2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 单元测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式单元测试 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第二章（2019）人教A版） 一、单选题 1．不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 5．“”是“关于x的一元二次不等式的解集为R”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 二、多选题 9．已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确的结论是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．. 11．下列叙述中正确的是（     ） A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，b，，则“”的充要条件是“” 三、填空题 12．不等式的解集是，则实数 0（填>，<或） 13．设不等式对一切都成立，则的取值范围是 . 14．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 四、解答题 15．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 16．若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 17．已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18．（1）若方程的解集为，求的取值范围； （2）在（1）条件下使用反证法证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 19．已知且，已知二次函数 (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 2.3二次函数与一元二次方程、不等式单元测试 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第二章（2019）人教A版） 一、单选题 1．不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 答案：B 分析：由题可得不等式解集. 解析：，解得或. 则解集为或. 故选：B 2．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 解析：原不等式化为： 分解因式可得：，所以解集为. 故选：C 3．若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 答案：B 分析：分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 解析：若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 4．若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：由方程的两根为，即可求解. 解析：由题意可知：的两根为， 所以解得：， 经检验符合条件，故选：A 5．“”是“关于x的一元二次不等式的解集为R”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 分析：根据一元二次不等式恒成立的条件可推出“”，根据充分条件、必要条件的定义可判断出答案. 解析：充分性：若，，一元二次不等式的解集为，即充分性不成立； 必要性：若一元二次不等式的解集为，则，即必要性成立. 因此，“”是“一元二次不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 6．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：首先根据题意可知2，4是一元二次方程的实数根，且利用韦达定理可知，代入得，然后解一元二次不等式即可. 解析：因为不等式的解集是， 所以2，4是一元二次方程的实数根，且 所以，即 所以不等式化为， 即，解得或 所以不等式的解集为 故选：B 7．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案:A 分析:对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 解析：当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时二次函数为图像开口向下，一定存在实数使得成立， 故符合题意， 当时，此时二次函数图像开口向上，要使存在实数使得成立， 则，解得， 综上可得， 故选：A 8．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 答案：B 分析：A由一元二次不等式解集为空直接判断；B令即可判断；C根据解集判断参数关系，结合目标不等式求解即可；D根据题设得，且，将目标式化为含的表达式，再令，代换原表达式并结合基本不等式求最值. 解析：A：由无解，则且，对； B：令，若，则等价于， 此时，关于的不等式的解集不为，错； C：由题设，则等价于， 所以，可得或，对； D：由题设，则，且，b-a>0 所以 当且仅当即，时等号成立， 所以的最小值为，对. 故选：B 二、多选题 9．已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 答案：AC 分析：解不等式，只需是或的真子集，得到答案. 解析：或， 要求命题p成立的一个充分不必要条件，只需满足或的真子集即可， 其中和满足要求，其他选项不满足. 故选：AC 10．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确的结论是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．. 答案：ACD 分析：根据不等式的解集，即可判断A项；根据三个二次之间的关系，结合韦达定理可得出，进而代入不等式，化简、求解不等式，即可判断B、C、D项. 解析：对于A项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，故A项正确； 对于B项，由已知可得，3，4即为的两个解. 由韦达定理可得，，解得， 代入可得. 又，所以，所以解集为，故B项错误； 对于C项，由B知，，，， 代入不等式可得， 化简可得， 解得， 所以，不等式的解集为，故C项正确； 对于D项，由已知可得，，故D项正确. 故选：ACD. 11．下列叙述中正确的是（     ） A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，b，，则“”的充要条件是“” 答案：AB 分析：对于A：根据二次方程结合充分、必要条件分析判断；对于B：由可得或，根据包含关系分析充分、必要条件；对于CD：举反例说明即可. 解析：对于选项A：若方程有一个正根和一个负根，则，解得， 显然集合是集合的真子集， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故A正确； 对于选项B：因为，等价于，等价于，解得或， 显然是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于选项C：例如，则，但，即必要性不成立，故C错误. 对于选项D：当，时，，即必要性不成立，故D错误； 故选：AB. 三、填空题 12．不等式的解集是，则实数 0（填>，<或） 答案： 分析：先根据一元二次不等式解集的形式确定的符号，再根据韦达定理确定的符号，可得的符号. 解析：因为不等式的解集为，所以. 且，是二次方程的两根. 所以. 所以. 故答案为： 13．设不等式对一切都成立，则的取值范围是 . 答案： 分析：由二次函数值域恒大于0的条件求解. 解析：时，不等式不满足对一切都成立，则， 不等式对一切都成立，即该不等式的解集为R， 则有 ,解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 答案： 分析：根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得，即可求解. 解析：因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，即解得， 故答案为：. 四、解答题 15．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 分析：（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 解析：（1）或. 所以所求不等式的解集为： （2）). 所以所求不等式的解集为： （3）由. 所以所求不等式的解集为： （4）因为. 因为， 所以所求不等式的解集为： 16．若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 分析：先分情况讨论不等式的解集，再根据解集包含整数的个数确定的取值范围. 解析：不等式可化为. 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得； 若即，则原不等式可化为，无解； 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得. 综上可得：实数的取值范围为： 17．已知集合，集合． (1)若存在，使得，求的取值范围 (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 分析：（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的最值，即可求的取值范围； （2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可. 解析：（1）集合， 若存在，使得，只需集合中不等式在内有解， 由得 令 则只要大于在内的最小值即可， 因为 ， 所以在内的最小值为， 所以，即解得， 所以的取值范围为； （2）由得，，， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分类讨论如下： 当，即时，，不符题意； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集； 当，即时，， 此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集， 综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件． 所以实数的取值范围是： . 18．（1）若方程的解集为，求的取值范围； （2）在（1）条件下使用反证法证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 分析：（1）根据一元二次不等式的解集为，得到，解不等式即可求得答案； （2）利用反证法，假设三个方程都没有实数解，可得它们的判别式都小于0，求得a的范围，出现矛盾，即可证明原结论. 解析：（1）因为不等式的解集为， 所以，可得， 即的取值范围为 . （2）证明：假设方程，，都没有实数解， 则它们的判别式都小于0， 即，即，解得， 这与的取值范围为矛盾， 故，，中至少有一个方程有实数解． 19．已知且，已知二次函数 (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 分析：（1）根据分类讨论思想，解二次不等式即可； （2）根据不等式的解集，确定开口方向即对于方程的根，再利用韦达定理可得，再由基本不等式可求的最小值. 解析：（1）因为，所以即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）由题意知，分别是方程的两根，且， 由韦达定理可知， 所以，且， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为9． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$