专题1 有理数的运算技巧-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

26 专题一　有理数的运算技巧 有理数的运算是“数与代数”领域的重要内容之一,是后续学习实数的运算、整式的运算等章 节知识的基础.在进行有理数的运算时,若能根据算式中数的结构特征, 正确运用有理数的运算 法则和运算律,采用适当的运算技巧,则能化繁为简,提高运算速度和正确率. 类型一 巧用加法运算律 1. 计算: (1) 24+(-25)-15-(-16); (2) -323 - -234 - -123 -(+1.75). 2. 阅读材料: 对于 -556 + -923 +1734+ -312 , 计算如下: 原式= (-5)+ -56 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + (-9)+ -23 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 + 17+34 + (-3)+ -12 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 = [(-5)+ (-9)+17+(-3)]+ -56 + -23 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 + 3 4+ - 1 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 =0+ -114 =-114. 上面这种方法叫作拆项法. 仿照上面的方法,计算: (1) -114+ -2 1 3 +756+ -412 ; (2) -2 02523 +2 02434+ -2 02356 + 2 02212. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 拍 照 批 改 27 类型二 巧用乘法运算律 3. 计算: (1) (-172)×(-0.25)× -186 ×40; (2) -24×116-1 1 2+2 1 4-1 1 12 ; (3) -10556 ×12. 4. 利用乘法运算律有时能进行简便计算. 例如:98×12=(100-2)×12=1 200-24= 1 176. 参考上面的例子,用乘法运算律进行简便计 算:999×(-15). 答案讲解 5. ★计算: (1) 25× 12 2 -(-25)×15+ 25×34 ; (2) 338×8 1 3-3 1 8 ÷1124×827. 类型三 各加数(或因数)同时化简,减少运算 步骤 6. 计算: (1) (-1)2÷12+ (7-3)×34-1 ; (2) -14÷(-5)2× -53 +|0.8-1|; (3) 0.25×(-2)3-4÷ -23 2 +1 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 28 (4) 214- - 1 2 2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ÷ -32 + -35 × -123 ; (5) -32× -13 2 + 34- 1 6+ 3 8 ×(-24). 类型四 错位相减 答案讲解 7. 求1+2+22+23+…+22 024的值. 令S=1+2+22+23+…+22 024, 则2S=2+22+23+24+…+22 025. 两式相减,得2S-S=22 025-1. ∴ 原式=S=22 025-1. 请你仿照上述方法,求1+5+52+53+…+ 52 024的值. 类型五 倒序相加 8. “数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在 他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+ 2+3+…+98+99+100=5 050.今天我们 可以将高斯的方法归纳如下: 令S=1+2+3+…+98+99+100①, 即S=100+99+98+…+3+2+1②. ①+②,得2S=(1+100)×100. ∴ S=5 050. 请仿照以上方法,求2+4+6+8+…+ 2 024的值. 类型六 裂项相消 答案讲解 9. 观察下列式子: 1 1×3= 1 2×1- 1 3 ; 1 2×5= 1 3× 1 2- 1 5 ; 1 2×7= 1 5× 1 2- 1 7 ; … (1) 根据观察,可以得到 1 a(a+b) (a>0,b> 0)= ; (2) 计 算: 1 1×4+ 1 4×7+ 1 7×10+ … + 1 2 022×2 025. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 7 b)2=6a2+3ab+2ab+b2-a2-2ab-b2=(5a2+3ab)平 方米.(2) ∵ (x+2)(x+3)=x2+5x+6=x2+ax+b, ∴ a=5,b=6.∴ 草坪的面积为5×52+3×5×6=215(平 方米).∴ 铺设草坪所需的总费用为215×50=10 750(元). 20. (1) (x+y+3)2.(2) (x-y+z)(x-y-z).(3) (n+ 1)(n+4)(n2+5n)+4=(n2+5n+4)(n2+5n)+4.设 M=n2+5n,则原式=(M+4)M+4=M2+4M+4= (M+2)2.将 M=n2+5n 代入还原,可得原式=(n2+ 5n+2)2.∵ n 为正整数,∴ n2+5n+2也是正整数. ∴ (n+1)(n+4)(n2+5n)+4的值是某个正整数的 平方. 21. (1) 由题意,得 17(a+0.8)+(20-17)(b+0.8)=66, 17(a+0.8)+(25-17)(b+0.8)=91, 解得 a=2.2, b=4.2. (2) 9 200×2%=184(元).当用水量为 30吨时,水费为17×2.2+(30-17)×4.2+0.8×30= 116(元).∵ 116<184,∴ 小梦家6月份的用水量超过 30吨.设小梦家6月份的用水量为x吨.由题意,得17× 2.2+(30-17)×4.2+6(x-30)+0.8x≤184,解得x≤ 40,∴ 小梦家6月份最多能用水40吨. 22. (1) ∵ ∠ACB=90°,CD 是高,∴ ∠B+∠CAB= 180°-∠ACB=90°,∠ACD+∠CAB=180°-∠ADC= 90°.∴ ∠B=∠ACD.∵ AE 是角平分线,∴ ∠CAF= ∠DAF.∵ ∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+ ∠B,∴ ∠CFE=∠CEF.(2) 相等.理由:∵ AF 为 ∠BAG 的平分线,∴ ∠GAF=∠DAF.∵ CD 为边AB 上 的 高,∠ACB =90°,∴ ∠ADF = ∠ACE =90°. 又∵ ∠CAE=∠GAF,∴ ∠CAE=∠DAF.∴ 180°- ∠CAE-∠ACE=180°-∠DAF-∠ADF.∴ ∠CEF= ∠CFE.(3) ∠M +∠CFE=90°.理由:∵ ∠BAG+ ∠BAC=180°,AE,AN 为角平分线,∴ ∠EAN=∠EAB+ ∠BAN = 12∠BAC + 1 2∠BAG = 1 2 (∠BAC + ∠BAG)=90°.∴ ∠EAM=90°.∴ ∠M+∠CEF=90°. ∵ ∠CEF=∠EAB+∠B,∠CFE=∠EAC+∠ACD, AE 为 角 平 分 线,∠ACD = ∠B,∴ 易 得 ∠CEF = ∠CFE.∴ ∠M+∠CFE=90°. 2 整合提优 专题一　有理数的运算技巧 1. (1) 原式=24-25-15+16=(24+16)-(25+15)= 40-40=0.(2) 原式=-323+2 3 4+1 2 3-1 3 4= -323+1 2 3 + 234-134 =-2+1=-1. 2. (1) 原式= (-1)+ -14 + (-2)+ -13 + 7+56 + (-4)+ -12 =[(-1)+(-2)+7+ (-4)]+ -14 + -13 +56+ -12 =0+ -14 =-14.(2) 原式= (-2 025)+ -23 + 2 024+34 + (-2 023)+ -56 + 2 022+12 = [(-2 025)+2 024+(-2 023)+2 022]+ -23 + 3 4+ - 5 6 +12 =(-2)+ -14 =-214. 3. (1) 原式=- 172×0.25×186×40 =- 172×186 × (0.25×40)=-2×10=-20.(2) 原式=-24× 7 6- 3 2+ 9 4- 13 12 =(-24)×76+(-24)× -32 + (-24)×94+ (-24)× -1312 =-28+36-54+26= -20.(3) 原式= -105-56 ×12=-105×12-56× 12=-1 260-10=-1 270. 4. 999×(-15)=(1 000-1)×(-15)=1 000×(-15)- 1×(-15)=-15 000+15=-14 985. 5. (1) 原式=25× 14 +25× 1 5 +25× 3 4 =25× 1 4+ 1 5+ 3 4 =25×65=30.(2) 原式=278× 8 27× 24 25× 25 3- 25 8 =2425×253-2425×258=8-3=5. 灵活运用乘法运算律简化运算 有理数的乘法运算律包括乘法交换律、乘法结合 律、乘法分配律,运用前两个运算律,可以任意交换因 数的位置,将任意两个因数结合相乘;若存在分子、分 母,则任意一个分子与任意一个分母可进行约分;运用 乘法分配律,可改变运算顺序,简化运算,注意乘法分 配律可正用、可逆用,可正逆综合运用.第(1)题通过逆 用乘法分配律可以简化运算;第(2)题先利用乘法交换 律、乘法结合律简化算式,再利用乘法分配律进一步简 化运算,从而顺利求解. 6. (1) 原式=1×2+4×34-1=2+3-1=4. (2) 原式= -1×125× - 5 3 +0.2=115+15=415.(3) 原式=14× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 (-8)- 4×94+1 =-2-10=-12.(4) 原式= 214- 1 4 ÷ -32 + -35 × -53 = 2× -23 +1=-43+1=-13.(5) 原式=-9×19+ 3 4× (-24)-16× (-24)+38× (-24)=-1-18+4- 9=-24. 7. 令S=1+5+52+53+…+52 024,则5S=5+52+53+ 54+…+52 025.两式相减,得5S-S=52 025-1.∴ 原式= S=5 2 025-1 4 . 8. 令S=2+4+6+8+…+2 024①,即S=2 024+2 022+ 2 020+…+2②.①+②,得2S=(2+2 024)×1 012. ∴ S= (2+2 024)×1 012 2 =1 025 156.∴ 2+4+6+ 8+…+2 024=1 025 156. 9. (1) 1 b 1 a- 1 a+b .(2) 1 1×4+ 1 4×7+ 1 7×10+ …+ 1 2 022×2 025= 1 3× 1-14+14-17+17-110+…+ 1 2022- 1 2025 =13× 1- 12 025 =2 024 6 075. 专题二　与线段、角有关的 计算和证明 1. (1) 设这个角的度数为x,则它的余角为90°-x.根据 题意,得1 2x- (90°-x)=30°,解得x=80°.(2) 设这个 锐角的度数为y.根据题意,得180°-y=4(90°-y)- 30°,解得y=50°. 2. 设∠BON=x°,则∠MOA=2x°.根据题意,得x°- (180°-x°-2x°)=20°,解得x=50.∴ ∠MOA=2x°= 100°,∠AOB=180°-x°-2x°=30°. 3. 设AC=3x,则CB=x,BD=4x.∴ AB=AC+CB= 3x+x=4x,CD=CB+BD=x+4x=5x.∵ E,F 分别 是AB,CD 的中点,∴ BE=12AB=2x ,CF=12CD= 5 2x.∵ EF=14,∴ EB+CF-CB=14.∴ 2x+52x- x=14,解得x=4.∴ AB=4x=16,CD=5x=20. 解关系复杂的线段或角的计算题的方法 解关系复杂的线段或角的计算题时,往往通过设 未知数(如本题中出现比,可以设每份为x),并根据已 知条件,用未知数表示其他量,然后根据题目中的等量 关系列方程求解. 4. (1) ∵ AB=60,AB=54BC ,∴ BC=48.(2) ① 当 点C在线段AB 上时(如图①),∵ AB=60,BC=48, ∴ AC=AB-BC=12.∵ AE=14AC ,∴ AE=3.∴ CE= AC-AE=9.∵ CF=2FB,BC=BF+CF,∴ BF=16, CF=32.∵ EF=EC+CF,∴ EF=41.② 当点C 在线 段AB 的延长线上时(如图②),∵ AB=60,BC=48, ∴ AC=AB+BC=108.∵ AE=14AC ,∴ AE=27. ∴ BE=AB-AE=33.∵ CF=2FB,BC=BF+CF, ∴ BF=16,CF=32.∵ EF=BE+BF,∴ EF=49.综上 所述,线段EF 的长为41或49. 第4题 5. (1) 射线OC是∠AOB 的“分余线”.理由:∵ ∠AOB= 70°,∠AOC=50°,∴ ∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°- 50°=20°.∵ ∠AOB+∠BOC=70°+20°=90°,∴ 射线 OC是∠AOB 的“分余线”.(2) ∵ 射线OC 平分∠AOB, ∴ ∠AOC=∠BOC=12∠AOB.∵ 射线OC 为∠AOB 的“分余线”,∴ ∠BOC+∠AOB=90°,即12∠AOB+ ∠AOB=90°.∴ ∠AOB=60°.(3) ∵ OC 为∠MON 的 “分余线”,∴ 分两种情况:① 当∠MOC+∠MON=90° 时,∵ OM 为∠AOC的平分线,ON 为∠BOC 的平分线, ∴ ∠MOC=12∠AOC ,∠NOC=12∠BOC.∴ ∠MON= ∠MOC+∠NOC=12 (∠AOC+∠BOC)=12∠AOB= 80°.∴ ∠MOC=10°.∴ ∠AOC=20°;② 当∠NOC+ ∠MON=90°时,同理①,得∠NOC=10°,∠BOC=20°, ∴ ∠AOC=∠AOB-∠BOC=140°.综上所述,∠AOC 的度数为20°或140°. 6. (1) ∵ M,N 分别为AC,BC 的中点,AC=10cm, BC=8cm,∴ CM=12AC=5cm ,CN=12BC=4cm. ∴ MN=CM+CN=9cm.(2) MN=12acm. 理由: ∵ M,N 分别为AC,BC 的中点,∴ CM=12AC ,CN= 1 2BC.∴ MN =CM +CN = 12AC + 1 2BC = 1 2 (AC+BC)=12acm. (3) 如图所示.MN=12bcm. 理 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈