精品解析：陕西省西安市铁一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2023—2024-2高二年级期末考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列，若，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ） A. 12，13 B. 13，13 C. 13，12 D. 12，14 6. 若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④. 其中是“理想函数”的序号是 A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 7. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且）的图象恒过点A，函数的图象恰好过点A，且在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于直线对称 C. 关于点中心对称 D. 的最小值为 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若方程有三个实根，则或 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有，当时，恒成立，则（ ） A. B. 在上是单调函数 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算_________. 13. 设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为______________． 14. “曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答过程应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程. 15. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 16. 三棱柱中，． （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 17. 已知抛物线（）的焦点为，为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.求点的坐标. 18. 已知函数. （1）若，求此时的值； （2）求的单调区间； （3）当，且时，判断与的大小，并说明理由. 19. 已知双曲线，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，记． （1）求的通项公式； （2）过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，记，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024-2高二年级期末考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用为纯虚数，可求，可得在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为，所以为纯虚数， 所以，解得，所以复数， 所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出集合、后，借助补集定义及交集定义即可得. 【详解】由，即，解得，故， 由，可得，即或，故， 故. 故选：B. 3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数的定义域，判断是奇函数，故排除CD；再根据的值，排除A，从而B正确. 【详解】由，得，解得， ∴函数的定义域为， ∵， ∴函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除CD； ∵，故排除A，从而B正确. 故选：B. 4. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差数列和常数数列性质，分别从充分性和必要性两个方面分析即可. 【详解】当数列是等差数列时，根据等差数列的性质，当时，有，所以是的充分条件； 当数列是等差数列且为常数数列时，由于是恒成立的，所以未必成立，所以是的不必要条件. 综上可知：是的充分不必要条件. 故选：A 5. 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列，若，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ） A. 12，13 B. 13，13 C. 13，12 D. 12，14 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据，，成等比数列求出数列的首项，然后即可求出样本的平均数和中位数. 【详解】解：依题意，解得， 故是首项，公差的等差数列， 所以此样本的平均数为，中位数为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，中位数，平均数，属于基础题. 6. 若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④. 其中是“理想函数”的序号是 A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果． 【详解】解：函数同时满足①对于定义域上的任意，恒有； ②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”， “理想函数”既是奇函数，又是减函数， ①是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”； ②是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”； ③是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”． ④是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”． 故选 【点睛】本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题． 7. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，分析函数单调性及最值，得当时有且仅有一个零点，则当时，有3个零点，结合图象分析得，解不等式即可. 【详解】当时，是减函数，且， 故当时有且仅有一个零点， 由题意得，当时，有3个零点， ， ， 令，即， 结合图象分析得，即，解得. 故选：. 8. 已知函数（且）的图象恒过点A，函数的图象恰好过点A，且在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合对数函数的定点可得，进而可得在上恒成立，利用参变分离可得在上恒成立，结合恒成立问题分析运算. 【详解】令，得，所以函数的图象恒过点， 将点A的坐标代入函数，得，则， 所以，则， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 可得在上恒成立， 则在上恒成立， 因为在上单调递增，且， 即在上的最小值为5，则，解得， 又因为且，所以实数a的取值范围为. 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于直线对称 C. 关于点中心对称 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将函数可变形为，结合函数性质逐项分析计算即可得. 【详解】， 由的最小正周期为，故的最小正周期为，故A正确； ， 且， 故关于直线，不关于点对称，故B正确，C错误； 由，且， 故，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若方程有三个实根，则或 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】有两个极值点，所以选项A正确；得，所以选项B错误；函数满足，所以选项C正确；直线是曲线在点处得切线，所以选项D正确. 【详解】解：由解得，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极值，所以函数有两个极值点，所以选项A正确； 由选项A可知，若方程有三个实根，需要a的取值介于两个极值点之间，即，即，所以选项B错误； 计算得，则点是曲线的对称中心，所以选项C正确； 当时，解得，而，所以直线是曲线在点处得切线，所以选项D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有，当时，恒成立，则（ ） A. B. 在上是单调函数 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法计算判断AC；举例说明判断B；利用函数单调性定义探讨单调性并求出范围判断D. 【详解】对一切正实数，都有，， 对于A，令，，得； 令，，得，A正确； 对于B，由函数是上的奇函数，得， 因此函数上不单调，B错误； 对于C，令，则，因此，C正确； 对于D，，，，而当时，， 则， ， 函数在上单调递增，在上单调递增， 而， 当时，由，即，得， ，， ， 当时，， 解得， 因此当时，，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算计算得解. 【详解】 . 故答案为：8 13. 设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为______________． 【答案】－1 【解析】 【详解】由题意可得g(x)＝ex＋ae－x为奇函数，由g(0)＝0，得a＝－1. 14. “曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，作出点轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解. 详解】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，， 则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是将点的曼哈顿距离转化为图形，从而利用数形结合即可得解. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答过程应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程. 15. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到，从而求出的解集； （2）换元后得到对于能成立，利用函数单调性求出，得到答案. 【小问1详解】 ，令， 则原不等式可化为，解得，即 所以，不等式的解集． 【小问2详解】 当时，令，可得， 原不等式可化为对于能成立， 即可得对于能成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增，所以， 因此只需即可，得； 即的取值范围是． 16. 三棱柱中，． （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示：作中点，连接， ， 是等边三角形， 又， 满足，即有， 而，所以， ，平面， 平面， 而平面， 所以，又因为是中点， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，即得，从而得到. （2）根据求两平面法向量即可求得二面角余弦值. 小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则，易知， 以点为原点，分别以方向为轴，以过点竖直向上的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 过点作，垂足为， 在中，， 所以，， 则， ，，， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，所以， 同理可得：平面的法向量， 则. 因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 17. 已知抛物线（）的焦点为，为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.求点的坐标. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程. （2）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率不为0，且过点，设的直线的方程为， 由消去得，， 设，则，不妨设，则， 直线AD的方程为：，即， 即，令，得， 因此，解得， 所以. 18. 已知函数. （1）若，求此时的值； （2）求的单调区间； （3）当，且时，判断与的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2）当时，单调增区间为；单调减区间为. 当时，单调减区间为和；无单调增区间. 当时，单调增区间为；单调减区间为和. （3），理由见详解 【解析】 【分析】（1）求出导数，由，得，利用函数的单调性求得的解，即得的值； （2）求导得，通过分类讨论可求得函数的单调性，得到答案； （3）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调区间，从而判断出两者的大小关系. 【小问1详解】 函数，则， 因为，所以. ∵，，得. 令则， 所以在单调递增； 因为，所以. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时， 令得，所以在上单调递增； 令得或，所以在和上单调递减. 所以的单调增区间为；单调减区间为. 当时， 由，得在和上分别单调递减， 所以的单调减区间为和；无单调增区间. 当时， 令，得，所以在上单调递增； 令得或，所以在和上单调递减. 所以的单调增区间为；单调减区间为和. 【小问3详解】 当，且时，， 证明如下： 令，. 则，， 设，则， 因为， 令，得，令，得. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 所以的单调递增区间为. 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当且时，. 19. 已知双曲线，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，记． （1）求的通项公式； （2）过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，记，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由点在双曲线上，又，得是以为首项，公差为的等差数列，可求得. （2）由切线方程代入渐近线，得，，由放缩法证明右边，通过构造函数证明不等式，再利用放缩法证明左边. 【小问1详解】 双曲线，渐近线方程为， 由已知可得：， 又点在双曲线上，所以，即， 所以是以为首项，公差为的等差数列，所以即 【小问2详解】 设，有， 以为切点的双曲线的切线，时斜率存在时，设斜率为， 切线方程为，代入双曲线， 得，由， 得，解得，切线方程为， 为切点的双曲线的切线方程也满足， 由，可得， 即， 由可得， 即，所以， 所以，. 先证右边： ， 所以 ，右边得证. 下证左边： 先证，令， ， 所以在递增，所以， 即时，， 所以， 当时，， 证明如下： 所以， 所以当时： ， 当成立，所以，左边得证 所以命题得证． 【点睛】方法点睛： 1.放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了. 2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $