三角运算 小专题讲义-2026届高三数学一轮复习

I1 高三一轮复习 《三角运算》小专题 （难度：简易。适用群体：艺体生、基础生。答案参看后面小编号） （6页答案11） 知识点1: 回顾初中三角函数： （3）边角之间的关系： （4） 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 特殊三角函数值识记： 一些特殊角的三角函数值（如下表）．初学的时候要了解一下推导过程，然后要背下来。 sin cos tan 30° 45° 1 60° 典型例题： 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝　　　，sinB＝　　　，tanB＝　[endnoteRef:2]　　 [2: 答案：，，；] 2. 已知锐角A的一个三角函数值，求另外两个函数值：sinA＝([endnoteRef:3]) cosA＝([endnoteRef:4]) tanA＝([endnoteRef:5]) [3: 答案：，；] [4: 答案：，；] [5: 答案：，；] 随堂练习： 1. 已知锐角A的一个三角函数值，求另外两个函数值：sinA＝([endnoteRef:6]) cosA＝([endnoteRef:7]) tanA＝2([endnoteRef:8]) [6: 答案：，；] [7: 答案：，；] [8: 答案：，；] 典型例题： 1. 且sinα＝，则锐角α＝[endnoteRef:9]_______． [9: 答案：60°，30°，30°；] 2. 计算：cos45°＝________；计算：[endnoteRef:10] 　　 ． [10: 答案：，；] 随堂练习： 1. ＝，则锐角β＝ ， cosA＝，则锐角A＝ 。 2. 计算：([endnoteRef:11]) [11: 答案：1；] 3. 计算题：＋（[endnoteRef:12]） [12: 答案：；] 知识点2: 弧度与角度的换算： 360°＝2π rad； 180°＝π rad； 1°＝ rad；1 rad＝ 度． 角的扩展： 始边放在x正半轴，另一条边是终边。终边落在第几象限，就是第几象限角。 弧长，扇形面积： 典型例题： 1. －300°化为弧度是（ [endnoteRef:13] ） A B C D [13: 答案：B；] 2. 化成角度是（[endnoteRef:14] ） A278° B280° C288° D318° [14: 答案：C；] 3. 在坐标系上画出以下角度，并说明是第几象限角： 、、、、、、、、、、、、、、 4. 已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是[endnoteRef:15]______，扇形面积是_______. [15: 答案：24，256；] 5. （2025年冀J17衡水联考）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所在圆的面积为（[endnoteRef:16] ） A. B. C. D. [16: 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式可以求出扇形的半径，从而求出扇形对应圆的面积. 【详解】因为该扇形圆心角为，面积为25， 根据，可得， 所以. 故选： ] 随堂练习： 1. 角度制下弧度制互化：（1）________； ________；________； （2）_________；_________；_____[endnoteRef:17]____． [17: 答案：（1），，；（2），，；] 2. （2025年湘J13郴州二检）14. 下列说法正确的是（ [endnoteRef:18] ） A. 第一象限角一定是锐角 B. 若是钝角，则是第一象限角 C. 大于的角一定是钝角 D. 若是锐角，则是第二象限角 [18: 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断. 【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. ] 3. 在坐标系上画出以下角度，并说明是第几象限角： 、、、、、、、、、、、、、、、 4. 弧长及面积公式：α为角度数时，弧长l＝____________面积S＝__________， α为弧度数时，弧长l＝____________面积S＝__________（[endnoteRef:19]） [19: 答案：，，，；] 6. 圆的半径是6，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（[endnoteRef:20] ）cm2，弧长是（ ）cm。 A. B. C.π D.3π [20: 答案：B，A；] 5. 若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是(　[endnoteRef:21]　) A．4 cm² B．2 cm² C．4π cm² D．2π cm² [21: [答案]　A；] 知识点3： 任意角三角函数的定义： 设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r， 则r＝______，sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______[endnoteRef:22]. [22: 答案：　　；] 三角函数的定义域 正弦函数y＝sin x的定义域是______；余弦函数y＝cos x的定义域 是______；正切函数y＝tan x的定义域是_______[endnoteRef:23]_______． [23: 答案：R　R　{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}；] 同角三角函数的基本关系： sin²α＋cos²α＝1； tan α＝； 三角函数在不同象限的正负情况： 典型例题： 1. 如图一，已知角的终边经过点P（4.－3），求的正弦、余弦、正切函数值([endnoteRef:24]) [24: 答案：，，；] 2. （多选，2023年苏J32常州三中）已知角的终边与单位圆交于点，则（ [endnoteRef:25] ） A. B. C. D. [25: 答案：AC；] 3. 已知，，求的值．（[endnoteRef:26]） [26: 答案：，；] 4. 若，，则 ； ．（[endnoteRef:27]） [27: 答案：，；] 5. （2025年湘J13郴州二检）20. 若，则____[endnoteRef:28]____. [28: 【答案】3 【解析】 【分析】 利用同角三角函数基本关系式化简求得表达式的值. 【详解】由于，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，属于基础题. ] 随堂练习： 1. 已知角α的终边过点P（－1,2）求、、的值.（ [endnoteRef:29] ） [29: 答案：，－，－2；] 1. （2025年闽J07漳州四检）12. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则__[endnoteRef:30]________. [30: 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求解即可. 【详解】已知角 的终边过点，则 ， .计算半径 . 利用三角函数定义: 因此， 故答案为：] 2. 已知cos=，且是第四象限的角，则= ； [endnoteRef:31]； [31: 答案：，；] 3. 已知tan=,且∈，则sin的值是 ( [endnoteRef:32] ) A. B. C. D. [32: 答案：A；] 4. （2025年鲁J28泰安三模，年冀J27张家口二模）已知，则（ [endnoteRef:33]） A. B. C. D. [33: 【答案】D 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系式，将原式化简为关于的式子，然后将已知代入求解即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：D. ] 知识点4： 特殊的三角函数值： 弧度 0 角度 sin cos tan 典型例题： 1. 计算：（[endnoteRef:34]） （[endnoteRef:35]） [34: 答案：；] [35: 答案：0；] 2. （2025年鄂J07领先二联）不等式的解集为（[endnoteRef:36] ） A. B. C. D. [36: 【答案】C 【解析】 【分析】应用余弦函数的性质计算即可. 【详解】由不等式，化简得， 由余弦函数的性质得. 故选：C.] 随堂练习： 1.默写三角函数值： 弧度 0 角度 sin cos tan 3. 计算：（[endnoteRef:37]） 计算：（[endnoteRef:38]） [37: 答案：；] [38: 答案：；] 4. （2025年湘J13郴州二检）的值是（ [endnoteRef:39] ） A. 1 B. C. D. [39: 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用余弦的倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. ] 5. （2025年闽J12福鼎模拟）在中，“”是“”的( [endnoteRef:40] ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [40: 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断． 【详解】在中，，则或， ∴在中，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． ] 6. （2025年鲁J02一联）已知时，当时，[endnoteRef:41]________． [41: 【答案】或. 【解析】 【分析】根据三角函数的性质即可得到答案. 【详解】因为，，则或. 故答案为：或. ] 知识点5： 诱导公式：记住六个公式： 1、 ，，； 2、 ，，； 其他套口诀：奇变偶不变，符号看象限 （，） 要变： 等 不变： 等 三角函数化简： 1、 负角变正角： 有负号的先处理负号，运用前三个公式： 2、 大角变小角： 一般如果角度大于360度（），那么就把该角度减去360度，一直减至最小正角。或者把该角度除以360度，取余数；运用第二组公式。 3、 角度大于90度，则利用诱导公式变成90度以内的正角。运用第三组公式。 4、 最后代入特殊角值即可； 典型例题5： 1. 计算： [endnoteRef:42]； [endnoteRef:43]； [endnoteRef:44]； [42: ] [43: ] [44: ] [endnoteRef:45]； [endnoteRef:46]； [endnoteRef:47]； [45: ] [46: ] [47: ] 随堂练习5： 1. ； ； ； 2．sin ； cos ； tan ； 3．sin ； cos ； tan ； 4．sin ； cos ； tan ； 5．sin ； cos ；tan ； 6．sin ；cos ；tan ； 7．sin ；cos ；tan ； 8．sin ；cos ；tan ； 典型例题5： 2. 计算：（1）sin300°＝（ [endnoteRef:48] ） （2）tan225°＝（ [endnoteRef:49] ） [48: 答案：；] [49: 答案：1；] 3. 计算：式子的值是（ [endnoteRef:50] ） [50: 答案：1；] 4. （2025年鲁J02一联）11. 已知，且是第二象限角，则等于（ [endnoteRef:51] ） A. B. C. D. [51: 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系得到方程组，解出即可. 【详解】，则， 又因为，且第二象限角，所以. 故选：C. ] 随堂练习5： 2. 计算： （1）tan(－315°)＝（ [endnoteRef:52] ） （2）（[endnoteRef:53] ） （3） （ [endnoteRef:54] ） [52: 答案：1；] [53: 答案：；] [54: 答案：；] 3. 计算：式子的值等于（     [endnoteRef:55]  ）． [55: 答案：； ] 4. （2025年粤Z15）8. 已知，则（ [endnoteRef:56] ） A. B. C. D. [56: 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可得的值. 【详解】由诱导公式可得. 故选：A. ] 课后练习： 1. （2025年鲁J36泰安四模）3. 已知动点A从出发，沿单位圆顺时针运动，经过后落在角α的终边上，则（[endnoteRef:57] ） A. B. C. D. [57: 【答案】A 【解析】 【分析】先根据动点运动的弧长求出角，再根据三角函数的定义求出的值. 【详解】单位圆的周长（为半径），因为是单位圆，所以，则. 动点沿单位圆顺时针运动，经过，，即动点顺时针旋转了圈又圈. 一圈为，那么圈对应的角度为. 因为是顺时针旋转，所以. 根据三角函数定义，. 故选：A. ] 2. 若，则（ [endnoteRef:58] ） A. B. C. D. [58: 【答案】A 【解析】 【分析】确定出的范围，从而可求得答案 【详解】因为， 所以为第一象限的角， 所以， 故选：A] 3. （2025年鲁J03德州一检）2. 已知集合，，则（ [endnoteRef:59] ） A. B. C. D. [59: 【答案】D 【解析】 【分析】先求出A，再根据交集的定义计算即可. 【详解】由题意 ，； 故选：D. ] 4. （2025年冀J01沧州一中二模）3. 在中，“”是“”的（ [endnoteRef:60] ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 [60: 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件. 【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，， 由，可得，，由正弦定理可得. 因此，“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题. ] 5. （2025年闽J09优质二检）20. 若，则的值为[endnoteRef:61]________ [61: 【答案】3 【解析】 【分析】利用正切定义即可得到答案. 【详解】由题意得显然，则，即. 故答案为：. ] 6. （2025年浙J19金华十校）点绕原点按逆时针方向旋转到达点，则点的坐标为（ [endnoteRef:62] ） A. B. C. D. [62: 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义，结合诱导公式求解. 【详解】以原点为角的顶点，轴的非负半轴为角的始边，令角的终边过点， 则角的终边过点，且， 于是，， ， 所以点的坐标为. 故选：B ] 7. （多选，2025年通J14学易）9．下面命题中是假命题的有（[endnoteRef:63]   ） A．中，若，则 B．若，则是第一象限角或第二象限角 C．若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为 D．函数的最小值为 [63: 9.【答案】BD 【解析】对于A选项，中，若，则，所以，，A对； 对于B选项，若，则是第一象限角或第二象限角或角的终边在轴的非负半轴，B错； 对于C选项，若一个扇形所在圆的半径为，其圆心角为弧度，则扇形的周长为，C对； 对于D选项，若，则，D错. 故选：BD. ] ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$