第1章 有理数单元测试卷（高效培优单元测试·强化卷）数学沪科版2024七年级上册

第1章 有理数单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．有理数的绝对值是（   ）． A． B． C．5 D． 2．某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是“”，则下列乒乓球直径中合格的是（    ） A． B． C． D． 3．超越数主要有自然常数（）和圆周率（）．自然常数的知名度比圆周率低很多，但实际上自然数是数学中的一个重要常数，它与指数函数、对数函数、复利增长、概率统计、微积分以及物理学和工程学等领域有着广泛的应用．的出现使得我们能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的增长、衰减和变化过程．其数值约为：，下列对自然常数取近似数正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 4．据统计，2024年前三季度肥东县的地区生产总值约为646.3亿元，地区生产总值增速约．将数据646.3亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（   ） A．有理数分为整数和分数 B．一定表示负数 C．定比大 D．任何有理数都可以用数轴上的点表示 6．有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①；②；③；④，⑤． 其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．若，则的值为（　　） A．1 B． C．2023 D． 8．若，，，则有（    ） A．，，绝对值较大 B．，，绝对值较大 C．，，绝对值较大 D．，，绝对值较大 9．若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 10．a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．比较大小： ．（填“”或“”） 12．如图所示是计算机程序计算，当输入数为时，输出结果 ． 13．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故称“龟背图”．观察图①，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列及对角线上的3个数之和都相等．那么在图②中， ． 14．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．计算 (1) (2) (3) (4) 16．把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 17．已知互为相反数，互为倒数，，求代数式的值． 18．阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 19．对于下面这道计算题：.小明的做法是：先求原式的倒数为： 所以原式，请你仿照以上小明的做法计算：． 20．对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：，，，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_____，异号得_____，并把绝对值_____；一个数与0相“乘加”等于_____； (2)根据法则计算：_____；_____； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： 21．如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 22．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 23．【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．有理数的绝对值是（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的绝对值；根据正数的绝对值为它本身，零的绝对值为零，负数的绝对值为它的相反数计算即可． 【详解】解：； 故选：C． 2．某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是“”，则下列乒乓球直径中合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据产品参数找到合格乒乓球的直径范围，然后根据该范围逐项分析判断即可． 【详解】解：（），（）， A. ，该乒乓球不合格，故选项不符合题意； B. ，该乒乓球不合格，故选项不符合题意； C. ，该乒乓球合格，故选项符合题意； D. ，该乒乓球不合格，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，根据产品参数找到合格乒乓球的直径范围是解题的关键． 3．超越数主要有自然常数（）和圆周率（）．自然常数的知名度比圆周率低很多，但实际上自然数是数学中的一个重要常数，它与指数函数、对数函数、复利增长、概率统计、微积分以及物理学和工程学等领域有着广泛的应用．的出现使得我们能够更好地描述和理解自然界和现实世界中的增长、衰减和变化过程．其数值约为：，下列对自然常数取近似数正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法进行判断即可求解，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：、自然常数精确到十分位是，该选项符合题意； 、自然常数精确到是，该选项不符合题意； 、自然常数精确到千分位是，该选项不符合题意； 、自然常数精确到是，该选项不符合题意， 故选：． 4．据统计，2024年前三季度肥东县的地区生产总值约为646.3亿元，地区生产总值增速约．将数据646.3亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：646.3亿． 故选：D． 5．下列说法错误的是（   ） A．有理数分为整数和分数 B．一定表示负数 C．定比大 D．任何有理数都可以用数轴上的点表示 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数、相反数、有理数比较大小、有理数和数轴等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据有理数的定义和分类、相反数的定义、有理数比较大小方法以及有理数和数轴的关系，即可获得答案． 【详解】解：A. 有理数分为整数和分数，该选项说法正确，不符合题意； B. 当时，，为正数，故不一定表示负数，该选项说法不正确，符合题意； C. 定比大，该选项说法正确，不符合题意； D. 任何有理数都可以用数轴上的点表示，该选项说法正确，不符合题意． 故选：B． 6．有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①；②；③；④，⑤． 其中正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较大小、绝对值以及有理数的运算法则，掌握有理数的运算法则是判断式子正负的关键．根据数轴可得，，然后利用有理数运算法则逐个判断即可． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴正确的是①②③⑤，④错误， 故选：B． 7．若，则的值为（　　） A．1 B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值和偶次方的非负性质，有理数的乘方等知识点，根据绝对值和偶次方的非负性，分别求出和的值，代入计算即可，灵活运用绝对值和偶次方的非负性质是解此题的关键． 【详解】， ，， ，， ， 故选：． 8．若，，，则有（    ） A．，，绝对值较大 B．，，绝对值较大 C．，，绝对值较大 D．，，绝对值较大 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法运算法则和有理数的乘法运算法则，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴异号， ∵， ∴正数的绝对值大， ∵， ∴，，绝对值较大． 故选：A． 9．若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的意义，根据绝对值的意义，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、由数轴得，，不符合题意； B、由数轴得，，不符合题意； C、由数轴得，，不符合题意； D、由数轴得，，符合题意； 故选：D． 10．a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的运算等知识点，根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键． 【详解】由题意知， ∵， ∴，，，，…， 由此可知，从开始，这列数按4，，，重复出现， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键 根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．比较即可． 【详解】解： ，， ∵ ∴． 故答案为：． 12．如图所示是计算机程序计算，当输入数为时，输出结果 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加、减运算，相反数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 的相反数是， ， ∴输出； 故答案为：． 13．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故称“龟背图”．观察图①，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列及对角线上的3个数之和都相等．那么在图②中， ． 【答案】2 【分析】此题考查了数字规律，已知式子的值求代数式的值，解题的关键是正确列式求解．首先求出，然后根据题意求出，得，再进一步求解即可． 【详解】解：依题意， ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴， ∴， 故答案为：2． 14．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【答案】 5或1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键． 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)11 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，乘除混合运算，加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把减法化为加法，再根据加法法则计算，即可作答． （2）先把除法化为乘法，再根据乘法法则计算，即可作答． （3）先算乘除，后算加减，即可作答． （4）先算乘方，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：如图： 17．已知互为相反数，互为倒数，，求代数式的值． 【答案】1 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．利用相反数，倒数的代数意义求出，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：与互为相反数，与互为倒数， ， ， ， ， 18．阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．对于下面这道计算题：.小明的做法是：先求原式的倒数为： 所以原式，请你仿照以上小明的做法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了乘法运算律，倒数．熟练掌握乘法运算律，倒数是解题的关键． 由题意知，原式的倒数，利用乘法运算律求解，然后求倒数即可． 【详解】解：原式的倒数 ， ∴原式． 20．对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：，，，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_____，异号得_____，并把绝对值_____；一个数与0相“乘加”等于_____； (2)根据法则计算：_____；_____； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： 【答案】(1)正，负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算对式子进行计算． （1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据新的运算，写出运算的式子，再计算出结果即可； （3）根据新的运算先分别算出和，再计算出即可． 【详解】（1）解：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 21．如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍 (3)点表示的数为或0或3或4 【分析】（1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点表示的数为2，进而可求得，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点在点右侧，两点同向而行，②当点在点左侧，两点同向而行，③当点在点左侧，两点背向而行，④当点在点右侧，两点背向而行，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍， 所以， 因为点表示的数为8，点在点的左边， 所以点表示的数为：， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下： 点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2， 所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论： 点到达点之前： ①点在点右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ②当点在点左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； 点从点返回后： ③当点在点左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ④当点在点右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 22．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 【答案】(1)10或4； (2)0； (3)3或． 【分析】（1）由且，且得到a和b的值，代入求解即可； （2）由a、b异号分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （3）由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即，，时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， 当，时， 当，时， 综上，的值10或4； （2）解：由a、b异号，可知：①，；②，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为0； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则： 所以：的值为3或． 【点睛】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． 23．【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可求出的值． （2）先根据题意可得和，的数均相同，代入数值到中，然后求和即可． （3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可． 【详解】解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$