2025年九年级数学秋季开学摸底考（北师大版）

2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A B A C A B C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．-26 12．30 13．3 14． 15．①②③④ 16． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（解：（1） 去分母，可得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为；……………………………… 4分 （2）， 解不等式①，可得， 解不等式②，可得， ∴不等式组的解集为．……………………………… 8分 18．（8分）解：（1） ；……………………………… 4分 （2） ．……………………………… 8分 【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 19．（8分）（1）解：如图，即为所求作．………………………………3 分 （2）如图，即为所求作．……………………………… 6分 （3）如图，即为所求作．………………………………8 分 20．（8分）（1）解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴；……………………………… 3分 （2）解：在等腰中，，为中线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．……………………………… 8分 21．（8分）（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；……………………………… 5分 （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵， ∴， ∴菱形是正方形．……………………………… 8分 22．（10分）（1）解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元， 根据题意得：，……………………………… 2分 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元．……………………………… 5分 （2）解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔， 根据题意得：，………………………………8 分 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为62， 答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．………………………………10 分 23．（10分）（1）①解：过点G作，垂足为P， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为：；……………………………… 3分 ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ；………………………………6 分 （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ；………………………………8 分 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或．……………………………… 10分 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 24．（12分）（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线为；……………………………… 2分 （2）解：如图，设， ∵， 解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形， 当时，， 解得：， ∴或， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 综上：或或或；……………………………… 6分 （3）解：如图，∵点P在直线上，Q在直线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴；……………………………… 9分 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：或；……………………………… 12分 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下册+九年级上册第1章（北师大版）。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D． 2．已知，那么下列各式中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C．D． 4．已知代数式 和 的值相等，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 5．下列命题是真命题的是（  ） A．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．若则 C．平行四边形对角线相等 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 6．如图，中，，利用尺规在、上分别截取、，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，则的面积为(　　) A．无法确定 B．10 C．15 D．30 7．如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形不一定是平行四边形（    ） A． B． C． D． 9．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、交于点，下列结论：①；②；③；④中正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 10．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③G为的中点；④F为的中点；⑤．其中正确的结论有（    ）个． A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．若式子的值为零，则式子的值是 ． 12．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆的长度相等，点在的延长线上，且，若的长度为，则此时两点之间的距离为 ． 13．如图，在菱形中，，菱形的面积为30，对角线，交于点O．过点A作，交边于点E，连接，则 ． 14．如图，在矩形中，，，将矩形沿翻折，使点与点重合，点落在处，折痕与，分别交于点，，则的长为 ． 15．如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有 ．（只填序号） 16．关于x的不等式组无解且一次函数的图象经过一、二、四象限，则a的取值范围值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）解方程： （2）解不等式组： 18．（8分）计算： （1） （2） 19．（8分）如图，每个小正方形网格的边长都是1个单位长度，点D和的顶点都在格点上，连接． (1)画关于轴对称的． (2)画绕点C顺时针旋转得到的． (3)画向下平移2个单位长度得到的． 20．（8分）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 21．（8分）如图，中，延长至点，使，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 22．（10分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 23．（10分）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 24．（12分）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共18分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三 、解答题（共72分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 8 分） ) ( 18．（ 8 分） 19．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（8分） 21．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （ 10 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （ 1 0 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （ 1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下册+九年级上册第 1 章（北师大版）。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 2．已知 a b ，那么下列各式中，不一定成立的是（ ） A． 2 2ac bc B． 2 2a b C． 3 1a b   D． 2 2a b   3．不等式 1 1 2 2 x   的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知代数式 2 3 x 和 1 2x 的值相等，则 x的值为（ ） A． 3 5 B．1 C．2 D． 2 5．下列命题是真命题的是（ ） A．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．若 ,a b 则 2 2a b   C．平行四边形对角线相等 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 6．如图，Rt ABC 中， 90C  ，利用尺规在BC、BA上分别截取 BE、BD，使 BE BD ，分别以D，E 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 为圆心、以大于 1 2 DE的长为半径作弧，两弧在 CBA 内交于点 F ；作射线 BF交 AC 于点G．若 3CG  ， 10AB  ，则 ABG 的面积为( ) A．无法确定 B．10 C．15 D．30 7．如图，直线 1y x  与直线 y mx n  相交于点  1,b ，则不等式 1x mx n   的解集是 （ ） A． 1x  B． 1x  C． 2x  D． 2x  8．如图所示，在 ABCD□ 中，对角线 AC BD， 相交于点 O，E，F是对角线 AC上的两 点，当 E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ） A．OE OF B．DF BF C．CE AF D． ABE CDF  9．如图，E、F 分别是正方形 ABCD的边CD、AD上的点，且CE DF ，AE、BF交于 点O，下列结论：① AE BF ；② AE BF ；③ AO OE ；④ AOB DEOFS S 四边形 中正确的 有（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 10．如图，在 ABCV 中， 90BCA  ，CA CB ，AD为边 BC边上的中线，CG AD 于 G，交 AB于 F，过点 B作 BC的垂线交CG于点 E．有下列结论： ① ADC CEB△ ≌△ ；②DF EF ；③G为CF的中点；④F为EG的中点； ⑤ ADC BDF   ．其中正确的结论有（ ）个． A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）请把答案直接填写在横线上 11．若式子 2 1 2 a a a - + - 的值为零，则式子 ( 2)( 1) 24a a+ - - 的值是 ． 12．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆 BC的长度相等，点 E在DC的延长线上，且 2BCE BCD   ，若CD的长度为30cm，则此时 ,B D两点之间的 距离为 cm． 13．如图，在菱形 ABCD中， 10BD  ，菱形的面积为 30，对角线 AC，BD交于点 O．过点 A作 AE BC ，交边BC于点 E，连接 EO，则 EO  ． 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 14．如图，在矩形 ABCD中， 8AB  ， 6AD  ，将矩形沿 EF翻折，使点C与点A重合，点 B落在 B处， 折痕与DC， AB分别交于点 E， F ，则DE的长为 ． 15．如图， EF过 ABCD 对角线的交点O，交 AD于点 E，交 BC于点 F ．则：①OE OF ；②若 4AB  ， 6AC  ，则 2 14BD  ；③ 1 4AOB ABCD S S  ；④ ABCABFES S △四边形 ．其中正确的结论有 ．（只填序 号） 16．关于 x的不等式组 12 2 2 xx a x       无解且一次函数  6 2y a x a    的图象经过一、二、四象限，则 a 的取值范围值是 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）解方程： 2 11 3 3x x     （2）解不等式组： 3 4 6 3 4 2 1 1 6 3 x x x x         18．（8分）计算： （1） 2 2 2b a ab a b a b b a      （2） 2 2 6 9 1( ) 9 3 3 m m m m m m m         19．（8分）如图，每个小正方形网格的边长都是 1个单位长度，点 D和 ABCV 的 顶点都在格点上，连接 AD． (1)画 ABCV 关于 AD轴对称的 AEF△ ． (2)画 ABCV 绕点 C顺时针旋转90得到的 GHC ． (3)画 GHC 向下平移 2个单位长度得到的 GH C  △ ． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 20．（8分）如图，在等腰 ABC 中， AB AC ， AD为中线，延长DC至点 E，使DE AD ，连结 AE，过 点 B作 AC的垂线，垂足为G，交 AE于点 F ． (1)若 52BAC  ，求 FBC 的度数； (2)试说明 BF AC 的理由． 21．（8分）如图， ABCD 中，延长 AB至点 E，使 BE AB ，连接 ,CE BD，且CE CD ． (1)求证：四边形 DBEC是菱形； (2)连接DE，若DA DE ，判断四边形 DBEC的形状，并说明理由． 22．（10分）2024年 3月 14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活 动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自 动铅笔贵 60%，且花 300元购买的自动铅笔比花 400元购买的钢笔多 10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价 20%，而钢笔则按之前询 问价格的 8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共 200支，且购买奖品的费用没有超过 1250元， 则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 23．（10分）如图，在 ABCD 中，AD AC ，AD AC ，E为射线 BA上一点，直线DE与直线 AC交于点 G， CH DE 于 H，CH的延长线与直线 AB交于点 F． (1)当 E在线段 AB上时， ①若 30  CDE ， 2CG  ，求 ABCD 的面积； ②求证：DG CF FG  ； (2)若HG HF ， 2FG  ，求DG的长． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 24．（12分）如图，在 AOBV 中，点B在 x轴上，直线 2y x b  经过点  4,3A ，且与 x轴交于点C，直线 4y x   与 x轴相交于点 B，与 AC相交于点 D． (1)求直线 AC的表达式； (2)在 y轴上是否存在一点 E，使 ODE 是等腰三角形，若存在，求出点 E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点 P在直线 AC上，在直线 BD上是否存在点 Q，使以点 O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若 存在，求出点 Q的坐标：若不存在，请说明理由． 试题 第 1页（共 10页） 试题 第 2页（共 10页） 学科网（北京）股份有限公司 … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下册+九年级上册第 1 章（北师大版）。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 2．已知 a b ，那么下列各式中，不一定成立的是（ ） A． 2 2ac bc B． 2 2a b C． 3 1a b   D． 2 2a b   3．不等式 1 1 2 2 x   的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知代数式 2 3 x 和 1 2x 的值相等，则 x的值为（ ） A． 3 5 B．1 C．2 D． 2 5．下列命题是真命题的是（ ） A．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．若 ,a b 则 2 2a b   C．平行四边形对角线相等 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 6．如图，Rt ABC 中， 90C  ，利用尺规在 BC、BA上分别截取 BE、BD，使 BE BD ，分别以D，E为圆心、以大于 12 DE的长为半径作弧，两弧在 CBA 内 交于点 F；作射线 BF 交 AC于点G．若 3CG  ， 10AB  ，则 ABG 的面积为( ) A．无法确定 B．10 C．15 D．30 7．如图，直线 1y x  与直线 y mx n  相交于点  1,b ，则不等式 1x mx n   的解集是 （ ） A． 1x  B． 1x  C． 2x  D． 2x  8．如图所示，在 ABCD□ 中，对角线 AC BD， 相交于点 O，E，F是对角线 AC上的两点，当 E，F满足 下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ） A．OE OF B．DF BF C．CE AF D． ABE CDF  9．如图，E、F分别是正方形 ABCD的边CD、AD上的点，且CE DF ，AE、BF交于 点O，下列结论：① AE BF ；② AE BF ；③ AO OE ；④ AOB DEOFS S 四边形 中正确 的有（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 10．如图，在 ABCV 中， 90BCA  ，CA CB ，AD为边 BC边上的中线，CG AD 于 G，交 AB于 F，过点 B作 BC的垂线交CG于点 E．有下列结论： ① ADC CEB△ ≌△ ；②DF EF ；③G为CF的中点；④F为 EG的中点； ⑤ ADC BDF   ．其中正确的结论有（ ）个． A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3 分，共 18 分）请把答案直接填写在横线上 11．若式子 2 1 2 a a a - + - 的值为零，则式子 ( 2)( 1) 24a a+ - - 的值是 ． 12．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆 BC的长度相等，点 E 在DC的延长线上，且 2BCE BCD   ，若CD的长度为30cm，则此时 ,B D两点之间的距离 为 cm． 试题 第 3页（共 10页） 试题 第 4页（共 10页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 13．如图，在菱形 ABCD中， 10BD  ，菱形的面积为 30，对角线 AC，BD交于点 O．过点 A作 AE BC ， 交边 BC于点 E，连接EO，则 EO  ． 14．如图，在矩形 ABCD中， 8AB  ， 6AD  ，将矩形沿 EF翻折，使点C与点A重合，点 B落在 B处， 折痕与DC， AB分别交于点 E， F，则DE的长为 ． 15．如图，EF过 ABCD 对角线的交点O，交 AD于点 E，交 BC于点 F ．则：①OE OF ；②若 4AB  ， 6AC  ，则 2 14BD  ；③ 1 4AOB ABCD S S  ；④ ABCABFES S △四边形 ．其中正确的结论有 ．（只填 序号） 16．关于 x的不等式组 12 2 2 xx a x       无解且一次函数  6 2y a x a    的图象经过一、二、四象限，则 a 的取值范围值是 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）（1）解方程： 2 11 3 3x x     （2）解不等式组： 3 4 6 3 4 2 1 1 6 3 x x x x         18．（8 分）计算： （1） 2 2 2b a ab a b a b b a      （2） 2 2 6 9 1( ) 9 3 3 m m m m m m m         19．（8 分）如图，每个小正方形网格的边长都是 1 个单位长度，点 D和 ABCV 的顶 点都在格点上，连接 AD． (1)画 ABCV 关于 AD轴对称的 AEF△ ． (2)画 ABCV 绕点 C顺时针旋转90得到的 GHC ． (3)画 GHC 向下平移 2 个单位长度得到的 GH C  △ ． 20．（8 分）如图，在等腰 ABC 中， AB AC ， AD为中线，延长DC至点 E，使 DE AD ，连结 AE，过点 B作 AC的垂线，垂足为G，交 AE于点 F ． (1)若 52BAC  ，求 FBC 的度数； (2)试说明 BF AC 的理由． 21．（8 分）如图， ABCD 中，延长 AB至点 E，使 BE AB ，连接 ,CE BD，且CE CD ． (1)求证：四边形 DBEC是菱形； (2)连接DE，若DA DE ，判断四边形 DBEC的形状，并说明理由． 试题 第 5页（共 10页） 试题 第 6页（共 10页） 学科网（北京）股份有限公司 … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 22．（10 分）2024 年 3 月 14 日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活 动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自 动铅笔贵 60%，且花 300 元购买的自动铅笔比花 400 元购买的钢笔多 10 支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价 20%，而钢笔则按之前询 问价格的 8.5 折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共 200 支，且购买奖品的费用没有超过 1250 元， 则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 23．（10 分）如图，在 ABCD 中， AD AC ， AD AC ，E为射线 BA上一点，直线DE与直线 AC交于点 G，CH DE 于 H，CH的延长线与直线 AB交于点 F． (1)当 E在线段 AB上时， ①若 30  CDE ， 2CG  ，求 ABCD 的面积； ②求证：DG CF FG  ； (2)若HG HF ， 2FG  ，求DG的长． 24．（12 分）如图，在 AOBV 中，点 B在 x轴上，直线 2y x b  经过点  4,3A ，且与 x轴交于点 C，直线 4y x   与 x轴相交于点 B，与 AC相交于点 D． (1)求直线 AC的表达式； (2)在 y轴上是否存在一点 E，使 ODE 是等腰三角形，若存在，求出点 E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点 P在直线 AC上，在直线 BD上是否存在点 Q，使以点 O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若 存在，求出点 Q的坐标：若不存在，请说明理由． 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下册+九年级上册第1章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2．已知，那么下列各式中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质1不等式不等式两边同时加或减去同一个数或整式,不等号方向不变，基本性质2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整数,不等号方向不变•基本性质3:不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整数,不等号方向改变，根据不等式性质对各选项进行一一分析判断即可． 【详解】解：．，不妨设， 则， 选项符合题意； B．， ， 选项B不符合题意； C．， ， ， 选项C不符合题意； D．， ， ， 选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查不等式性质，掌握不等式性质是解题关键． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： ， 故选：B． 4．已知代数式 和 的值相等，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案． 【详解】代数式 和 的值相等， , 经检验是分式方程的解． 故选：A． 5．下列命题是真命题的是（  ） A．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．若则 C．平行四边形对角线相等 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】根据真命题的定义，逐个选项进行判断，根据直角三角形的全等，平行四边形的性质和判定，不等式的性质即可得出结果． 【详解】解：A、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形可以利用AAS证明两三角形全等，原命题是真命题； B、若a＞b，则-a＜-b，所以2-a＜2-b，原命题是假命题； C、平行四边形对角线平分，原命题是假命题； D、一组对边相等且平行的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题； 故选：A． 【点睛】本题考查了真命题与假命题的概念，真命题：判断正确的命题叫真命题，假命题：判断错误的命题叫假命题，比较简单． 6．如图，中，，利用尺规在、上分别截取、，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，则的面积为(　　) A．无法确定 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质；先利用基本作图得到平分，然后根据角平分线的性质和三角形的面积公式求解． 【详解】解：由作法得平分， 过作于， ， ， ， ∴的面积 故选：C． 7．如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，熟知一次函数与一元一次不等式的关系及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．根据所给函数图象，找出直线在直线下方时的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，一次函数的图象在一次函数图象的下方，即， 所以不等式的解集是：． 故选：A 8．如图所示，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形不一定是平行四边形（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，利用了对角线互相平分时，那么对角线是原平行四边形的一部分的四边形要想判断是平行四边形一般应用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明．根据平行四边形的判定和题中选项，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形．能判定是平行四边形． B、，缺少夹角相等．不能利用全等判断出 ∴四边形不一定是平行四边形． C、在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，故C能判定是平行四边形； D、同理， ∴， ∴，故D能判定是平行四边形； 故选：B． 9．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、交于点，下列结论：①；②；③；④中正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据正方形的性质结合题意可推得，可得，从而判定①正确；由①得，可得，即可得证，从而判定②正确；假设，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据直角三角形的斜边大于直角边可得，即，从而判定③错误；由①可得，根据即可得证，从而判定④正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； 如图，连接， 假设， 由②得：， 垂直平分， ， 在中，， ，与正方形的边长相矛盾， 假设不成立，，故③错误； 由①得：， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故选：C． 10．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③G为的中点；④F为的中点；⑤．其中正确的结论有（    ）个． A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】①由条件可知，可得，再结合条件即可证明；②⑤，结合条件可证明，则有，，可得；③假设G为的中点，先证明，可得，即可证明，进而可得，此与相矛盾，④可得根据直角三角形的斜边大于直角边可得，结合，可知F不可能为中点．即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； 又∵D为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 假设G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，此与相矛盾， 故假设错误，即G不是的中点，故③错误， 在中，， ∵， ∴， ∴F不是的中点，故④不正确； 又∵， ∴，而， ∴，故⑤正确； 故正确的有：①②⑤ 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．若式子的值为零，则式子的值是 ． 【答案】-26 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【详解】解：代数式的值为零， 且 解得：． ∴． 故答案为：-26． 【点睛】本题主要考查的是分式值为的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键． 12．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆的长度相等，点在的延长线上，且，若的长度为，则此时两点之间的距离为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，连接，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵，且 ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时B，D两点之间的距离为， 故答案为：30． 13．如图，在菱形中，，菱形的面积为30，对角线，交于点O．过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，先根据菱形的性质求出，，然后直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：在菱形中，，菱形的面积为30， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 14．如图，在矩形中，，，将矩形沿翻折，使点与点重合，点落在处，折痕与，分别交于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 设，根据折叠的性质知：．在中，利用勾股定理列出关于x的方程并解答即可． 【详解】解：如图，在矩形中，，，． 设，则， 根据折叠的性质知：． 在中， 由勾股定理得：， 解得． 即的长为． 故答案是：． 15．如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形三边关系，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题关键． ①根据平行四边形的性质得到即可解题； ②根据平行四边形的性质和三角形三边关系得到，进而得到的取值范围； ③根据平行四边形对角线交点既为对角线中点，即可得出； ④通过切割和面积结合即可解题． 【详解】解：四边形 为平行四边形， ，，， ，， ， ， 故①正确； ， ， 又， ， ， 故②正确； 为对角线、中点， ， 故③正确； 由图可知：， 又， ， 故④正确； 故答案为：①②③④． 16．关于x的不等式组无解且一次函数的图象经过一、二、四象限，则a的取值范围值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟知一元一次不等式的解法及一次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给不等式组无解，可求出的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、四象限，确定取值范围即可． 【详解】解：解不等式得， ． 不等式组无解， ， 解得． 一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 解得． 综上所述，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） 去分母，可得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为； （2）， 解不等式①，可得， 解不等式②，可得， ∴不等式组的解集为． 18．（8分）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）通分并利用同分母分式的加减法法则计算即可； （2）先进行括号内的计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 19．（8分）如图，每个小正方形网格的边长都是1个单位长度，点D和的顶点都在格点上，连接． (1)画关于轴对称的． (2)画绕点C顺时针旋转得到的． (3)画向下平移2个单位长度得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图形的轴对称，作图形的旋转，作图形的平移，解题关键是掌握轴对称、旋转、平移的概念． （1）利用轴对称的性质作出关于轴对称的； （2）根据旋转中心、方向与角度作出绕点C顺时针旋转得到的； （3）根据平移方向与距离作出平移后的三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）如图，即为所求作． （3）如图，即为所求作． 20．（8分）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识是关键． （1）根据等边对等角得到，由直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据三线合一得到，，，根据题意得到是等腰直角三角形，，根据角的和差计算得到，，则，由此得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴； （2）解：在等腰中，，为中线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（8分）如图，中，延长至点，使，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定定理，菱形的判定定理和平行四边形的性质，三线合一定理，熟知正方形和菱形的判定定理是解题的关键． （1）证明，可得四边形是平行四边形，再由，可证明四边形是菱形； （2）根据三线合一定理可证明，则可证明菱形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵， ∴， ∴菱形是正方形． 22．（10分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 【答案】(1)前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元 (2)学校最多购买了62支钢笔作为奖品 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，解题关键是理清题目中的数量关系，掌握分式方程及一元一次不等式的应用． （1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，根据数量=费用单价，结合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”，即可得到等量关系，列出分式方程求解，并检验解即可； （2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，根据费用=单价数量，找到题目中的数量关系：购买自动铅笔费用+购买钢笔费用1250元，列出不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元． （2）解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为62， 答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品． 23．（10分）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 【分析】（1）①过点G作，垂足为P，证明是等腰直角三角形，求出，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理即可求出，即可得到的面积；②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为P， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为：； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 24．（12分）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）由直线：经过点，再利用待定系数法可得答案； （2）设，先求解，可得，，，结合是等腰三角形，再分类讨论即可； （3）如图，设，，当为对角线时，如图，当为对角线时，如图，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，设， ∵， 解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形， 当时，， 解得：， ∴或， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 综上：或或或； （3）解：如图，∵点P在直线上，Q在直线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：或； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：八年级下册+九年级上册第1章（北师大版）。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D． 2．已知，那么下列各式中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C．D． 4．已知代数式 和 的值相等，则x的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 5．下列命题是真命题的是（  ） A．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．若则 C．平行四边形对角线相等 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 6．如图，中，，利用尺规在、上分别截取、，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，则的面积为(　　) A．无法确定 B．10 C．15 D．30 7．如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形不一定是平行四边形（    ） A． B． C． D． 9．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、交于点，下列结论：①；②；③；④中正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 10．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③G为的中点；④F为的中点；⑤．其中正确的结论有（    ）个． A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．若式子的值为零，则式子的值是 ． 12．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆的长度相等，点在的延长线上，且，若的长度为，则此时两点之间的距离为 ． 13．如图，在菱形中，，菱形的面积为30，对角线，交于点O．过点A作，交边于点E，连接，则 ． 14．如图，在矩形中，，，将矩形沿翻折，使点与点重合，点落在处，折痕与，分别交于点，，则的长为 ． 15．如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有 ．（只填序号） 16．关于x的不等式组无解且一次函数的图象经过一、二、四象限，则a的取值范围值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）解方程： （2）解不等式组： 18．（8分）计算： （1） （2） 19．（8分）如图，每个小正方形网格的边长都是1个单位长度，点D和的顶点都在格点上，连接． (1)画关于轴对称的． (2)画绕点C顺时针旋转得到的． (3)画向下平移2个单位长度得到的． 20．（8分）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 21．（8分）如图，中，延长至点，使，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 22．（10分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 23．（10分）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 24．（12分）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$