2.3 有理数的乘方 同步提升 2025-2026学年人教版七年级数学上册

第 1页（共 4页） 2.3 有理数的乘方 同步提升 一．选择题 1．截止 2025年 2月 14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破 2000万次，刷 新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（ ） A．2000×104 B．2000×105 C．2×107 D．2×108 2．“( − 2) × ( − 2) ×⋯ × ( − 2) ︸ 8个(−2)相乘 ”可以写成（ ） A．（﹣2）×8 B．﹣2×8 C．（﹣2）8 D．﹣28 3．对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（ ） A．指数是﹣3 B．底数是 3 C．幂是 9 D．表示 2个 3相乘 4．下列各数中，是负数的是（ ） A．﹣（﹣3） B．（﹣3）2 C．﹣3 D．|﹣3| 5．下列几组数中，相等的是（ ） A．23和 32 B．（﹣3）2和﹣32 C．（﹣1）2022和﹣12022 D．+（﹣5）和﹣|﹣5| 6．32×32+32×32+32×32的结果是（ ） A．34 B．35 C．36 D．38 7．定义一个新运算�(�，�) = � + �(� ≤ �) � − �(�＞�) ，已知 a2＝9，b＝1，则 f（a，b）等于（ ） A．8或﹣8 B．8 C．2 D．2或﹣2 8．如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过 30分钟便由 1个分裂成 2个，根据此规律，请问一个 草履虫 8个小时后可分裂为（ ） A．16个 B．216个 C．8个 D．28个 9．定义一种新运算“◎”：a◎b＝b2﹣a，则等式 5◎x＝4中 x的值为（ ） A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3 10．观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算 第 2页（共 4页） 式中的规律，你认为 22011的末位数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 二．填空题 11．计算：( − 23 ) 2 = ． 12．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第 7位的科学巨匠，该成果领 先世界一千多年．圆周率π≈3.1415926按照四舍五入法对π精确到百分位是 ． 13．若|m﹣3|与（n﹣2）2互为相反数，则（﹣m）n的值为 ． 14．现定义某种运算“*”，对给定的两个有理数 a，b（a≠0），有 a*b＝a2﹣b，则（﹣2）*2 的值为 ． 15．《庄子•天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截 取它的一半，永远截不完．那么第 2025次截取后剩下的木棒有 尺． 16．已知|m+1|＝3，n2＝4，且|m+n|＝|m|+|n|，则 m+n＝ ． 三．解答题 17．计算： （1）4+（﹣5）+2+（﹣7） （2）（﹣2）3×0.5﹣|﹣18|÷32； （3）( 23− 3 4+ 1 6 ) ÷ ( − 1 24 ) （4）− 1 2020 + ( − 2)3 × ( − 12 ) − | − 1 − 5|． 18．计算：( − 12 ) × 8 × ( − 3 4 ) − ( − 5 6+ 1 3 ) ÷ 2 3．小明同学的过程如下： 解：( − 12 ) × 8 × ( − 3 4 ) − ( − 5 6 + 1 3 ) ÷ 2 3， = 4 × ( − 34 ) − 1 2÷ 8， =− 3 − 116， =− 4916． （1）请指出最早开始出错的步骤，并说明错误原因． （2）写出你的解答过程． 第 3页（共 4页） 19．定义关于*的一种运算：a*b＝ab+ab（a≠0，b是整数），例如：（﹣1）*3＝（﹣1）3+（﹣1）×3＝﹣ 1﹣3＝﹣4． （1）求（﹣4）*2的值． （2）若 a*2＝1，求 a*（﹣1）的值． 20．如图，数学课上，老师用 A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例 如：若按 A→B→C→D的顺序运算，则可列算式[（﹣2）×（﹣5）]2+2． （1）直接写出算式[（﹣2）×（﹣5）]2+2的结果； （2）若嘉嘉同学选择了 A→C→B→D的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 21．【阅读材料】： 求 1+2+22+23+24+⋯+2100的值． 解：设 S＝1+2+22+23+24+⋯+2100，① 则：2S＝2+22+23+24+25+⋯+2101，② 由②﹣①，得 S＝2101﹣1． 【解决问题】： （1）请运用上面的方法求 1+2+22+23+24+⋯+22025的值． 【迁移应用】： （2）求 1 + 12+ ( 1 2 ) 2 + ( 12 ) 3 + ( 12 ) 4 +⋯+ ( 12 ) 2025的值． 第 4页（共 4页） 22．综合与实践 有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘 以 100加上后积就是得数． 例：14×94＝100×（1×9+4）+42＝1316，前积是 13，后积是 16 （1）26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236，前积是 ，后积是 ； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）25×85＝ ＝ ； 【推理算法】记两位数分别是��和��，且 a+b＝10，其中�� = 10� + �，�� = 10� + �． （3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 答案与解析 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C． D B D B D D 二．填空题 11．计算：　　 ． 解：（）2 ＝（）2 ． 12．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．圆周率π≈3.1415926按照四舍五入法对π精确到百分位是　3.14　 ． 解：π≈3.1415926，3.1415926千分位上的数字是1，则将π按照四舍五入法精确到百分位是3.14， 13．若|m﹣3|与（n﹣2）2互为相反数，则（﹣m）n的值为　9　 ． 解：∵|m﹣3|和（n﹣2）2互为相反数， ∴|m﹣3|+（n﹣2）2＝0， ∴m﹣3＝0，n﹣2＝0， ∴m＝3，n＝2， ∴（﹣m）n＝（﹣3）2＝9． 14．现定义某种运算“*”，对给定的两个有理数a，b（a≠0），有a*b＝a2﹣b，则（﹣2）*2的值为　2　 ． 解：∵a*b＝a2﹣b， ∴（﹣2）*2 ＝（﹣2）2﹣2 ＝4﹣2 ＝2， 由上可得，（﹣2）*2的值为2， 15．《庄子•天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有　　 尺． 解：第1次截取后，剩余的木棒有（尺）； 第2次截取后，剩余的木棒有（尺）； 第3次截取后，剩余的木棒有（尺）； ……， 第2025次截取后剩余的木棒有（尺）． 故答案为：． 16．已知|m+1|＝3，n2＝4，且|m+n|＝|m|+|n|，则m+n＝ 　4或﹣6　 ． 解：根据题意可知，m+1＝±3，n＝±2， 解得：m＝2或m＝﹣4， ∵|m+n|＝|m|+|n|， ∴m与n同号，则可取m＝2、n＝2或m＝﹣4、n＝﹣2， ∴m+n＝2+2＝4或m+n＝﹣4+（﹣2）＝﹣6． 故答案为：4或﹣6． 三．解答题 17．计算： （1）4+（﹣5）+2+（﹣7）； （2）（﹣2）3×0.5﹣|﹣18|÷32； （3）； （4）． 解：（1）原式＝（4+2）+（﹣5﹣7） ＝6﹣12 ＝﹣6； （2）原式＝﹣8×0.5﹣18÷9 ＝﹣4﹣2 ＝﹣6； （3）原式 ＝﹣16+18﹣4 ＝2﹣4 ＝﹣2； （4）原式 ＝﹣1+4﹣6 ＝﹣3． 18．计算：．小明同学的过程如下： 解：， ， ， ． （1）请指出最早开始出错的步骤，并说明错误原因． （2）写出你的解答过程． 解：（1）由题干中的计算步骤可得最早开始出错的步骤是， 错误原因是（）×8，（）计算错误； （2）原式＝﹣4×（）﹣（）÷8 ＝3 ＝3 ＝3． 19．定义关于*的一种运算：a*b＝ab+ab（a≠0，b是整数），例如：（﹣1）*3＝（﹣1）3+（﹣1）×3＝﹣1﹣3＝﹣4． （1）求（﹣4）*2的值． （2）若a*2＝1，求a*（﹣1）的值． 解：（1）（﹣4）*2 ＝（﹣4）2+（﹣4）×2 ＝16﹣8 ＝8； （2）因为a*2＝1，a≠0， 所以a2+2a＝1， 所以1﹣a2＝2a， 所以a*（﹣1） ＝a﹣1+a×（﹣1） ＝2． 20．如图，数学课上，老师用A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按A→B→C→D的顺序运算，则可列算式[（﹣2）×（﹣5）]2+2． （1）直接写出算式[（﹣2）×（﹣5）]2+2的结果； （2）若嘉嘉同学选择了A→C→B→D的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 解：（1）原式＝102+2 ＝100+2 ＝102； （2）（﹣2）2×（﹣5）+2 ＝4×（﹣5）+2 ＝﹣20+2 ＝﹣18． 21．【阅读材料】： 求1+2+22+23+24+⋯+2100的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+⋯+2100，① 则：2S＝2+22+23+24+25+⋯+2101，② 由②﹣①，得S＝2101﹣1． 【解决问题】： （1）请运用上面的方法求1+2+22+23+24+⋯+22025的值． 【迁移应用】： （2）求的值． 解：（1）设M＝1+2+22+23+24+⋯+22025①， 则2M＝2+22+23+24+25+⋯+22026②， ②﹣①得：M＝22026﹣1， 即原式＝22026﹣1； （2）设T＝1（）2+（）3+（）4+⋯+（）2025①， T（）2+（）3+（）4+（）5+⋯+（）2026②， ①﹣②得：T＝1﹣（）2026， 则T＝2﹣（）2025， 即原式＝2﹣（）2025． 22．综合与实践 有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：14×94＝100×（1×9+4）+42＝1316，前积是13，后积是16 （1）26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236，前积是　22　 ，后积是　36　 ； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）25×85＝　100（2×8+5）+52　 ＝　2125　 ； 【推理算法】记两位数分别是和，且a+b＝10，其中． （3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 解：（1）∵26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236， ∴前积是22，后积是36． 故答案为：22；36； （2）25×85＝100×（2×8+5）+52＝2125． 故答案为：100×（2×8+5）+52；2125； （3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且a+b＝10，其中，那么100（ab+c）+c2． 证明：∵， ∴ ＝（10a+c）（10b+c） ＝100ab+10（a+b）c+c2， ∵a+b＝10， ∴ ＝100ab+100c+c2 ＝100（ab+c）+c2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/7 16:58:43；用户：王妍；邮箱：18068992688；学号：38112000 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 有理数的乘方 同步提升 一．选择题 1．截止2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（　　） A．2000×104 B．2000×105 C．2×107 D．2×108 2．可以写成（　　） A．（﹣2）×8 B．﹣2×8 C．（﹣2）8 D．﹣28 3．对于式子（﹣3）2，下列说法正确的是（　　） A．指数是﹣3 B．底数是3 C．幂是9 D．表示2个3相乘 4．下列各数中，是负数的是（　　） A．﹣（﹣3） B．（﹣3）2 C．﹣3 D．|﹣3| 5．下列几组数中，相等的是（　　） A．23和32 B．（﹣3）2和﹣32 C．（﹣1）2022和﹣12022 D．+（﹣5）和﹣|﹣5| 6．32×32+32×32+32×32的结果是（　　） A．34 B．35 C．36 D．38 7．定义一个新运算，已知a2＝9，b＝1，则f（a，b）等于（　　） A．8或﹣8 B．8 C．2 D．2或﹣2 8．如图是草履虫的细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此规律，请问一个草履虫8个小时后可分裂为（　　） A．16个 B．216个 C．8个 D．28个 9．定义一种新运算“◎”：a◎b＝b2﹣a，则等式5◎x＝4中x的值为（　　） A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3 10．观察下列算式：21＝2 22＝4 23＝8 24＝16 25＝32 26＝64 27＝128 28＝256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二．填空题 11．计算：　 　 ． 12．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．圆周率π≈3.1415926按照四舍五入法对π精确到百分位是　 　 ． 13．若|m﹣3|与（n﹣2）2互为相反数，则（﹣m）n的值为　 　 ． 14．现定义某种运算“*”，对给定的两个有理数a，b（a≠0），有a*b＝a2﹣b，则（﹣2）*2的值为　 　 ． 15．《庄子•天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有　 　 尺． 16．已知|m+1|＝3，n2＝4，且|m+n|＝|m|+|n|，则m+n＝ 　 　 ． 三．解答题 17．计算： （1）4+（﹣5）+2+（﹣7） （2）（﹣2）3×0.5﹣|﹣18|÷32； （3） （4）． 18．计算：．小明同学的过程如下： 解：， ， ， ． （1）请指出最早开始出错的步骤，并说明错误原因． （2）写出你的解答过程． 19．定义关于*的一种运算：a*b＝ab+ab（a≠0，b是整数），例如：（﹣1）*3＝（﹣1）3+（﹣1）×3＝﹣1﹣3＝﹣4． （1）求（﹣4）*2的值． （2）若a*2＝1，求a*（﹣1）的值． 20．如图，数学课上，老师用A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按A→B→C→D的顺序运算，则可列算式[（﹣2）×（﹣5）]2+2． （1）直接写出算式[（﹣2）×（﹣5）]2+2的结果； （2）若嘉嘉同学选择了A→C→B→D的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 21．【阅读材料】： 求1+2+22+23+24+⋯+2100的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+⋯+2100，① 则：2S＝2+22+23+24+25+⋯+2101，② 由②﹣①，得S＝2101﹣1． 【解决问题】： （1）请运用上面的方法求1+2+22+23+24+⋯+22025的值． 【迁移应用】： （2）求的值． 22．综合与实践 有趣的“乘法运算” 小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：14×94＝100×（1×9+4）+42＝1316，前积是13，后积是16 （1）26×86＝100×（2×8+6）+62＝2236，前积是　 　 ，后积是　 　 ； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）25×85＝　 　 ＝　 　 ； 【推理算法】记两位数分别是和，且a+b＝10，其中． （3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$