抽象函数赋值法以及数学背景柯西方程讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 抽象函数模型只能解决一些特定的题（原函数能求出），但对于少数抽象函数题，并不能表示出原函数或很难给出，比如九省联考 T11。但是赋值法可以解决几乎所有的抽象函数题目，所以同学们还是需要先老老实实学会赋值，然后再总结一些抽象函数模型以应对常见的抽象函数题，最后再去了解抽象函数题型的数学背景柯西方程 。 一、24 年浙江 7 月学考抽象函数 二、高考中的抽象函数题型 三、模考中的抽象函数题型 四、24个 型抽象函数模型 1、一次函数 2、二次函数 3、幂函数 4、指数函数 5、对数函数 6、三角函数 7、反三角函数 8、双曲函数 五、柯西方程 1、形式一（加性柯西方程） 2、形式二 四 六、柯西方法应用 一、24 年浙江 7 月学考抽象函数 【24年浙江7月高中学考T12】 若 ， ,则 （） 解析 方法一：赋值法 ① 令 ， ② 令 ， 令 ，，且 （奇函数） 代回原抽象函数方程得 所以 故选 注： 如果对和平方恒等式比较敏感，可以在题设的抽象函数方程中直接看出 不敏感也没关系，可以按上面的赋值法慢慢试一试。 方法二：常见抽象函数模型 题设中的抽象函数方程的原函数（或叫函数解）其实就是二次函数，如下 （3） 对于二次函数，与其对应的抽象函数为 设 对比题设可以得出 ， 又 ，把 ， ， 代入 可得 二、高考中的抽象函数题型 【2024 年新课标 Ⅰ 卷 T8】 已知函数 的定义域为 ， ，且当 时，，则下列结论中一定正确的是 解析： 因为当 时， 如果考虑 则 （）其实就是斐波那切数列 其前20项如下 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 则 选 【2023 年新高考全国 I 卷 T11】 已知函数 的定义域为 ， ，则 . 是偶函数 为 的极小值点 解析 方法一：赋值法 ① 令 ， ② 令 ， ③ 令 ， ④ 令 ， 又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数 ⑤ 不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值 综上所述，选 方法二：常见抽象函数模型 ① 当 时，赋值同方法一，可得 ， ， ② 当 时， 对 两边同时除以 得到 由常见抽象函数模型可设 即 当 时， 令 ，得 令 ，得 故 在 上单调递减，在 上单调递增 因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减 图 1 显然，如图 1， 是 的极大值，故 错误 【2022 年新高考全国 II 卷 T8】 已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则 解析 方法一：赋值法 ① 令 ， ② 令 ， 所以函数 为偶函数 ③ 令 ， ， 所以函数 的一个周期为 因为 所以一个周期内 由于 除以 余 ，所以 方法二：常见抽象函数模型 由常见抽象函数模型可得 和 所以 只能是 由 方法一 可得 则 周期为 ，且 ，，，，， 由于 除以 余 ，所以 三、模考中的抽象函数题型 【24届台州二模T11】 已知 是定义域为 的非常数函数，若对定义域内的任意实数 均有 ，则下列结论正确的是 的值域为 是奇函数 答案为 ，赋值解法如下 解析： ① 令 ，则 ，即 因为 非常数函数，所以 ，则 ② 令 ，则 所以 ，即 ③ 令 ，则 所以 ④ 令 ，则 若，则 ，所以 是偶函数 若，则 ，所以 是奇函数 综上所述，选 【九省联考 T11】 已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则 函数 是偶函数 函数 是减函数 答案为 ，赋值解法如下 解析： ① 令 ，，则 即 ，又 ，则 ② 令 ， ，则 所以 ，又 ，则 ③ 令 ，则 ， 所以 ，奇函数 ④ 令 ，则 ⑤ 令 ，则 ，减函数 综上所述，选 【24 年 2 月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习T8】 已知 是定义在 上单调递增且图像连续不断的函数，且有 ，设 ，则下列说法正确的是 分析： 此题抽象函数对应的函数其实就是 也就是双曲正切函数，其图像如下图 2，该函数在 上是下凸函数 所以 图 2 （24） 对于双曲正切函数，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于双曲正切函数和差角公式： 附参考标答： （1） 令 ， 得到 因为 单调递增，所以 不恒等于 ，故 因为 在 上单调递增，故 （2） 令 ， ， 若存在 ，，则 ，则 恒等于 ，与 单调递增矛盾， 故 若存在 ，因为 连续，，，故存在 ，，与上述第三条结论矛盾， 故 （3） 对于本题， 当且仅当 时取等，因为 ， 单调递增，故不取等. （4） 容易证明 时， 为增函数， 所以 综上所述 四、24个 型抽象函数模型 注： 标题中的方程 里的 可以是 、 或是 .。 下面先以高中常见的初等函数依次总结与其对应的抽象函数，之后在拓展一些不常见的原函数和其对应的抽象函数； 常见的14个以及拓展的10个，总共24个。不过掌握常考的14个即可应付大部分考题。 1、一次函数 （1） 对于正比例函数，与其对应的抽象函数为 （2） 对于一次函数，与其对应的抽象函数为 2、二次函数 （3） 对于二次函数，与其对应的抽象函数为 3、幂函数 （4） 对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为 （5） 对于幂函数 ，其抽象函数还可以是 4、指数函数 （6） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 （7） 对于指数函数，其抽象函数还可以是 其中 5、对数函数 （8） 对于对数函数，与其对应的抽象函数为 （9） 对于对数函数，其抽象函数还可以是 （10） 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 其中 6、三角函数 （11） 对于正弦函数，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式： （12） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于余弦和差化积公式： （13） 对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 注： 此抽象函数对应于余弦积化和差公式： （14） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 到此，常见的初等函数和与其对应的抽象函数已经总结完毕，关于如何证明，对于三角函数部分已经给出其对应构造恒等式；对于一二次函数、幂函数、指对函数证明时类似的，仅证明其中一个，其余的类似, 求证： 二次函数对应的抽象函数为 证明： 以下总结的是不常见的原函数和其对应的抽象函数，同学们接下来会看到，有的抽象函数在上面已经出现过。 7、反三角函数 反三角函数有反正弦、反余弦、反正切等等，由于其对应的抽象函数较为复杂且一般都对定义域有要求，下面仅仅给出相对简单的， （15） 对于反正弦函数，与其对应的抽象函数为 其中， 或 . （16） 对于反正弦函数 ，对应的抽象函数还可以是 其中， 或 . （17） 对于反余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 其中， . （18） 对于反余弦函数，对应的抽象函数还可以是 其中， （19） 对于反正切函数 ，与其对应的抽象函数为 其中， . （20） 对于反正切函数 ，对应的抽象函数还可以是 其中， . 8、双曲函数 以下是三个常见的双曲函数表达式， 双曲函数和三角函数非常相似。三角函数具有的和角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、半角公式、升幂降角等等，双曲函数一样具有，这就导致双曲函数和三角函数的抽象函数模型一样具有相似性。 另外，想多说一嘴，在复变函数领域双曲函数、三角函数和虚数单位 存在恒等关系式： 注： 上面双曲函数与三角函数恒等式是借助欧拉公式，即 代入双曲函数得到的。双曲函数与三角函数存在的恒等式，就导致上面说的相似性，有点保守，双曲函数和三角函数的和角公式、倍角公式、半角公式、升幂降角等等，除了个别恒等式的正负号！比如双曲余弦的和差角公式为 尽管上面的恒等式有些正负号上的差别，但是两个对称的式子正负号都取反之后，和差化积公式、积化和差公式还是与三角函数一样的，比如双曲余弦和差化积公式和积化和差公式 因此，三角函数和双曲函数部分抽象函数模型是一样的，比如双曲余弦和余弦函数。 虽部分是一样的，但依然列出来一下，作为拓展用 （21） 对于双曲正弦函数，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于双曲正弦平方差公式： （22） 对于双曲余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于双曲余弦和差化积公式： （23） 对于双曲余弦函数 ，其抽象函数还可以是 注： 此抽象函数对应于双曲余弦积化和差公式： （24） 对于双曲正切函数，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于双曲正切函数和差角公式： 注意： 双曲正切函数和正切函数的和差角公式是不同的，原因在于双曲正弦和正弦是相同的，双曲余弦和余弦的和差角公式正负号是相反的，取比值之后双曲正切函数和正切函数的和差角公式就是不同的。 五、柯西方程 柯西方程 是法国数学家柯西（1789-1857）在 1821 年前后研究过的一类基本的函数方程，因此这类函数方程现在被称为柯西方程，解决这类函数方程所用到的方法被称为柯西方法。 柯西方程大致有四类，下面一一介绍。 1、形式一（加性柯西方程） 形式一（加性柯西方程）： 这类柯西方程是较为简单的一种。其描述如下：设函数 ，满足对任意实数 ，均有 . 求 . 柯西解决这道函数方程的思想是：逐渐扩充数域，也就是从特殊到一般的思想，即先解决 均为正整数的情况，再解决所有整数的情况，接着解决有理数的情况，最后解决实数的情况 （1）正整数情形： 取 ，得到 . 再取 ，得到 同理 ，其中 为正整数. （2）整数情形： 数域扩充到所有整数， 取 ，可得 . 再取 ，所以 ，因此 为奇函数， 所以对 . （3）有理数情形： 设有理数 取 ，得到 再类似整数时的方法，可以得到 ， 即 ，因此有理数的情形就解决了。 （4）实数情形： 根据现有的条件，是无法在实数范围内求出 的，需要补充条件。如果 满足下列三个条件之一，那么我们就可以确定 的解析式为 ，其中 1. 连续； 1. 在一个区间上单调； 1. 在一个区间上有上界或下界。 下面逐一证明（同学们可以忽略） （i） 连续 连续的定义： 称 在 处连续，如果 设 ，取一列有理数 逼近 ，即 （ 这里类似求无理数次幂的方法） 所以 （这里第一步用到了连续的定义） （ii） 单调 不妨设 在区间 上单调递增 ，此时易知 . 对 ，若 ，则 · 情形一： . 取有理数 ，使得 . 结合 的单调性，则 ，矛盾. · 情形二： . 取有理数 ，使得 . 结合 的单调性，则 ，矛盾. 因此 . 对 ，取有理数 ，使得 ，则 . 所以 ，进而可知对任意实数 都有 . （iii） 有界 不妨设 在区间 上有上界 ，即对任意 ， . 记 ，则对任意有理数 ， ，且当 时， ，即 在 上有上界. 对任意 ，取有理数 ，使得 ，则 ， 所以 在 上有上界. 若存在实数 ，使得 ，不妨设 . 因为对任意正整数 , ，所以令 可知 就没有上界，矛盾. 因此 , 即 . 2、形式二 四 柯西方程其它三种形式，均可以利用加性柯西方程解决 形式二： 设函数 ，满足对任意实数 均有 ，则当上述三个条件（ 连续、单调或有界）中的一个成立时， （ 表示恒等于）或 或存在实数 ，使得 . 取 ，则 ，因此 若 ，取 ，则可知 若 ，对任意实数 ， 又 所以 ，则 . 令 ，则 ，由加性柯西方程结论 ，所以 . 若 ，则 ；若 ，则存在 ，使得 . 形式三： 设函数 ，满足对任意正实数 ，均有 ，则当上述条件中的一个成立时， 或存在实数 ，使得 令 ，则 . 于是由加性柯西方程结论， ，因此 形式四： 设函数 ，满足对任意实数 ，均有 ，则当上述条件中的一个成立时， 或存在实数 ，使得 若存在 ，使得 ， 则取 ， ，所以 当对任意 ， 均不等于 时， 令 ，则 由加性柯西方程结论， ，即 ， 二、柯西方法应用 柯西解决函数方程的思想方法是逐渐扩充数域，也就是从特殊到一般的思想，即先解决 均为正整数的情况，再解决所有整数的情况，接着解决有理数的情况，最后解决实数的情况。这种思想方法也成为解决函数方程问题的一般方法，在求解较难函数方程问题中基本都会用到，下面举个例子 【典例】 求所有的函数 ，使得对任意正有理数 ，均有 ，且 解析： 取 ，则 ， . 进而易得对任意正整数 ， 对任意有理数 展开并整理后得到 ， 因此 经检验，成立 . 注： 通过上面的论述，柯西方法很像赋值法，只不过柯西方法在逐渐扩充数域过程中很严谨地求解函数方程的解。但对于高中抽象函数问题，其本质虽然也是函数方程，但同学们在求解过程中没必要做到非常严谨，一般通过赋值（通常是整数或有理数）求出符合整数域或有理数域下的解即可。 通过对上面抽象函数题型的数学背景的论述，可以看出其本质是函数方程，求解函数方程的方法是柯西方法，高中生可以理解为需满足所有要求数域的赋值法。因此，这也决定了抽象函数题型一般方法就是赋值法，但是赋值操作有时候不容易想得到，所以同学们在做这类题型是应多总结，多积累，把见到的函数方程和其对应的函数解都记成一个一个模型。 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 抽象函数模型只能解决一些特定的题（原函数能求出），但对于少数抽象函数题，并不能表示出原函数或很难给出，比如九省联考 T11。但是赋值法可以解决几乎所有的抽象函数题目，所以同学们还是需要先老老实实学会赋值，然后再总结一些抽象函数模型以应对常见的抽象函数题，最后再去了解抽象函数题型的数学背景柯西方程 。 一、24 年浙江 7 月学考抽象函数 二、高考中的抽象函数题型 三、模考中的抽象函数题型 四、24个 型抽象函数模型 1、一次函数 2、二次函数 3、幂函数 4、指数函数 5、对数函数 6、三角函数 7、反三角函数 8、双曲函数 五、柯西方程 1、形式一（加性柯西方程） 2、形式二 四 六、柯西方法应用 一、24 年浙江 7 月学考抽象函数 【24年浙江7月高中学考T12】 若 ， ,则 （） 解析 方法一：赋值法 注： 如果对和平方恒等式比较敏感，可以在题设的抽象函数方程中直接看出 不敏感也没关系，可以按上面的赋值法慢慢试一试。 方法二：常见抽象函数模型 题设中的抽象函数方程的原函数（或叫函数解）其实就是二次函数，如下 （3） 对于二次函数，与其对应的抽象函数为 二、高考中的抽象函数题型 【2024 年新课标 Ⅰ 卷 T8】 已知函数 的定义域为 ， ，且当 时，，则下列结论中一定正确的是 解析： 【2023 年新高考全国 I 卷 T11】 已知函数 的定义域为 ， ，则 . 是偶函数 为 的极小值点 解析 方法一：赋值法 方法二：常见抽象函数模型 图 1 【2022 年新高考全国 II 卷 T8】 已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则 解析 方法一：赋值法 方法二：常见抽象函数模型 三、模考中的抽象函数题型 【24届台州二模T11】 已知 是定义域为 的非常数函数，若对定义域内的任意实数 均有 ，则下列结论正确的是 的值域为 是奇函数 解析： 【九省联考 T11】 已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则 函数 是偶函数 函数 是减函数 解析： 【24 年 2 月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习T8】 已知 是定义在 上单调递增且图像连续不断的函数，且有 ，设 ，则下列说法正确的是 分析： 图 2 附参考标答： 四、24个 型抽象函数模型 注： 标题中的方程 里的 可以是 、 或是 . 【2022新高考全国II卷·T8】 已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则 （ ） 比如2022 年新高考全国 II 卷 8（原题如上），除了给出抽象函数模型： ，还给出了 ，这是有必要的，下面会讲到这个抽象函数模型至少对应了两种原函数， 和 . 就限制了这道题原函数只能是 的形式（、 系数利用题设和隐藏条件待定）。 另外，在高中知识内，一种抽象函数往往只对应一种原函数，同学们不用多虑，见到题中抽象函数模型后，大胆写出原函数的形式即可，系数用题设条件和隐藏条件（往往采用赋值得到）待定。 下面先以高中常见的初等函数依次总结与其对应的抽象函数，之后在拓展一些不常见的原函数和其对应的抽象函数； 常见的14个以及拓展的10个，总共24个。不过掌握常考的14个即可应付大部分考题。 1、一次函数 （1） 对于正比例函数，与其对应的抽象函数为 （2） 对于一次函数，与其对应的抽象函数为 2、二次函数 （3） 对于二次函数，与其对应的抽象函数为 3、幂函数 （4） 对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为 （5） 对于幂函数 ，其抽象函数还可以是 4、指数函数 （6） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 （7） 对于指数函数，其抽象函数还可以是 其中 5、对数函数 （8） 对于对数函数，与其对应的抽象函数为 （9） 对于对数函数，其抽象函数还可以是 （10） 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 其中 6、三角函数 （11） 对于正弦函数，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式： （12） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于余弦和差化积公式： （13） 对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 注： 此抽象函数对应于余弦积化和差公式： （14） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 到此，常见的初等函数和与其对应的抽象函数已经总结完毕，关于如何证明，对于三角函数部分已经给出其对应构造恒等式；对于一二次函数、幂函数、指对函数证明时类似的，下面仅证明其中一个，其余的类似, 求证： 二次函数对应的抽象函数为 证明： 以下总结的是不常见的原函数和其对应的抽象函数，同学们接下来会看到，有的抽象函数在上面已经出现过。 7、反三角函数 反三角函数有反正弦、反余弦、反正切等等，由于其对应的抽象函数较为复杂且一般都对定义域有要求，下面仅仅给出相对简单的， （15） 对于反正弦函数，与其对应的抽象函数为 其中， 或 . （16） 对于反正弦函数 ，对应的抽象函数还可以是 其中， 或 . （17） 对于反余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 其中， . （18） 对于反余弦函数，对应的抽象函数还可以是 其中， （19） 对于反正切函数 ，与其对应的抽象函数为 其中， . （20） 对于反正切函数 ，对应的抽象函数还可以是 其中， . 8、双曲函数 以下是三个常见的双曲函数表达式， 双曲函数和三角函数非常相似。三角函数具有的和角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、半角公式、升幂降角等等，双曲函数一样具有，这就导致双曲函数和三角函数的抽象函数模型一样具有相似性。 另外，想多说一嘴，在复变函数领域双曲函数、三角函数和虚数单位 存在恒等关系式： 注： 上面双曲函数与三角函数恒等式是借助欧拉公式，即 代入双曲函数得到的。双曲函数与三角函数存在的恒等式，就导致上面说的相似性，有点保守，双曲函数和三角函数的和角公式、倍角公式、半角公式、升幂降角等等，除了个别恒等式的正负号！比如双曲余弦的和差角公式为 尽管上面的恒等式有些正负号上的差别，但是两个对称的式子正负号都取反之后，和差化积公式、积化和差公式还是与三角函数一样的，比如双曲余弦和差化积公式和积化和差公式 因此，三角函数和双曲函数部分抽象函数模型是一样的，比如双曲余弦和余弦函数。 虽部分是一样的，但依然列出来一下，作为拓展用 （21） 对于双曲正弦函数，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于双曲正弦平方差公式： （22） 对于双曲余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于双曲余弦和差化积公式： （23） 对于双曲余弦函数 ，其抽象函数还可以是 注： 此抽象函数对应于双曲余弦积化和差公式： （24） 对于双曲正切函数，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于双曲正切函数和差角公式： 注意： 双曲正切函数和正切函数的和差角公式是不同的，原因在于双曲正弦和正弦是相同的，双曲余弦和余弦的和差角公式正负号是相反的，取比值之后双曲正切函数和正切函数的和差角公式就是不同的。 五、柯西方程 柯西方程 是法国数学家柯西（1789-1857）在 1821 年前后研究过的一类基本的函数方程，因此这类函数方程现在被称为柯西方程，解决这类函数方程所用到的方法被称为柯西方法。 柯西方程大致有四类，下面一一介绍。 1、形式一（加性柯西方程） 形式一（加性柯西方程）： 这类柯西方程是较为简单的一种。其描述如下：设函数 ，满足对任意实数 ，均有 . 求 . 柯西解决这道函数方程的思想是：逐渐扩充数域，也就是从特殊到一般的思想，即先解决 均为正整数的情况，再解决所有整数的情况，接着解决有理数的情况，最后解决实数的情况 （1）正整数情形： 取 ，得到 . 再取 ，得到 同理 ，其中 为正整数. （2）整数情形： 数域扩充到所有整数， 取 ，可得 . 再取 ，所以 ，因此 为奇函数， 所以对 . （3）有理数情形： 设有理数 取 ，得到 再类似整数时的方法，可以得到 ， 即 ，因此有理数的情形就解决了。 （4）实数情形： 根据现有的条件，是无法在实数范围内求出 的，需要补充条件。如果 满足下列三个条件之一，那么我们就可以确定 的解析式为 ，其中 1. 连续； 1. 在一个区间上单调； 1. 在一个区间上有上界或下界。 下面逐一证明（同学们可以忽略） （i） 连续 连续的定义： 称 在 处连续，如果 设 ，取一列有理数 逼近 ，即 （ 这里类似求无理数次幂的方法） 所以 （这里第一步用到了连续的定义） （ii） 单调 不妨设 在区间 上单调递增 ，此时易知 . 对 ，若 ，则 · 情形一： . 取有理数 ，使得 . 结合 的单调性，则 ，矛盾. · 情形二： . 取有理数 ，使得 . 结合 的单调性，则 ，矛盾. 因此 . 对 ，取有理数 ，使得 ，则 . 所以 ，进而可知对任意实数 都有 . （iii） 有界 不妨设 在区间 上有上界 ，即对任意 ， . 记 ，则对任意有理数 ， ，且当 时， ，即 在 上有上界. 对任意 ，取有理数 ，使得 ，则 ， 所以 在 上有上界. 若存在实数 ，使得 ，不妨设 . 因为对任意正整数 , ，所以令 可知 就没有上界，矛盾. 因此 , 即 . 2、形式二 四 柯西方程其它三种形式，均可以利用加性柯西方程解决 形式二： 设函数 ，满足对任意实数 均有 ，则当上述三个条件（ 连续、单调或有界）中的一个成立时， （ 表示恒等于）或 或存在实数 ，使得 . 取 ，则 ，因此 若 ，取 ，则可知 若 ，对任意实数 ， 又 所以 ，则 . 令 ，则 ，由加性柯西方程结论 ，所以 . 若 ，则 ；若 ，则存在 ，使得 . 形式三： 设函数 ，满足对任意正实数 ，均有 ，则当上述条件中的一个成立时， 或存在实数 ，使得 令 ，则 . 于是由加性柯西方程结论， ，因此 形式四： 设函数 ，满足对任意实数 ，均有 ，则当上述条件中的一个成立时， 或存在实数 ，使得 若存在 ，使得 ， 则取 ， ，所以 当对任意 ， 均不等于 时， 令 ，则 由加性柯西方程结论， ，即 ， 二、柯西方法应用 柯西解决函数方程的思想方法是逐渐扩充数域，也就是从特殊到一般的思想，即先解决 均为正整数的情况，再解决所有整数的情况，接着解决有理数的情况，最后解决实数的情况。这种思想方法也成为解决函数方程问题的一般方法，在求解较难函数方程问题中基本都会用到，下面举个例子 【典例】 求所有的函数 ，使得对任意正有理数 ，均有 ，且 解析： 注： 通过上面的论述，柯西方法很像赋值法，只不过柯西方法在逐渐扩充数域过程中很严谨地求解函数方程的解。但对于高中抽象函数问题，其本质虽然也是函数方程，但同学们在求解过程中没必要做到非常严谨，一般通过赋值（通常是整数或有理数）求出符合整数域或有理数域下的解即可。 通过对上面抽象函数题型的数学背景的论述，可以看出其本质是函数方程，求解函数方程的方法是柯西方法，高中生可以理解为需满足所有要求数域的赋值法。因此，这也决定了抽象函数题型一般方法就是赋值法，但是赋值操作有时候不容易想得到，所以同学们在做这类题型是应多总结，多积累，把见到的函数方程和其对应的函数解都记成一个一个模型。 学科网（北京）股份有限公司 $$