3. 2. ∵ |x|=2y,y= 1 2 ,且xy<0,∴ x=-1.原式= 8x2y-4xy2-4xy2-6x2y=2x2y-8xy2.当x=-1, y= 1 2 时,原式=2×(-1)2×12-8× (-1)× 12 2 = 1+2=3. 3. ∵ |a-3|+(b+1)2=0,∴ a-3=0,b+1=0.∴ a= 3,b=-1.原式=3a2+2ab-9ab-6b2-10ab+6b2= 3a2-17ab.当a=3,b=-1时,原式=3×32-17×3× (-1)=78. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈