16.1.2　幂的乘方与积的乘方 课件 2025—2026学年人教版数学八年级上册

16．1　幂的运算 16.1.2　幂的乘方与积的乘方 第十六章　整式的乘法 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 1 复习回顾 1．an的意义是____个a ____. 2．同底数幂相乘，底数____，指数______，即am·an＝____（m，n都是正整数）． 3．逆用：am＋n＝_____（m，n都是正整数）． n 相乘 不变 相加 am＋n am·an 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 合作探究 教材P99　探究 根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) (32)3 = 32×32×32 = 3( )； (2) (a2)3 =____________= a( )； (3) (am)3 =_________= a( ). 6 a2×a2×a2 6 探 究 am·am·am 3m 2×3 = 6 2×3 = 6 3·m = 3m 底数不变，指数相乘。 知识点1 幂的乘方 幂的乘方 (1)x3表示什么意义？如果将x换成32，那么(32)3表示什么意义？ 提出问题： (2)你会计算(32)3吗？怎么计算？能否将32看成一个整体，根据乘方的意义转化成指数的乘法运算？ (3)利用推导方法计算(a2)3，(am)3； (4)通过观察上面的计算结果，你能发现计算前后，底数和指数的变化规律吗？你能用一句简洁的语言表示出来吗？ (am)n 能将上面发现的幂的乘方规律推导出来吗？ 一般地，对于任意底数 a 与任意正整数 m，n， 底数不变指数相乘 = am·am·····am ( )个am = am+m+···+m ( )个( ) = amn n n m 因此 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. (am)n = amn (m、n都是正整数) [(am)n ]p = [amn]p = amnp 即多重乘方可以重复运用上述法则： [(am)n ]p= amnp (m、n、p都是正整数) 教材P100探究 知识点2 积的乘方 下面两题有什么特点？ (1) (ab)2 ； (2) (ab)3. 底数都是积的形式 积的乘方 (1)怎样计算(ab)2和(ab)3？能否将ab看作一个整体，根据乘方的意义转化成同底数幂的乘法？ 提出问题： (2)在计算(ab)2和(ab)3的过程中运用到哪些运算律？每一步的依据是什么？ (3)观察上面计算出的结果，能得出什么规律？ (4)如果将指数改为n，上面的规律还存在吗？对n的取值有什么要求呢？ 填空，下面的运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？ (1) (ab)2 = ___________ = ___________ = a( )b( ) ； (2) (ab)3 =____________= ____________= a( )b( ) . 探 究 (ab)·(ab) (a·a)·(b·b) 2 2 (ab)·(ab) ·(ab) (a·a·a)·(b·b·b) 3 3 乘方的意义 乘法交换律、结合律 乘方的意义 (ab)n =？ (ab)n 一般地，对于任意底数 a，b与任意正整数 n， = (ab)·(ab)····· (ab) ( )个ab = (a·a·····a)·(b·b·····b) ( )个( ) = anbn n n a ( )个( ) n b 能将上面发现的积的乘方规律推导出来吗？ 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (ab)n = anbn (n是正整数) (abc)n = (ab)ncn = anbncn 三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质. 幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变， 指数相乘.即(am)n＝ amn （m，n都是正整数）． 归纳总结 积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)n＝ anbn （n是正整数）． 例题与练习 例1　计算：　 (3) (am)2 ； (1) (103)5； (2) (a4)4； (4) – (x4)3 . 解：(1) (103)5 = 103×5 = 1015 (2) (a4)4 (3) (am)2 (4) – (x4)3 = a4×4 = a16 = am×2 = – x4×3 = – x12 = a2m – (x4)3 、– (x3)4 、(–x4)3 、(–x3)4 的结果一样吗？ 例2　计算： = (–2)4 ·(x3)·y4 = x2 ·(y2)2 = (–5)3 ·b3 = 23·a3 （1）(2a)3； （2）(–5b)3； （3）(xy2)2； （4）(–2x3y)4. 解：（1）(2a)3 （2）(–5b)3 （3）(xy2)2 （4）(–2x3y)4 = 16x12y4 = x2y4 = –125b3 = 8a3 例3　计算：(1)－[(a－b)2]3； (2)(x2m-2)4·(xm+1)2； (3)5(p3)4·(－p2)3＋2[(－p)2]4·(－p5)2. 解：(1)原式＝－(a－b)2×3 (2)原式＝x4(2m-2)·x2(m+1) ＝－(a－b)6； (3)原式＝5p12·(－p6)＋2p8·p10 ＝x8m-8·x2m+2 ＝x8m-8+2m+2 ＝x10m-6； ＝－5p18＋2p18 ＝－3p18. 例4　已知x2m＝5，求x6m－5的值． 解：∵x2m＝5， ∴x6m－5＝(x2m)3－5 ＝×53－5 ＝20. 随堂检测 1. 下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （3）(–2a)2 = –4a2. （1）(a5)2 = a7； （2）(ab2)3 = ab6 ； × × × a10 a3b6 4a2 2. 计算： （1） (103)3； （2） (x3)2； = 109 = x6 = –x5m = a6 · a5 （3） -(xm)5； （4）(a2)3 · a5. = a11 3. 计算 （1） (ab)4； （2）(–3×102)3； = a4b4 = (–3)3×(102)3 = –9×106 = (2ab2)4 = 16a4b8 （3） （4）(2ab2)3·2ab2. =（-）³³（ ）³ =-³ 4．下列计算正确的是 ( ) A．a3－a2＝a B．a2·a3＝a6 C．(3a)3＝9a2 D．(a2)2＝a4 5．下列各式计算正确的是( ) A．(－a2)3＝－a5 B．a3·a5＝a15 C．(－a2b3)2＝a4b6 D．3a2－2a2＝1 D C 6．如果(9n)2＝312，那么n的值为 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 7．(1)若n为正整数，且x2n＝3，则(3x3n)2＝____； 　(2)若(x3)5＝215×315，则x＝___. B 243 6 课堂小结 幂的乘方 法则 公式 积的乘方 积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 法则 公式 (ab)n = anbn (n是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘. (am)n = amn (m、n都是正整数) $$