第二章 一元二次方程 单元试卷2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 单元试卷2025-2026学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题 1．（2025安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025福建福州市杨桥中学·期末）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4 3．（2025河北邯郸·二模）若是一元二次方程（为常数）的一个根，则这个方程的另一个根为（    ） A． B．6 C．1 D．4 4．（2025湖南益阳·临考冲刺）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 5．（2025云南·中考真题）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025浙江舟山·临考冲刺）若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 7．（2025福建福州一中·期末）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（2024安徽六安·期末）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025广东深圳·临考冲刺）若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能是 （写出一个即可）． 10．（2025四川成都·临考冲刺）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ． 11．（2025广东东莞·二模）小亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个相等的实数根，则丢掉的常数项为 ． 12．（2025福建福建省厦门双十中学·临考冲刺）已知实数k、m、， 且满足，，则的值为 13．（2025青海青海师范大学附属实验中学·临考冲刺）设、是一元二次方程的两根，则 ． 14．（2025北京北京四中·月考）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 15．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次（每天只生产一种档次的产品），第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元.每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若要使一天的总利润为1 120元，则该产品的质量档次为 . 16．（2025青海青海师范大学附属实验中学·临考冲刺）定义新运算：对于任意实数a，b，c，有．如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 三、解答题 17．（2024四川广安二中·期末）解方程 （1） （2） 18．（湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 19．（2025安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 20．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 21．（2025重庆字水中学·期中）实行垃圾分类和垃圾资源化利用，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒，干垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为万元. 求甲、乙两种智能设备单价； 垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中物资成本占总成本的，且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的倍还多元.调查发现，若燃料棒售价为每吨元，平均每天可售出吨，而当销售价每降低元，平均每天可多售出吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到元，且保证售价在每吨元基础上降价幅度不超过，求每吨燃料棒售价应为多少元？ 参考答案 1．【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，未知数最高次数为3，不符合“二次”条件，不是一元二次方程，不合题意； B．，展开得，是整式方程，仅含未知数且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； C．，含两个未知数和，不符合“一元”条件，不是一元二次方程，不合题意； D．，分母含未知数，属于分式方程，非整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 故选B． 2．【答案】A 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可. 【详解】解：移项得：x2-6x=5， 两边同时加上9得：x2-6x+9=14， 即（x-3）2=14， 故选A． 3．【答案】A 【分析】此题可先将代入方程中，求出k的值，再将k代入原方程，求方程的另一根，即可解答． 【详解】解：将代入得， 解得， ∴原方程可化为， 解得 则另一个根为． 故选A． 4．【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， 故选C． 5．【答案】A 【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为，由题意得， ， 故选A． 【技巧点拨】变化率问题中的等量关系：设增长（降低）的基准数为a，平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则b＝a(1+x)n（或b＝a(1-x)n）. 6．【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式，b2-4ac≥0，且二次项系数不为0，即可求出k的范围． 【详解】∵方程有实数根 ∴b2-4ac= 解得： 又∵原方程是一元二次方程 ∴ ∴的取值范围是且 故选D． 7．【答案】D 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得. 【详解】设花带的宽度为，则可列方程为， 故选D． 8．【答案】A 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选A． 9．【答案】1 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式，建立关于c的不等式，求出c的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：. 10．【答案】11 【分析】若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴. 11．【答案】9 【详解】解：设常数项为，由题意得， 一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即 解得， 丢掉的常数项为. 12．【答案】2 【分析】根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：，， ，为关于的方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系得：. 13．【答案】 【分析】一元二次方程的根与系数的关系为：，利用根与系数的关系得到，然后将其代入所求的代数式计算即可．| 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴， ∴. 14．【答案】或 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得，，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由题意得，，，， ， ， 解得，或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述，实数的值是或． 【关键点拨】一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 15．【答案】6 【详解】设该产品的质量档次为，则每件利润为元，一天的产量为件.由题意得,解得,（舍去）， 该产品的质量档次为6，故答案为6. 16．【答案】 【分析】根据题意得到，再由方程有两个不相等的实数根得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得. 【知识点拨】一元二次方程根的判别式，当时方程有两个不相等的实数根；当时方程有两个相等的实数根；当时方程有实数根；当时方程没有实数根. 17．【答案】（1），；（2），． 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】 （1） （2） 18．【答案】（1） （2）2 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． （2）解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 19．【答案】（1），另一个根为2 （2）见详解 【分析】（1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 【详解】（1）解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； （2），，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 20．【答案】(1)当时的长度能为，理由见解析 (2)的面积能为，理由见解析 (3)， 【分析】（1）由题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得． 【详解】（1）解：的长度能为，理由如下： 根据题意可知：，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， 当时的长度能为； （2）解：不能，理由如下： 设运动秒后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， 的中点为 ， 又，， 取的中点，连接，则， ， ， ， 解得：，． 21．【答案】（1）甲设备万元每台，乙设备万元每台.（2）每吨燃料棒售价应为元. 【分析】（1）设甲单价为万元，则乙单价为万元，再根据购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同列出分式方程并解答即可； （2）先求出每吨燃料棒成本为元，然后根据题意列出一元二次方程解答即可. 【详解】解：设甲单价为万元，则乙单价为万元，则: 解得 经检验，是所列方程的根. 答：甲设备万元每台，乙设备万元每台. 设每吨燃料棒成本为元，则其物资成本为，则: ，解得 设每吨燃料棒在元基础上降价元，则 解得 . 每吨燃料棒售价应为元. 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$