4.2 专题 几何光学问题的综合分析 讲义 -2024-2025学年高二上学期物理人教版（2019）选择性必修第一册同步考点题型练

目录 第22课时　几何光学问题的综合分析 1 考点一　平行玻璃砖 1 考点二　弧形玻璃砖 4 考点三　不规则玻璃砖 7 考点四　透光面积 10 巩固训练·提升能力 13 第22课时　几何光学问题的综合分析 考点一　平行玻璃砖 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） 如图，长方体玻璃砖的横截面为矩形，，其折射率为。一束单色光在纸面内以的入射角从空气射向边的中点，则该束单色光(    ) A. 在边的折射角为 B. 在边的入射角为 C. 不能从边射出 D. 不能从边射出 【答案】C  【解答】A.光线从点入射，设折射角为，由折射定律有， 解得，即在边的折射角为，故A错误； B.设边长，则，作出折射后的光路图如图所示 由几何关系可知光在边的入射角为，故B错误； C.光从光密到光疏发生全反射的临界角设为，有 即，而边的入射角为，且满足光密到光疏，故光在边发生全反射，即不能从边射出，故C正确； D.根据几何关系可知光在点发生全反射后到达边的点，根据光的折射的可逆性可知，光从边的点折射后的折射角为，故D错误； 故选：。 【变式训练1】（单选）如图，边长为的正方形为一棱镜的横截面，其折射率为，为边的中点。在截面所在平面，一光线自点射入棱镜，入射角为，经折射后在边的点发生反射，到达边的点。下列说法正确的是(    ) A. 段长度为 B. 光线在处的反射不是全反射 C. 光线不能从点射出 D. 光线在空气与棱镜中的传播速度比为 【答案】A  【解析】A.在点发生折射，由，折射角为，则在点的入射角和反射角为，由几何关系，A正确； B.由，则光线在处的发生全反射，B错误； C.在点的入射角为，由于，光线在发生折射和反射，光线能从点射出，C错误； D.光线在空气与棱镜中的传播速度比，D错误。 故选A。 【变式训练2】（单选）一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平行玻璃砖的上表面以入射角射入，穿过玻璃砖自下表面射出。已知该玻璃砖对红光的折射率为，设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为和。下列说法正确的是(    ) A. 玻璃砖对蓝光的折射率小于 B. 下表面射出的红光、蓝光一定平行 C. 若将增大，红光有可能在下表面发生全反射 D. 若将从增大至的过程中，始终小于 【答案】B  【解析】A.不同频率的光在同种介质中的相互作用不同，因此它们的折射率也会有所差异，一般情况下，同种介质中的折射率与光的频率呈正相关关系，即频率越高，折射率越大，由于蓝光的频率高于红光的频率，所以该玻璃砖对红光的折射率为，则玻璃砖对蓝光的折射率大于，故A错误； B.红、蓝两单色光穿过玻璃砖自下表面射出的光路图如图所示 由几何关系可知红光、蓝光在玻璃砖中上下界面与法线的夹角相同，设折射角为  ，由折射定律 可知红光满足 蓝光满足 即有 所以红光、蓝光两单色光通过平行玻璃砖后出射方向不变，只是发生一定程度的侧移，所以从下表面射出时，红光、蓝光的折射角应是相等的，即从下表面射出的红光、蓝光一定平行，故B正确； C.由于光路是可逆的，根据选项可知红光、蓝光两单色光通过平行玻璃砖后出射方向不变，只是发生一定程度的侧移，若要红光在下表面发生全反射，则上表面入射光入射角应增大至  ，即与上表面平行，故C错误； D.设折射角为  ，由折射定律 且 在玻璃砖中的时间为 因为红光的折射率小于蓝光的折射率，则红光的折射角大于蓝光的折射角，根据题意可知，红光的折射率为，可知红光的折射角 可知，两种光线在从增大至的过程中，折射角的倍都小于  ，且红光的折射角大于蓝光的折射角，则在从增大至的过程中，  始终大于  ，故D错误。 故选B。 考点二　弧形玻璃砖 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，圆心为、半径为的半圆形玻璃砖置于水平桌面上，一束蓝光从点垂直界面入射后，恰好能在玻璃砖圆形表面发生全反射，已知、间的距离为。不考虑玻璃砖圆形内表面反射的光线，以下说法正确的是(    ) A. 玻璃砖的折射率为 B. 当入射角时，从玻璃砖射出的光线与入射光线平行 C. 选择合适的入射角，光线也可以在圆形表面发生全反射 D. 在相同的情况下，红光在玻璃砖中传播的时间比蓝光长 【答案】B  【解析】A.根据题意可知，当光线垂直入射时，有 所以 故A错误； B.当入射角  时，根据折射定律有 解得 光路图如图所示 根据几何关系可知，从玻璃砖射出的光线与入射光线平行，故B正确； C.当光线垂直入射时，恰好发生全反射，选择合适的入射角    ，光线在圆弧面上的入射角均小于临界角，故光线不能在圆形表面发生全反射，故C错误； D.在  相同的情况下，若  红光和蓝光传播的距离相等，由于红光的折射率较小，传播速度较大，所以红光的传播时间比蓝光短，故D错误。 故选B。 【变式训练1】（单选）如图所示，是由透明材料制成的光学元件的横截面，圆弧是半径为的四分之一圆周，为其圆心，是边长为的正方形一单色光从点垂直于边射入光学元件，、间距离为，透明材料对该单色光的折射率为，则下列说法正确的是(    ) A. 光射在弧面上的入射角小于 B. 光射在弧面上不会发生全反射 C. 光从边射出时的折射角为 D. 若仅减小单色光的频率，则光线从边射出时的折射角增大 【答案】C  【解析】由，可得，作光路图如图所示： 设光射在弧面上的入射角为，由几何关系有，则，光射在弧面上会发生全反射，选项A、B错误； C.光射在边上时，易知入射角为，由折射定律有，代入数据解得折射角为，选项C正确 D.减小单色光的频率，透明材料对单色光的折射率变小，光在边上入射角不变，由折射定律可知折射角变小，选项D错误． 故选C。 【变式训练2】（单选）如图所示，一玻璃砖的横截面为半径为的圆弧，其左侧面涂一层特殊的材料，这种材料能够将射到它上面的光线全部吸收。一束平行光射到玻璃砖的上表面，、两边界光线入射点刚好在半径的两个端点，平行光与上表面的夹角为。已知光在此玻璃砖中的折射率为，约为，则圆弧上被照亮的部分占整个圆弧的比例约为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】 设光线在玻璃砖上表面的入射角和折射角分别为、，由题知，根据，可得：，作出光路图如图所示， 光线入射到圆弧面上，发生全反射的临界角为，，得，设射到点的光线刚好发生全反射，则能够照亮圆弧面上的范围为图中的区域，由几何关系可知，所以部分占四分之一圆弧的，故D正确，ABC错误。 故选D。 考点三　不规则玻璃砖 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）某透明物体的横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，为直角边，长度为，为一圆弧，其圆心在边的中点。此透明物体的折射率。若一束宽度与边长度相等的平行光从边垂直射入该透明物体，则光线从圆弧射出的区域弧长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】由得，透明体的临界角为，如图， ， 作出两条边缘光线，所求光线射出的区域为。从圆弧射出的边缘光线对应的入射角等于材料的临界角，恰好发生全反射，由几何关系得：圆弧长度为，故此区域的圆弧长度为：，故B正确，、、D错误。 【变式训练1】（单选）柱状光学器件横截面如图所示，右侧是以为圆心、半径为的圆，左侧是直角梯形，长为，与夹角，中点为。、两种频率的细激光束，垂直面入射，器件介质对，光的折射率分别为、。保持光的入射方向不变，入射点从向移动过程中，能在面全反射后，从面射出的光是不考虑三次反射以后的光(    ) A. 仅有光 B. 仅有光 C. 、光都可以 D. 、光都不可以 【答案】A  【解析】当，两种频率的细激光束从点垂直于面入射时，由几何关系可得激光沿直线传播到点，激光在面反射后沿圆的半径方向直线传播出去。如图所示 保持、两种频率的细激光束的入射方向不变，入射点从向移动过程中，激光沿直线传播到面发生反射，反射光线射向面，由下图可知，激光束的入射点从向移动的过程中，光线传播到面的入射角是逐渐增大的。 当入射点为点时，根据光的反射定律及几何关系可知，光线传播到面上的点，此时光线在面上的入射角最大，设为，由几何关系得 设细激光束的临界角为，设细激光束的临界角为， 根据全反射的临界角公式得 可解得两种频率的细激光束全反射的临界角有如下关系 故在入射的细激光束从向移动过程中，光能在面发生全反射并从面射出；而光在面射出，而不能发生全反射，故仅有光能从面射出。A正确，BCD错误。 故选A。 【变式训练2】（单选）如图所示，是折射率的透明介质做成的四棱柱横截面，其中，，现有一束光垂直入射到棱镜的面上，入射点从移到的过程中，光只能 A. 从、面射出 B. 从、面射出 C. 从、面射出 D. 从、面射出 【答案】D  【解析】光线从左侧垂直射入棱镜时，有反射也透射，透射方向不变。 光线射到时，由几何知识得，入射角为。该棱镜的临界角为，则 ，故有， 所以光线在面上发生了全反射。 由几何知识分析得到，光线射到面上时入射角为，发生全反射，反射光线与面垂直，所以既有光线垂直射出面，又有光线从反射，根据光路的可逆性可知，这个反射光线沿原路返回， 入射点从移到的过程中，由于光路平行，当经反射的光线经向下平移到达界面时，在界面发生全反射到达界面，并最终从界面出射， 故AD、界面始终无光出射，光只能从、面射出，D正确，均错误； 故选D。 考点四　透光面积 例题分析·考点题型 【例题1】如图所示，工匠师傅打磨一款棱长为的正立体透明玻璃砖，将玻璃砖放置在水平桌面上，在其底面中心处固定点光源，从玻璃砖正上方向下看，其上表面刚好全部被照亮，不考虑光的反射，光在真空中的传播速度，求： 玻璃砖的折射率及光在玻璃中传播的最长时间 从一个侧面看到发光区域的面积。 【答案】解：上表面恰好全部被照亮，即光从光源射到上表面四个顶点时对应的入射角为全反射的临界角，有 由几何关系有 则 光在玻璃中的速度 光在玻璃中传播的最长距离 光在玻璃中传播的最长时间。 从一个侧面看发光区域为半圆，设半圆半径为，由几何关系有，得 则从一个侧面看到发光区域的面积。  【变式训练1】如图，一折射率为的材料制作的三棱镜，其横截面为直角三角形，，一束平行光平行于边从边射入棱镜，不计光线在棱镜内的多次反射，求边与边上有光出射区域的长度的比值． 【答案】解： 如图所示，设从点入射的光线经折射后恰好射向点，光在边上的入射角为，折射角为，由折射定律有   设从范围入射的光折射后在边上的入射角为，由几何关系得   由式并代入题给数据得  ，  ，所以，从范围入射的光折射后在边上发生全反射，反射光线垂直射到边，边上全部有光射出． 设从范围入射的光折射后在边上的入射角为，如图所示．由几何关系  由式和已知条件可知  ，即从范围入射的光折射后在边上发生全反射，反射光线垂直射到边上．设边上有光线射出的部分为，由几何关系得  ，边与边有光出射区域的长度的比值为   ． 【变式训练2】如图所示为某光学器材的截面图，由两个半径均为的圆弧组成，右边圆弧的圆心恰好位于左边圆弧的边缘点，且。点存在一个向弧各方向发射光线的点光源，边有的区域有光线射出，光在真空中传播的速度为，下列说法正确的是(    ) A. 光在器材内的传播速度为 B. 弧上有区域有光线射出 C. 光从弧第一次到达边的最长传播时间为 D. 若光源采用更高频率的光，边可观察到光的区域将变大 【答案】C  【解析】作出两个在界面恰好发生全反射的光路，如图所示， A、光在面上的点恰好发生全反射，由题意可知，故，即，故该光学器材对光的折射率，因此光在器材内的传播速度，A错误； B、光在弧上的点恰好发生全反射，故BC弧上段是没有光线射出的，根据全反射的临界角条件可知，即，由几何关系可知，故BC弧上有区域有光线射出，B错误； C、结合光在介质中的路径分析可知，光从弧第一次到达边时最长的传播路径为长度，即为，故最长传播时间，C正确； D、若光源采用更高频率的光，由于光的频率增大，折射率变大，全反射的临界角变小，会导致光线出射的临界点向端移动，点向端移动，故ABC边可观察到光的区域将变小，D错误； 故选C。 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.发光二极管的发光帽由透明环氧树脂制成，它由半径为的半球体与半径为的圆柱体组成，如图为过半球球心的竖直截面图。当用平行单色光垂直于圆柱体底面入射，经过半径上点的光线恰好在圆弧面上发生全反射，已知，则该透明环氧树脂材料的折射率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】当用平行单色光垂直于圆柱体底面入射，经过半径上点的光线恰好在圆弧面上发生全反射，如图所示 由几何关系可得 解得透明体的折射率为 故选A。 2.自行车上的红色尾灯不仅是装饰品，也是夜间骑车的安全指示灯，它能把来自后面的光线反射回去。某种自行车尾灯可简化为由许多整齐排列的等腰直角棱镜折射率组成，棱镜的横截面如图所示。一平行于横截面的光线从点垂直边射入棱镜，先后经过边和边反射后，从边的点射出，则出射光线是(    ) A. 平行于边的光线 B. 平行于入射光线的光线 C. 平行于边的光线 D. 平行于边的光线 【答案】B  【解析】由题意可知光线在棱镜与空气界面发生全反射的临界角为，根据几何关系可知光线在面的入射角为，所以光线在面发生全反射，反射光线平行于，进而在面的入射角也为，也会发生全反射，最终垂直于射出棱镜，所以出射光线是平行于入射光线的光线。 故选B。 3.如图所示，半圆形玻璃砖的半径为，为圆心，为直径上的一点，为半圆的顶点，让一细激光束从点沿纸面射入，当时，光线恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射；当时，光线从玻璃砖圆形表面的顶点射出，且射出的光线与从点入射的光线平行。已知真空中的光速为，则(    ) A. 点到点的距离为 B. 玻璃砖的折射率为 C. 当光在玻璃砖中的传播时间为 D. 光在玻璃砖中发生全反射的临界角为 【答案】C  【解析】A.当  时，光线恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射；设  长度为  ，如图所示 当  时，光线从玻璃砖圆形表面的顶点  射出 由几何关系知 联立得 故A错误； B.由临界角公式知 代入得 故B错误； C.当  光在玻璃砖中的传播时间为 由折射率关系知 代入得 故C正确； D.由临界角公式知 故D错误。 故选C。 4.如图所示，图中阴影部分为一透明材料做成的柱形光学元件的横截面，该种材料对蓝光的折射率，为一半径为的四分之一圆弧，为圆弧的圆心，构成正方形。在处有一蓝色点光源，在纸面内照向弧线，若只考虑首次从圆弧直接射向、的光线，已知光在真空中速度为，则以下说法正确的是(    ) A. 蓝光从该材料射到空气发生全反射的临界角为 B. 蓝色点光源发出的光射到面上的最长时间为 C. 照射在圆弧上的入射光，有弧长为区域的光不能从、边直接射出 D. 将点光源换成紫光，则边上有光射出的长度增大 【答案】B  【解析】A.根据可知临界角为，故A错误 B.由题意可知，沿方向到达面上的光在材料中的传播距离最大，时间最长，做出如图所示光路图，由几何关系可知光从光源到面的传播距离为，材料中的传播距离为，在材料中的传播时间为，光在空气中传播的时间为，点光源发出的光射到面上的最长时间为，故B正确 C.根据，可知临界角为，，如图所示，若沿方向射到面上的光线刚好发生全反射，则，同理沿方向射到面上的光线刚好发生全反射，则，故，即照射在边上的入射光，有弧长为区域的光不能从、边直接射出，故C错误 D.将点光源换成紫光，因紫光的折射率比蓝光的大，根据，知紫光的临界角比蓝光的小，所以边上刚好发生全反射的入射点将左移，边上有光射出的长度减小，故D错误。 故选B。 5.一透明体的横截面如图所示，周围是空气，点为圆弧的圆心，，，为圆弧上的点且，现有一平行方向的单色光沿射入透明体后，经边反射从点垂直于第一次射出透明体。已知光在真空中的传播速度为。下列说法正确的是(    ) A. 光线从空气射入透明体，光的波长变长，频率不变 B. 若改用频率更高的单色光沿入射，光线可能从边第一次射出 C. 透明体的折射率 D. 光线从点传播到点的时间 【答案】D  【解析】【分析】本题考查光的折射，目的是考查学生的推理能力。正确画出光路图，根据折射定律及几何关系分析即可。 【解析】光从一种介质射入另一种介质，频率不变 由 可得，光从空气射入透明砖块，变小，由 可得波长变短，故A错误： B.频率越高的单色光的折射率越大，临界角越小，入射角不变，该单色光在点的折射角变小，根据几何关系可 知，该单色光在界面的入射角变大，该单色光在界面将发生全反射，故一定不会从界面射出，故 B 错误： C.根据题意作出光的折射图像 由题意可知光线在界面发生全反射，根据几何关系可解得 ， 根据折射率公式有 带入数据解得，透明体的折射率 故C错误 D.根据几何关系可解得 光在介质中传播的速度 则 6.如图所示，圆心为、半径为的半圆形玻璃砖置于水平桌面上，光线从点垂直界面入射后，恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射；当入射角时，光线从玻璃砖圆形表面出射后恰好与入射光平行。已知真空中的光速为，则(    ) A. 玻璃砖的折射率为 B. 之间的距离为 C. 光在玻璃砖内的传播速度为 D. 光从玻璃到空气的临界角为 【答案】B  【解析】、根据题意可知，当光线从点垂直界面入射后，恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射，如图甲所示； 当入射角时，光线从玻璃砖圆形表面出射后恰好与入射光平行，则光路如图乙所示， 对图甲根据全反射的条件可得： 对图乙根据折射定律可得： 其中 联立解得：，，临界角为：，故AD错误，B正确； C.光在玻璃砖内的传播速度为：，故C错误。 故选B。 7.某兴趣小组用单色光照射图中的三棱镜，观察光在棱镜中的传播情况。为棱镜的截面图，其为底角的等腰三角形，棱镜对单色光的折射率为。单色光射入时方向与平行，从点射入，经过折射射向的中点，不考虑光的二次反射，则(    ) A. 单色光可能从点射出面 B. 改用白光平行，从射入棱镜，若有光射出面，则紫光更靠近点 C. 若入射点向移动，光在棱镜中传播的时间不变 D. 若入射点向移动，光在面的出射点上移 【答案】C  【解析】A.  面上的入射角为，棱镜的折射率为  ，则折射率为，故  面上的折射角为， 由几何关系知，光射向  时入射角  ，设光线在  点发生全反射的临界角为  ，则有， 由  ，则光射向 时入射角满足  ，可知光线在  点发生全反射，故光不可能从  点射出  面，故A错误； B.由于紫光折射率比红光高，如图所示，射出  面的光中，紫光更靠近  点，故B错误； C.若入射点  移向棱  ，由几何关系可知，光束在棱镜中的光程没有发生变化，时间也没有发生变化，故C正确； D.若入射点  移向棱  ，光束在  面上的折射角为不发生变化，光线右移在  点右侧，光束在  面上的入射角不发生变化，光的出射点下移，故D错误。 故选C。 8.如图，一横截面积为直角三角形的玻璃砖，，，一条平行于边的光线从边上的点射入玻璃砖，经边折射后打到边上的点，已知，，，光在真空传播的速度为，下列说法错误的是(    ) A. 入射光线在点处的折射角为 B. 玻璃砖的折射率为 C. 在面上发生全反射，光不从面射出 D. 光从点入射到有光从玻璃砖射出所经历的最短时间为 【答案】D  【解答】A、在三角形中，根据余弦定理，解得，所以三角形为等腰三角形，则，，作出点法线，如图所示： 根据几何关系可得光线在点入射角为，折射角为，故A项正确 B、根据光的折射定律，玻璃砖的折射率，故B项正确 C、设发生全反射的临界角为，则，根据几何关系可得在面上的入射角为，，所以在面上发生全反射，光不从面射出，故C项正确 D、作出面上入射光线，如图所示，根据几何关系可得在面上的入射角为，，所以在面上不发生全反射，光最先从面射出，根据几何关系得：光从经历的路程为，光在玻璃砖中的速度为，所以最短时间，故D项错误。 本题选错误的，故选D。 9.一半径为的半圆柱形玻璃砖，横截面如图所示。已知玻璃的折射率为，与玻璃砖的底平面成角、且与玻璃砖横截面平行的平行光射到玻璃砖的半圆柱面上，经柱面折射后，有部分光能直接从玻璃砖底面射出，若忽略经半圆柱内表面反射后射出的光，底面透光部分的宽度为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】光路图如图所示， 由得临界角，沿半径方向射入玻璃砖的光线，即光线射到上时，根据几何知识得入射角为，恰好等于临界角，即恰好在圆心处发生全反射，光线左侧的光线经球面折射后，射到上的角大于临界角，即在上发生全反射，不能射出；光线右侧的光线射到上的角小于临界角，可以射出，如图光线与球面相切，入射角，根据折射定律得，解得，由几何关系可得，所以折射光线恰好射到点，为等边三角形，所以底面透光部分的宽度为。 10.某透明均匀介质的横截面由四分之一圆和一个直角三角形构成，如图所示，其折射率，四分之一圆的半径为，面为黑色吸光板，。一束单色平行光从界面上不同位置均匀射入透明介质，入射角，已知光在真空中的传播速度为。下列说法正确的是(    ) A. 从界面的中点处入射的光线不能从圆弧界面射出 B. 截面内圆弧有光线射出的长度为 C. 从圆弧射出光线在介质中的最长传播时间为 D. 所有光线在介质中的传播时间都大于 【答案】B  【解答】设光经折射后折射角为，则，解得，圆孤面上全反射临界角为，则，解得，如图所示，截面内圆弧有光线射出的长度为区域，其长度，故A错误，B正确； C.如图所示，做圆弧的切线且与平行，切点为时，光线在介质中的路径最长，其传播时间为，故C错误； D.在介质中的传播时间最长的光线经过的路径为紧贴传播后又紧贴圆弧传播，按照路径得出的传播时间为：，因多次全反射的路径一定小于圆弧，所以所有光线在介质中的传播时间都小于：，故D错误。 11.水面上漂浮一半径为的圆形荷叶，一条小蝌蚪从距水面的图示位置处沿水平方向以速度匀速穿过荷叶，其运动的轨迹与荷叶径向平行，已知水的折射率为，则在小蝌蚪穿过荷叶过程中，在水面之上看不到小蝌蚪的时间为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】由临界角公式：，则，看不到小蝌蚪的临界位置如图中、所示： ，则看不到蝌蚪的时间，故B正确，ACD错误。 故选B。 二、计算题。 12.用插针法测量上、下表面平行的玻璃砖的折射率。实验中用、两个大头针确定入射光路，、两个大头针确定出射光路，和分别是入射点和出射点。如图所示。测得玻璃砖厚度为；到过点的法线的距离，到玻璃砖的距离，到的距离为。 (ⅰ)求玻璃砖的折射率； (ⅱ)用另一块材料相同，但上下两表面不平行的玻璃砖继续实验，玻璃砖的截面如图所示。光从上表面入射，入射角从逐渐增大，达到时，玻璃砖下表面的出射光线恰好消失。求此玻璃砖上下表面的夹角。 【答案】解：如右图所示， 由几何知识可得： 入射角的正切值， 所以入射角的正弦值 折射角的正切值， 所以折射角的正弦值 玻璃砖的折射率 如右图所示， 由折射率公式可得： ，其中入射角 解得折射角的正弦值，则折射角 由题意可知：折射光线出玻璃砖下表面时，折射光线与法线的夹角为临界角， 据可得：临界角 由几何知识可得玻璃砖上下表面的夹角   13.将两块半径均为、完全相同的透明半圆柱体、正对放置，圆心上下错开一定距离，如图所示，用一束单色光沿半径照射半圆柱体，设圆心处入射角为，当时，右侧恰好无光线射出；当时，有光线沿的半径射出，射出位置与的圆心相比下移，不考虑多次反射，求： 半圆柱体对该单色光的折射率； 两个半圆柱体之间的距离。 【答案】光从半圆柱体射入，满足从光密介质到光疏介质，当时发生全反射，有 解得 当入射角，经两次折射从半圆柱体的半径出射，设折射角为，光路如图 由折射定律有 有几何关系有 联立解得 14.如图所示，是一直角梯形棱镜的横截面，位于截面所在平面内的一束光线由点垂直边射入。已知棱镜的折射率，，，，，光在真空中的传播速度为，求： 光线第一次射出棱镜时的折射角的大小； 光线在棱镜中传播的时间结果可以含根号。 【答案】根据折射率与临界角的关系      如图，光线从点传播到边时，入射角等于，大于临界角，所以发生全反射，光线传播到边时入射角也等于，发生全反射，当光线到达边时，入射角  ，小于临界角，发生折射。 根据折射定律  解得； 光路如图所示，根据几何关系可得 ， 光在棱镜中传播的总路程为  光在介质中的传播速度为  所以光线在棱镜中传播所需时间为 。 15.为建设“最美城市”打造宜居环境。在城市中心花园建设一人工湖，湖的形状像一个正立的碗，截面为半圆形，如图所示，半径，在湖底处放一单色灯，将湖内注满水。已知水对该单色光的折射率，光在真空中的传播速度，不计湖底对光的反射。求： 从灯发出的单色光射出水面所需的最短时间 要使在湖的周围和上方均能看到灯发出的光，灯至少需要竖直向上移动多少米 【答案】解：光在介质的传播速度 光从点射出时用时最短，则从灯发出的单色光射出水面所需的最短时间 代入数据解得： 当光射向湖的边缘点时恰好发生全反射时，如图所示： 则 由几何分析知 解得 灯至少需要竖直向上移动。  12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 目录 第22课时　几何光学问题的综合分析 1 考点一　平行玻璃砖 1 考点二　弧形玻璃砖 2 考点三　不规则玻璃砖 3 考点四　透光面积 4 巩固训练·提升能力 5 第22课时　几何光学问题的综合分析 考点一　平行玻璃砖 例题分析·考点题型 【例题1】（单选） 如图，长方体玻璃砖的横截面为矩形，，其折射率为。一束单色光在纸面内以的入射角从空气射向边的中点，则该束单色光(    ) A. 在边的折射角为 B. 在边的入射角为 C. 不能从边射出 D. 不能从边射出 【变式训练1】（单选）如图，边长为的正方形为一棱镜的横截面，其折射率为，为边的中点。在截面所在平面，一光线自点射入棱镜，入射角为，经折射后在边的点发生反射，到达边的点。下列说法正确的是(    ) A. 段长度为 B. 光线在处的反射不是全反射 C. 光线不能从点射出 D. 光线在空气与棱镜中的传播速度比为 【变式训练2】（单选）一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平行玻璃砖的上表面以入射角射入，穿过玻璃砖自下表面射出。已知该玻璃砖对红光的折射率为，设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为和。下列说法正确的是(    ) A. 玻璃砖对蓝光的折射率小于 B. 下表面射出的红光、蓝光一定平行 C. 若将增大，红光有可能在下表面发生全反射 D. 若将从增大至的过程中，始终小于 考点二　弧形玻璃砖 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）如图所示，圆心为、半径为的半圆形玻璃砖置于水平桌面上，一束蓝光从点垂直界面入射后，恰好能在玻璃砖圆形表面发生全反射，已知、间的距离为。不考虑玻璃砖圆形内表面反射的光线，以下说法正确的是(    ) A. 玻璃砖的折射率为 B. 当入射角时，从玻璃砖射出的光线与入射光线平行 C. 选择合适的入射角，光线也可以在圆形表面发生全反射 D. 在相同的情况下，红光在玻璃砖中传播的时间比蓝光长 【变式训练1】（单选）如图所示，是由透明材料制成的光学元件的横截面，圆弧是半径为的四分之一圆周，为其圆心，是边长为的正方形一单色光从点垂直于边射入光学元件，、间距离为，透明材料对该单色光的折射率为，则下列说法正确的是(    ) A. 光射在弧面上的入射角小于 B. 光射在弧面上不会发生全反射 C. 光从边射出时的折射角为 D. 若仅减小单色光的频率，则光线从边射出时的折射角增大 【变式训练2】（单选）如图所示，一玻璃砖的横截面为半径为的圆弧，其左侧面涂一层特殊的材料，这种材料能够将射到它上面的光线全部吸收。一束平行光射到玻璃砖的上表面，、两边界光线入射点刚好在半径的两个端点，平行光与上表面的夹角为。已知光在此玻璃砖中的折射率为，约为，则圆弧上被照亮的部分占整个圆弧的比例约为(    ) A. B. C. D. 考点三　不规则玻璃砖 例题分析·考点题型 【例题1】（单选）某透明物体的横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，为直角边，长度为，为一圆弧，其圆心在边的中点。此透明物体的折射率。若一束宽度与边长度相等的平行光从边垂直射入该透明物体，则光线从圆弧射出的区域弧长为(    ) A. B. C. D. 【变式训练1】（单选）柱状光学器件横截面如图所示，右侧是以为圆心、半径为的圆，左侧是直角梯形，长为，与夹角，中点为。、两种频率的细激光束，垂直面入射，器件介质对，光的折射率分别为、。保持光的入射方向不变，入射点从向移动过程中，能在面全反射后，从面射出的光是不考虑三次反射以后的光(    ) A. 仅有光 B. 仅有光 C. 、光都可以 D. 、光都不可以 【变式训练2】（单选）如图所示，是折射率的透明介质做成的四棱柱横截面，其中，，现有一束光垂直入射到棱镜的面上，入射点从移到的过程中，光只能 A. 从、面射出 B. 从、面射出 C. 从、面射出 D. 从、面射出 考点四　透光面积 例题分析·考点题型 【例题1】如图所示，工匠师傅打磨一款棱长为的正立体透明玻璃砖，将玻璃砖放置在水平桌面上，在其底面中心处固定点光源，从玻璃砖正上方向下看，其上表面刚好全部被照亮，不考虑光的反射，光在真空中的传播速度，求： 玻璃砖的折射率及光在玻璃中传播的最长时间 从一个侧面看到发光区域的面积。 【变式训练1】如图，一折射率为的材料制作的三棱镜，其横截面为直角三角形，，一束平行光平行于边从边射入棱镜，不计光线在棱镜内的多次反射，求边与边上有光出射区域的长度的比值． 【变式训练2】如图所示为某光学器材的截面图，由两个半径均为的圆弧组成，右边圆弧的圆心恰好位于左边圆弧的边缘点，且。点存在一个向弧各方向发射光线的点光源，边有的区域有光线射出，光在真空中传播的速度为，下列说法正确的是(    ) A. 光在器材内的传播速度为 B. 弧上有区域有光线射出 C. 光从弧第一次到达边的最长传播时间为 D. 若光源采用更高频率的光，边可观察到光的区域将变大 巩固训练·提升能力 一、单选题。 1.发光二极管的发光帽由透明环氧树脂制成，它由半径为的半球体与半径为的圆柱体组成，如图为过半球球心的竖直截面图。当用平行单色光垂直于圆柱体底面入射，经过半径上点的光线恰好在圆弧面上发生全反射，已知，则该透明环氧树脂材料的折射率为(    ) A. B. C. D. 2.自行车上的红色尾灯不仅是装饰品，也是夜间骑车的安全指示灯，它能把来自后面的光线反射回去。某种自行车尾灯可简化为由许多整齐排列的等腰直角棱镜折射率组成，棱镜的横截面如图所示。一平行于横截面的光线从点垂直边射入棱镜，先后经过边和边反射后，从边的点射出，则出射光线是(    ) A. 平行于边的光线 B. 平行于入射光线的光线 C. 平行于边的光线 D. 平行于边的光线 3.如图所示，半圆形玻璃砖的半径为，为圆心，为直径上的一点，为半圆的顶点，让一细激光束从点沿纸面射入，当时，光线恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射；当时，光线从玻璃砖圆形表面的顶点射出，且射出的光线与从点入射的光线平行。已知真空中的光速为，则(    ) A. 点到点的距离为 B. 玻璃砖的折射率为 C. 当光在玻璃砖中的传播时间为 D. 光在玻璃砖中发生全反射的临界角为 4.如图所示，图中阴影部分为一透明材料做成的柱形光学元件的横截面，该种材料对蓝光的折射率，为一半径为的四分之一圆弧，为圆弧的圆心，构成正方形。在处有一蓝色点光源，在纸面内照向弧线，若只考虑首次从圆弧直接射向、的光线，已知光在真空中速度为，则以下说法正确的是(    ) A. 蓝光从该材料射到空气发生全反射的临界角为 B. 蓝色点光源发出的光射到面上的最长时间为 C. 照射在圆弧上的入射光，有弧长为区域的光不能从、边直接射出 D. 将点光源换成紫光，则边上有光射出的长度增大 5.一透明体的横截面如图所示，周围是空气，点为圆弧的圆心，，，为圆弧上的点且，现有一平行方向的单色光沿射入透明体后，经边反射从点垂直于第一次射出透明体。已知光在真空中的传播速度为。下列说法正确的是(    ) A. 光线从空气射入透明体，光的波长变长，频率不变 B. 若改用频率更高的单色光沿入射，光线可能从边第一次射出 C. 透明体的折射率 D. 光线从点传播到点的时间 6.如图所示，圆心为、半径为的半圆形玻璃砖置于水平桌面上，光线从点垂直界面入射后，恰好在玻璃砖圆形表面发生全反射；当入射角时，光线从玻璃砖圆形表面出射后恰好与入射光平行。已知真空中的光速为，则(    ) A. 玻璃砖的折射率为 B. 之间的距离为 C. 光在玻璃砖内的传播速度为 D. 光从玻璃到空气的临界角为 7.某兴趣小组用单色光照射图中的三棱镜，观察光在棱镜中的传播情况。为棱镜的截面图，其为底角的等腰三角形，棱镜对单色光的折射率为。单色光射入时方向与平行，从点射入，经过折射射向的中点，不考虑光的二次反射，则(    ) A. 单色光可能从点射出面 B. 改用白光平行，从射入棱镜，若有光射出面，则紫光更靠近点 C. 若入射点向移动，光在棱镜中传播的时间不变 D. 若入射点向移动，光在面的出射点上移 8.如图，一横截面积为直角三角形的玻璃砖，，，一条平行于边的光线从边上的点射入玻璃砖，经边折射后打到边上的点，已知，，，光在真空传播的速度为，下列说法错误的是(    ) A. 入射光线在点处的折射角为 B. 玻璃砖的折射率为 C. 在面上发生全反射，光不从面射出 D. 光从点入射到有光从玻璃砖射出所经历的最短时间为 9.一半径为的半圆柱形玻璃砖，横截面如图所示。已知玻璃的折射率为，与玻璃砖的底平面成角、且与玻璃砖横截面平行的平行光射到玻璃砖的半圆柱面上，经柱面折射后，有部分光能直接从玻璃砖底面射出，若忽略经半圆柱内表面反射后射出的光，底面透光部分的宽度为(    ) A. B. C. D. 10.某透明均匀介质的横截面由四分之一圆和一个直角三角形构成，如图所示，其折射率，四分之一圆的半径为，面为黑色吸光板，。一束单色平行光从界面上不同位置均匀射入透明介质，入射角，已知光在真空中的传播速度为。下列说法正确的是(    ) A. 从界面的中点处入射的光线不能从圆弧界面射出 B. 截面内圆弧有光线射出的长度为 C. 从圆弧射出光线在介质中的最长传播时间为 D. 所有光线在介质中的传播时间都大于 11.水面上漂浮一半径为的圆形荷叶，一条小蝌蚪从距水面的图示位置处沿水平方向以速度匀速穿过荷叶，其运动的轨迹与荷叶径向平行，已知水的折射率为，则在小蝌蚪穿过荷叶过程中，在水面之上看不到小蝌蚪的时间为(    ) A. B. C. D. 二、计算题。 12.用插针法测量上、下表面平行的玻璃砖的折射率。实验中用、两个大头针确定入射光路，、两个大头针确定出射光路，和分别是入射点和出射点。如图所示。测得玻璃砖厚度为；到过点的法线的距离，到玻璃砖的距离，到的距离为。 (ⅰ)求玻璃砖的折射率； (ⅱ)用另一块材料相同，但上下两表面不平行的玻璃砖继续实验，玻璃砖的截面如图所示。光从上表面入射，入射角从逐渐增大，达到时，玻璃砖下表面的出射光线恰好消失。求此玻璃砖上下表面的夹角。 13.将两块半径均为、完全相同的透明半圆柱体、正对放置，圆心上下错开一定距离，如图所示，用一束单色光沿半径照射半圆柱体，设圆心处入射角为，当时，右侧恰好无光线射出；当时，有光线沿的半径射出，射出位置与的圆心相比下移，不考虑多次反射，求： 半圆柱体对该单色光的折射率； 两个半圆柱体之间的距离。 14.如图所示，是一直角梯形棱镜的横截面，位于截面所在平面内的一束光线由点垂直边射入。已知棱镜的折射率，，，，，光在真空中的传播速度为，求： 光线第一次射出棱镜时的折射角的大小； 光线在棱镜中传播的时间结果可以含根号。 15.为建设“最美城市”打造宜居环境。在城市中心花园建设一人工湖，湖的形状像一个正立的碗，截面为半圆形，如图所示，半径，在湖底处放一单色灯，将湖内注满水。已知水对该单色光的折射率，光在真空中的传播速度，不计湖底对光的反射。求： 从灯发出的单色光射出水面所需的最短时间 要使在湖的周围和上方均能看到灯发出的光，灯至少需要竖直向上移动多少米 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$