第09讲 直线的交点坐标与距离公式（知识清单+2易错+6必考题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

第09讲 直线的交点坐标与距离公式 题型梳理 易错分析 易错点一 两条直线相交求参数时考虑不全面致误 易错点二 处理距离的综合问题时分类讨论不全致误 题型方法 题型一 两条直线的交点坐标的应用 题型二 方程含参数的直线过定点问题 题型三 平面上两点间距离公式的应用 题型四 运用解析法解决平面几何问题 题型五 点到直线的距离公式的应用 题型六 两条平行直线间的距离公式的应用 知识清单 知识点01求相交直线的交点坐标 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 知识点02判断两直线位置关系的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点03两点之间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝·|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. 知识点04点到直线的距离公式 点到直线的距离公式：d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 知识点05两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 易错分析 【易错点一】两条直线相交求参数时考虑不全面致误 【例1】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【变式3】（23-24高二上·上海）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【易错点二】两条直线相交求参数时考虑不全面致误 【例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）与距离为的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式3】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 题型方法 【题型一】两条直线的交点坐标的应用 【例1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【变式3】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【题型二】方程含参数的直线过定点问题 【例2】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 解题技巧 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）直线与圆相交于A，B两点，当取最小值时，k的值为（   ） A． B．1 C．4 D． 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线与圆在第一象限有交点，则的范围是 ． 【变式3】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【题型三】平面上两点间距离公式的应用 【例3】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 解题技巧 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， |P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知点和，点在轴上，且，则点的坐标为 . 【变式3】（24-25高二上·山东·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． (1)求点C的坐标； (2)求的面积； (3)求斜边上的中线所在直线的方程． 【题型四】运用解析法解决平面几何问题 【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 解题技巧 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 【变式2】如图，和是在直线同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明：． 【变式3】（22-23高二上·湖北鄂州·阶段练习）用坐标法证明：平行四边形的对角线的平方和等四条边的平方和． 【题型五】点到直线的距离公式的应用 【例5】（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【变式2】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）点，到直线的距离相等，则 . 【变式3】（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 【题型六】两条平行直线间的距离公式的应用 【例6】（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 解题技巧 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·安徽六安·期中）平行于直线，且与它距离为的直线方程是 . 【变式3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若点在直线：上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 5．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·四川内江·期末）设直线l：，则（    ） A．直线l的纵截距为m B．当时，直线l与直线垂直 C．直线l过定点 D．原点到直线l的距离的最大值为 8．（24-25高二上·江苏南京·期末）设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当变化时，恒过定点 B．若，则在轴，轴上的截距之和为4 C．若，则的斜率为1 D．当时，点关于直线的对称点坐标为 9．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 三、填空题 10．（24-25高一下·上海宝山·期末）平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为 ． 11．（24-25高二上·湖北·期末）已知直线，若，则与之间的距离为 . 12．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 四、解答题 13．（24-25高三下·北京·强基计划）求的值域. 14．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 15．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 16．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线的交点坐标与距离公式 题型梳理 易错分析 易错点一 两条直线相交求参数时考虑不全面致误 易错点二 处理距离的综合问题时分类讨论不全致误 题型方法 题型一 两条直线的交点坐标的应用 题型二 方程含参数的直线过定点问题 题型三 平面上两点间距离公式的应用 题型四 运用解析法解决平面几何问题 题型五 点到直线的距离公式的应用 题型六 两条平行直线间的距离公式的应用 知识清单 知识点01求相交直线的交点坐标 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 知识点02判断两直线位置关系的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点03两点之间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝·|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. 知识点04点到直线的距离公式 点到直线的距离公式：d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 知识点05两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 易错分析 【易错点一】两条直线相交求参数时考虑不全面致误 【例1】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，求得的坐标，可得的面积的表达式，然后把各选项代入，根据方程解的个数即可判断. 【详解】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 令，得；令，得，则， 所以的面积为， 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，此方程无解， 所以满足条件的直线有2条，故A错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有3条，故B正确； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故C错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故D错误. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 【变式3】（23-24高二上·上海）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 【答案】或或 【分析】根据三条直线“至少有两条直线平行”或“三线共点”来求得的值. 【详解】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点． 当有两条直线平行时，，则三条直线的斜率为， 若，则. 若，则.. 若三线共点，由解得，设， 将代入， 得， 综上所述，或或. 【易错点二】两条直线相交求参数时考虑不全面致误 【例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）与距离为的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设所求直线方程为，利用两平行直线间的距离公式得到方程，求出的值，即可得解. 【详解】依题意设所求直线方程为， 则两平行直线间的距离，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案. 【详解】设所求的直线方程为， 由题意得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 【变式3】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知直线. (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以，直线的方程为，即. （2）直线，设直线的方程为， 因为直线与直线之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 因此直线的方程为或. 题型方法 【题型一】两条直线的交点坐标的应用 【例1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 解题技巧 求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 【变式3】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程； （2）利用，求得直线的方程，与直线方程联立方程组求解即可. 【详解】（1）因为边所在直线过点，，所以    因为为菱形，所以，所以，       又，所以，整理得. （2）因为，，所以. 因为为菱形，所以，所以        因为，，所以中点坐标为， 所以           联立方程组， 解得，所以. 【题型二】方程含参数的直线过定点问题 【例2】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点. 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 解题技巧 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）直线与圆相交于A，B两点，当取最小值时，k的值为（   ） A． B．1 C．4 D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过定点，然后再由圆中弦的性质和两直线垂直斜率关系可得. 【详解】直线方程变形为，即直线恒过点，设为， 当时，取最小值，此时. 故选：A    【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线与圆在第一象限有交点，则的范围是 ． 【答案】 【分析】由直线方程可得其所过定点，由圆的方程可得其与坐标轴正半轴的交点，由题意可直观想象直线的位置，进而可得斜率的范围，可得答案. 【详解】由直线，整理可得，则直线过定点， 由圆，则圆与坐标轴正半轴的交点分别为与， 由题意可得直线在点与连线与点与连线之间， 由直线斜率为，则或，解得或. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知直线：，：． (1)若，求m的值． (2)设直线过的定点为A，直线过的定点B，且当时，直线与交点为C，求中BC边上的高所在直线l的方程. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）两直线平行可得，解方程再检验即可得解； （2）求出两点，再由直线方程联立求出，根据直线垂直得的斜率，即可求出直线方程. 【详解】（1），解得或 当时，：，：满足； 当时，：，：,即，两直线重合，舍去； 故. （2）由直线：， 即，令，可得， 所以定点， 由：，令，可得， 可知定点， 当时，联立与的方程得， 解得， ，从而， 又直线过点， 故直线的方程为，即 【题型三】平面上两点间距离公式的应用 【例3】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 解题技巧 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， |P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． 【举一反三】【变式1】（22-23高二上·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形对角线互相垂直可知轴，则可设，由可构造方程求得结果. 【详解】四边形为菱形，轴，轴，可设， ，， 解得：（舍）或，. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知点和，点在轴上，且，则点的坐标为 . 【答案】或 【分析】设，因为，所以由勾股定理可得，将表达式化简求解即可. 【详解】因为点在轴上，设，因为， 所以由勾股定理可得， 即，解得或， 所以点的坐标是或. 故答案为：或. 【变式3】（24-25高二上·山东·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． (1)求点C的坐标； (2)求的面积； (3)求斜边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)10 (3)． 【分析】（1）设出C点坐标，利用垂直，转化为斜率之积为即可求出的值； （2）求出两直角边长，代入三角形面积公式即可； （3）写出AC中点E的坐标，利用直线的点斜式方程即可求出斜边中线所在直线方程． 【详解】（1）设．因为，所以， 显然，则． 因为，， 所以，解得，则． （2），， 的面积为． （3）记AC的中点为E，则． 直线BE的斜率为， 直线BE的方程为，即， 所以斜边上的中线所在直线的方程为． 【题型四】运用解析法解决平面几何问题 【例4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 解题技巧 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图，    所以， 所以． 故答案为： 【变式2】如图，和是在直线同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明：． 【答案】证明见解析. 【分析】以点为坐标原点，取所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，设和的边长分别为和．求出各点坐标，计算出线段长可得． 【详解】如图所示，以点为坐标原点，取所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图． 设和的边长分别为和． 则，，，， 由距离公式，得 ， ， 所以． 【变式3】（22-23高二上·湖北鄂州·阶段练习）用坐标法证明：平行四边形的对角线的平方和等四条边的平方和． 【答案】证明见解析 【分析】以顶点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，根据平行四边形的性质得到点的坐标为，然后利用两点间距离公式即可证明. 【详解】如图所示，以顶点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则．设，，由平行四边形的性质得点的坐标为． 因为，，，，， 所以， ，所以， 因此，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 【题型五】点到直线的距离公式的应用 【例5】（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点到直线的距离为. 故选：D. 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 【变式2】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）点，到直线的距离相等，则 . 【答案】或 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式建立方程，即可求解. 【详解】由题有， 整理得到，解得或， 故答案为：或. 【变式3】（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求； （2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案. （3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积. 【详解】（1）设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. （2）直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. （3）， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. 【题型六】两条平行直线间的距离公式的应用 【例6】（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 解题技巧 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·安徽六安·期中）平行于直线，且与它距离为的直线方程是 . 【答案】或 【分析】设所求直线方程为，利用两平行直线间的距离公式即可求解． 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故答案为：或． 【变式3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)； (2)存在点. 【分析】（1）由两平行线间距离公式代入数据即可求解； （2）由点在第一象限，结合点到线的距离公式列出等式求解即可. 【详解】（1）， 与间的距离为， 即 ， ， ； （2）假设存在，设点， 由条件知，点在与平行的直线上， 且， 或， 或， 由条件知，， ，即或， 因为点在第一象限，，舍， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故选：D 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出边所在的直线方程，再联立直线，组成的方程组，方程组的解即为顶点的坐标. 【详解】因为，边所在直线的方程为， 设所在直线方程为，因为过， 所以，所以所在直线方程为， 由解得，即顶点的坐标为. 故选：A. 3．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若点在直线：上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】A 【分析】根据表达式特征求出点到直线的距离即可. 【详解】易知代表点与点之间的距离， 因此当两点连线与直线垂直时，取得最小值， 其最小值为点到直线的距离. 故选：A 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 5．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 6．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线之间距离介于两直线重合和两直线与直线垂直这两种情况之间，故求出两种临界情况即可得到两直线之间的距离的取值范围. 【详解】当两直线都与垂直时，它们之间的距离达到最大， 此时， 当两直线重合时其距离为0. 所以． 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高二上·四川内江·期末）设直线l：，则（    ） A．直线l的纵截距为m B．当时，直线l与直线垂直 C．直线l过定点 D．原点到直线l的距离的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距的概念，判断出A项的正误；根据垂直的两条直线的斜率关系，判断出B项的正误；将直线l方程化简为，由此求出直线l经过的定点坐标，从而判断出C项的正误；由直线l经过定点，根据点到直线的距离的定义判断出D项的正误． 【详解】对于A，在方程中取，得， 所以直线l在y轴上的截距为，即纵截距等于，故A项错误； 对于B，当时，直线l方程为，其斜率， 而直线的斜率，结合，可知直线l与直线垂直，故B项正确； 对于C，直线l方程可化为， 所以直线l经过直线与的交点，故C项正确； 对于D，设直线l经过的定点为，结合点到直线的距离的定义， 可知：当时，原点O到l的距离等于，达到最大值，故D项正确． 故选：BCD. 8．（24-25高二上·江苏南京·期末）设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当变化时，恒过定点 B．若，则在轴，轴上的截距之和为4 C．若，则的斜率为1 D．当时，点关于直线的对称点坐标为 【答案】AC 【分析】对于A，将直线方程转化为，由解方程组即可；对于B，求出直线在轴，轴上的截距即可；对于C，化为斜截式即可得解；对于D，根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标. 【详解】对于A项，直线的方程为化为， 由，解得，所以直线恒过定点，A正确； 对于B项，时，，令，，令，， 此时在轴，轴上的截距之和为，B错误； 对于C项，由B项可知，故的斜率为1，C正确； 对于D项，时，， 设关于直线对称点坐标为， 则，解得， 即点关于直线的对称点坐标为，D错误. 故选：AC 9．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 【答案】ACD 【分析】根据两直线垂直和平行的判定，结合选项逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，， 即，则，故A正确； 对于B，当时，， 即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得， 所以与交于点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 10．（24-25高一下·上海宝山·期末）平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式，结合不等式的性质求出最小值. 【详解】点到直线的距离分别为， ，则距离之和为， ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，， 而，因此，所以所求最小值为. 故答案为： 11．（24-25高二上·湖北·期末）已知直线，若，则与之间的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据两直线平行的充要条件求出，利用两平行线间距离公式求解. 【详解】由，可得，解得， 所以直线，即， 所以与间的距离为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】联立的平分线直线方程和边上的高所在直线方程可求出点坐标，利用角平分线的性质结合点关于直线的对称点的计算可求出直线的方程，再利用边上的高所在直线的斜率以及点坐标求出直线的方程，联立求解即可得到点的坐标. 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高三下·北京·强基计划）求的值域. 【答案】 【分析】设，问题化为求的范围，数形结合确定值域即可. 【详解】令， 设，如下图示， 则，当且仅当在线段的延长线上时取等号， 当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上，目标式的范围是. 14．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积； （2）的斜率求得高线的斜率，再根据B的坐标，写出高线方程，求出的中点，即可求出边上的中线，然后联立高线方程和中线方程，求交点坐标即可. 【详解】（1）因为，所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. 因为， 所以. （2）因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即. 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为. 15．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出在轴和轴的截距，利用截距相等构造方程求得结果； （2）由求出，再由两平行线的距离求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 直线在轴的截距为，在轴的截距为， 则，解得． （2）若，则，得， 此时直线，即， 又直线， ∴直线与之间的距离． 16．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）联立直线与方程可得，设点，则，根据点分别在直线上列方程组可得结果. （2）设，根据及线段中点在上列方程组可得结果. 【详解】（1）由得，∴. 设点，则， ∴，解得，即 ∴，故直线的方程为，即. （2）设，则的中点坐标为，， ∴，解得：，故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$