1-4基本不等式考点突破讲义-2026届高三数学一轮复习

《2026届高考一轮复习 数学考点突破》1-4 基本不等式 目录导读 五年新高考命题解读 1 核心知识 考点梳理 1 真题感悟 明察考情 2 考点题型 疑难解惑 2 考点1 直接法求最值(直接利用基本不等式) 2 考点2 配凑法求最值 3 考点3 常数代换法求最值 4 考点4 构造不等式法求最值 5 考点5 基本不等式与其它知识综合 6 五年新高考命题解读 考点 新Ⅰ卷、新Ⅱ卷五年考情(2021-2025) 命题解读 基本不等式 2022新Ⅱ卷、2021新Ⅰ卷、北京卷 基本不等式作为工具，与其它知识结合，求最值或取值范围。 核心知识 考点梳理 一、基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 其中：叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 二、几个常用的不等式 以上不等式均当且仅当时等号成立. 【拓展】常用不等式链：；当且仅当a＝b时，等号成立． 三、利用基本不等式求最值 基本不等式与最值：已知x，y都是正数， 1.如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.(积定和有最小) 2.如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.(和定积有最大) 真题感悟 明察考情 1.(2022新高考2卷T12)(多选题)若x，y满足，则(    ) A． B． C． D． 2．(2021新Ⅰ卷T5)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为(    ) A．13 B．12 C．9 D．6 考点题型 疑难解惑 考点1 直接法求最值(直接利用基本不等式) 题型精讲 方法探究 【例1-1】(2024高三上河南信阳阶段练习)已知，，且，则的最大值为(    ) A．0 B．1 C．-1 D．2 【例1-2】(2025四川眉山一诊)已知，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-3】(2025山东菏泽二模)已知，，且，则的最大值为(    ) A． B．1 C．4 D．16 【例1-4】(2025四川眉山东坡一诊)已知，，，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 方法提炼 思维升华 利用基本不等式求最值的条件：“一正”“二定”“三相等”； 一正：使用基本不等式的前提：； 二定：不等式的一边转换为定值； 三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立；这也是最容易发生错误的地方.　 如：等； 举一反三 熟能生巧 1.已知正实数a、b满足，则的最大值为 ． 2.(2024全国模拟预测)若，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 3.(2024高三上陕西西安阶段练习)函数的最小值为(    ) A．2 B．5 C．6 D．7 4.(重庆西南大学附中2024届高考全真模拟)设且，则的最大值为 5.(2024广东华南师大附中综合测试)设实数x、y、z、t满足，则的最小值为 . 考点2 配凑法求最值 题型精讲 方法探究 【例2-1】设，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为(　　) A. B．4 C. D．9 【例2-2】(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T13)已知，则的最小值为______，此时等于______. 【例2-3】(2024高三上江苏连云港阶段练习)若，，且，则的最小值为(    ) A． B． C．6 D． 【例2-4】(2025届福建省莆田一中高三上返校考试T14)实数满足，则的最大值为_____. 方法提炼 思维升华 要先配凑出积为常数(或者和为常数)的形式，再利用基本不等式．常见配凑的式子结构： 1.对勾型结构：； 2.对勾添加常数型：对于如：的式子，设，则化为： 举一反三 熟能生巧 1.已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A. B. C．4 D．6 2.若x<，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 3.(2023北京东城一模)已知，则的最小值为(    ) A．－2 B．0 C．1 D． 4.已知x<0，则的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2＋1 D．2－1 5.已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为(　　) A．2 B．1 C. D. 6.(2023重庆一模)已知a，b为非负实数，且，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 7.已知，且，则的最小值为_________． 考点3 常数代换法求最值 题型精讲 方法探究 【例3-1】(2025四川仁寿一模)已知，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【例3-2】(2025届山东省部分学校高三上开学联考T5)两正数x，y满足，且有解，则实数m取值范围是( ) A. B. 或 C. D. 或 【例3-3】(2025届湖南省岳阳县一中高三上入学考试T13) 已知，且恒成立，则实数的取值范围为________． 方法提炼 思维升华 条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是常数代换法；三是消元法． 常数代换法关键是通过变形，构造和式为定值或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值． 应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 形如：的式子，两边同除以得：，即可用常数代换法。 举一反三 熟能生巧 1.(2024高三上湖北武汉期末)已知正数，满足，则(    ) A． B． C． D． 2.(2024高三上江苏连云港阶段练习)若，，且，则的最小值为(    ) A． B． C．6 D． 3.已知a>，b>，且2a＋b＝2，则的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 4.(2025山东省齐鲁名师联盟高三上第一次诊断T3) 若正数，满足，则的最小值为( ) A. 2 B. C. 3 D. 5.(2025届十五校教育集团鄂豫皖五十三校高三8月联考T6)实数a，b满足，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.(2022·四川乐山·一模)已知，，且，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 7.(2025·河南新乡·二模)随机变量，，则的最大值为(    ) A．9 B． C． D． 8.（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 考点4 构造不等式法求最值 题型精讲 方法探究 【例4-1】(2025·四川绵阳·一模)已知，且满足，则的最小值为(   ) A．3 B． C．6 D．9 【例4-2】已知正数满足，则的最大值是 . 方法提炼 思维升华 已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可把“和”化为“积”，或者把“积”化为“和”，从而把原式转化为不等式再求最值． 举一反三 熟能生巧 1.若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 2.若正数x，y满足x＋y－2xy＝0，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．1 C．5 D．2 3.若实数满足，则的最小值为 A． B．2 C． D．4 4.(多选)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则(　　) A．xy的最大值为 B.的最大值为 C.的最小值为4 D．x2＋y2的最小值为 考点5 基本不等式与其它知识综合 题型精讲 方法探究 【例5-1】(2025届四川省自贡一中二模T5)设，，则下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【例5-2】(多选)(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T11)已知，且，则( ) A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【例5-3】(多选)(2025届吉林大学附中高三一模T10)设正实数满足，则下列错误的是( ) A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【例5-4】(2025届四川省成都市石室成飞中学高三上8月月考T10)已知正数，满足，则下列选项正确的是( ) A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 举一反三 熟能生巧 1.(2025届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统一考试T5)已知圆关于直线对称，则的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 2.下列结论正确的是( ) A．当且时， B．当时，的最小值为4 C．当时， D．当时， 2.(多选)(2025届陕西省旬邑县中高三8月阶段考试T10)已知正实数满足，且恒成立，则的取值可以是( ) A. 3 B. C. D. 1 3.(2025届四川省成都市蓉城名校联考高三上开学联考T10) 为正实数，，则( ) A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最小值为2 4.(2025届福建省漳州市高三第一次教学质量检测T13)已知数列的前项和，当取最小值时，___________. 5.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T13) 表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______． 6.函数y＝x＋(x≥2)取得最小值时的x值为 ． 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《2026届高考一轮复习 数学考点突破》1-4 基本不等式 目录导读 五年新高考命题解读 1 核心知识 考点梳理 1 真题感悟 明察考情 2 考点题型 疑难解惑 2 考点1 直接法求最值(直接利用基本不等式) 2 考点2 配凑法求最值 4 考点3 常数代换法求最值 6 考点4 构造不等式法求最值 9 考点5 基本不等式与其它知识综合 10 五年新高考命题解读 考点 新Ⅰ卷、新Ⅱ卷五年考情(2021-2025) 命题解读 基本不等式 2022新Ⅱ卷、2021新Ⅰ卷、北京卷 基本不等式作为工具，与其它知识结合，求最值或取值范围。 核心知识 考点梳理 一、基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 其中：叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 二、几个常用的不等式 以上不等式均当且仅当时等号成立. 【拓展】常用不等式链：；当且仅当a＝b时，等号成立． 三、利用基本不等式求最值 基本不等式与最值：已知x，y都是正数， 1.如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.(积定和有最小) 2.如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.(和定积有最大) 真题感悟 明察考情 1.(2022新高考2卷T12)(多选题)若x，y满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】BC【解】条件变形为：，解得， 当且仅当时，；当且仅当时，；所以A错误，B正确； 条件变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 条件变形可得，设，所以， 因此， 所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC． 2．(2021新Ⅰ卷T5)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为(    ) A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C【分析】椭圆定义得，由即可得到答案． 【解】由题，，则， 所以(当且仅当时，等号成立)．故选：C． 考点题型 疑难解惑 考点1 直接法求最值(直接利用基本不等式) 题型精讲 方法探究 【例1-1】(2024高三上河南信阳阶段练习)已知，，且，则的最大值为(    ) A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】B【分析】根据基本不等式，求解即可得出答案. 【解】因为，，则由基本不等式可得， 所以有，当且仅当时等号成立.故选：B. 【例1-2】(2025四川眉山一诊)已知，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案． 【解】若，，则，充分性成立； 若，可能，，此时，所以必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件．故选：A． 【例1-3】(2025山东菏泽二模)已知，，且，则的最大值为(    ) A． B．1 C．4 D．16 【答案】B【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解. 【解】，当且仅当，即时取等号，故选：B 【例1-4】(2025四川眉山东坡一诊)已知，，，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B【分析】由换底公式和基本不等式即可求解. 【解】由知,结合，以及换底公式可知， ， 当且仅当，即，即时取等号，故的最小值为，故选：B. 方法提炼 思维升华 利用基本不等式求最值的条件：“一正”“二定”“三相等”； 一正：使用基本不等式的前提：； 二定：不等式的一边转换为定值； 三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立；这也是最容易发生错误的地方.　 如：等； 举一反三 熟能生巧 1.已知正实数a、b满足，则的最大值为 ． 【答案】【分析】由，代入即可得出答案. 【解】，当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为.故答案为： 2.(2024全国模拟预测)若，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【解】， 当且仅当且，即时等号成立，故选：B. 3.(2024高三上陕西西安阶段练习)函数的最小值为(    ) A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D【分析】由基本不等式即可求解. 【解】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立，故选:D 4.(重庆西南大学附中2024届高考全真模拟)设且，则的最大值为 【答案】【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解. 【解】且，则，解得：，当且仅当，时等号成立， 所以，则，即的最大值为；故答案为： 5.(2024广东华南师大附中综合测试)设实数x、y、z、t满足，则的最小值为 . 【答案】【分析】分母最大分子最小时分式的值最小；得，结合基本不等式和即可解． 【解】因为，所以,所以， 当且仅当即时等号成立，即的最小值为.故答案为：. 考点2 配凑法求最值 题型精讲 方法探究 【例2-1】设，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为(　　) A. B．4 C. D．9 【答案】C【解】y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·＝. 当且仅当2x＝3－2x，即时取等号，∴当时，ymax＝. 【例2-2】(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T13)已知，则的最小值为______，此时等于______. 【答案】21；11【分析】利用基本不等式(配凑法)求得正确答案. 【解】由于，所以，所以， 当且仅当时等号成立；故答案为：； 【例2-3】(2024高三上江苏连云港阶段练习)若，，且，则的最小值为(    ) A． B． C．6 D． 【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解】，，由得，故， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：A 【例2-4】(2025届福建省莆田一中高三上返校考试T14)实数满足，则的最大值为_____. 【答案】【分析】利用基本不等式可求得，通过配凑即可得出结果. 【解】由可得，可得； 而，所以，解得； 当且仅当，也即时，上式右边等号成立；此时的最大值为；故答案为：. 方法提炼 思维升华 要先配凑出积为常数(或者和为常数)的形式，再利用基本不等式．常见配凑的式子结构： 1.对勾型结构：； 2.对勾添加常数型：对于如：的式子，设，则化为： 举一反三 熟能生巧 1.已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A. B. C．4 D．6 【答案】D【解】∵x>2，∴x－2>0，∴y＝x＋＝(x－2)＋＋2≥＋2＝6 (当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号)，∴y＝x＋(x>2)的最小值为6. 2.若x<，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 【答案】C【解】∵x<，∴3x－2<0， f(x)＝3x－2＋＋3 当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”． 3.(2023北京东城一模)已知，则的最小值为(    ) A．－2 B．0 C．1 D． 【答案】B【解】∵，∴，当且仅当即时等号成立．故选：B． 4.已知x<0，则的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2＋1 D．2－1 【答案】D【解】因为x<0，则1－x>1，－1≥2－1＝2－1， 当且仅当，即x＝1－时取等号，所以的最小值为2－1. 5.已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为(　　) A．2 B．1 C. D. 【答案】C【解】因为正数x，y满足x＋2y＝2，所以xy＝x·≤＝， 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时取等号，所以xy的最大值为. 6.(2023重庆一模)已知a，b为非负实数，且，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解】，且,为非负实数，，则 则，解得，，解得， ， 当且仅当即，即时等号成立，故，故选：B. 7.已知，且，则的最小值为_________． 【答案】【解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立．故答案为： 考点3 常数代换法求最值 题型精讲 方法探究 【例3-1】(2025四川仁寿一模)已知，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】由题意知，然后根据基本不等式(常数代换法)即可求解. 【解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A. 【例3-2】(2025届山东省部分学校高三上开学联考T5)两正数x，y满足，且有解，则实数m取值范围是( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B【分析】求得的最小值，把有解，转化为不等式，即可求解. 【解】由已知得，则， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或；故选：B. 【例3-3】(2025届湖南省岳阳县一中高三上入学考试T13) 已知，且恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】【分析】基本不等式求最小值，由恒成立转化为一元二次不等式即可求解. 【解】因为，所以，所以， 因为， 当且仅当，即，即时取得等号，所以有最小值为3， 因为恒成立，所以，解得，故答案为: . 方法提炼 思维升华 条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是常数代换法；三是消元法． 常数代换法关键是通过变形，构造和式为定值或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值． 应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 形如：的式子，两边同除以得：，即可用常数代换法。 举一反三 熟能生巧 1.(2024高三上湖北武汉期末)已知正数，满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据基本不等式直接计算即可. 【解】由题意得，，则， ，即， 当且仅当，即时等号成立.故选：C 2.(2024高三上江苏连云港阶段练习)若，，且，则的最小值为(    ) A． B． C．6 D． 【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解】，，由得，故， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：A 3.已知a>，b>，且2a＋b＝2，则的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 【答案】C【解】由已知得:(4a－1)＋(2b－1)＝2， 则＝[(4a－1)＋(2b－1)]·＝≥2， 当且仅当，即a＝，b＝1时，等号成立． 4.(2025山东省齐鲁名师联盟高三上第一次诊断T3) 若正数，满足，则的最小值为( ) A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【解】由正数，满足，得， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故选：B 5.(2025届十五校教育集团鄂豫皖五十三校高三8月联考T6)实数a，b满足，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C【分析】根据题意结合和运算求解. 【解】因为，即，且， 即，解得， 当且仅当时，，当且仅当时，， 所以的取值范围是；故选：C. 6.(2022·四川乐山·一模)已知，，且，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值. 【解】由题可知，乘“”得， 当且仅当时，取等号，则的最小值为；故选：A 7.(2025·河南新乡·二模)随机变量，，则的最大值为(    ) A．9 B． C． D． 【答案】D【分析】利用正态分布的对称性得到，再用代换1法求最大值即可. 【解】因为，，所以.可得. 因为，所以，当且仅当，即，时，取等号， 即的最大值为.故选：D. 8.（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 【答案】【分析】是的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故答案为：. 考点4 构造不等式法求最值 题型精讲 方法探究 【例4-1】(2025·四川绵阳·一模)已知，且满足，则的最小值为(   ) A．3 B． C．6 D．9 【答案】D【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得的范围，从而求得的最小值. 【解】，所以， ，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：D 【例4-2】已知正数满足，则的最大值是 . 【答案】【分析】令，则，，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案. 【解】令，因为，，所以；则， 所以，当且仅当即时等号成立. 所以，即，解得，故答案为：. 方法提炼 思维升华 已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可把“和”化为“积”，或者把“积”化为“和”，从而把原式转化为不等式再求最值． 举一反三 熟能生巧 1.若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A【解】因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，整理可得ab－2－3≥0，解得≥3或≤－1(舍去)． 所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9. 2.若正数x，y满足x＋y－2xy＝0，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．1 C．5 D．2 【答案】D【解】方法一　由x＋y－2xy＝0，得x＋y＝2xy， 又x>0，y>0，xy≤，所以x＋y≤，解得x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立． 方法二　由已知得x＋y＝2xy，所以＋＝2，则x＋y＝(x＋y)＝＝2， 当且仅当即时，等号成立． 3.若实数满足，则的最小值为 A． B．2 C． D．4 【答案】C【解】，(当且仅当时取等号)， 所以的最小值为，故选C. 4.(多选)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则(　　) A．xy的最大值为 B.的最大值为 C.的最小值为4 D．x2＋y2的最小值为 【答案】AD【解】(当且仅当,即时取等号)，A正确； 当x＝，y＝时，，故B错误； ＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当时取等号)，故C错误； x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝5＋，当x＝，y＝时，x2＋y2取最小值，故D正确． 考点5 基本不等式与其它知识综合 题型精讲 方法探究 【例5-1】(2025届四川省自贡一中二模T5)设，，则下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】B【分析】由不等式性质判断A，B；由基本不等式判断C；由单调性判断D. 【解】对于A，若，则，则，A正确； 对于B，若，则，则，B不正确； 对于C，若，则，C正确； 对于D，在上递增，由已知得:，即，所以，D正确. 故选：B. 【例5-2】(多选)(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T11)已知，且，则( ) A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的常数代换法得出D. 【解】对于A，，当时，等号成立，即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，，所以，故B正确； 对于C，，即；当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵，当时，等号成立，故D错误．故选：BC． 【例5-3】(多选)(2025届吉林大学附中高三一模T10)设正实数满足，则下列错误的是( ) A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【解】对于A，因为正实数，满足，所以， 当且仅当且，即，时等号成立，故A正确； 对于B，，则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确；故选：ABD. 【例5-4】(2025届四川省成都市石室成飞中学高三上8月月考T10)已知正数，满足，则下列选项正确的是( ) A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】AB【分析】由乘“1”法结合基本不等式可判断A；由基本不等式可判断B； 把式中由替换，再结合二次函数的性质可判断C、D； 【解】对于A：因为正数，满足，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：，所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：，即，且， ，当时，最小值为，故C错误； 对于D：由C可得，当时，最大值为，故D错误；故选：AB. 举一反三 熟能生巧 1.(2025届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统一考试T5)已知圆关于直线对称，则的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】D【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【解】因为圆关于直线对称，所以直线过圆心， 即，则；因为，且，所以， 所以，当且仅当即取等号，则的最小值是4.故选：D. 2.下列结论正确的是( ) A．当且时， B．当时，的最小值为4 C．当时， D．当时， 【答案】C【分析】对AD，举反例判断即可；对B，根据基本不等式成立的条件判断即可；对C，根据基本不等式判断即可. 【解】对A，当时，，故A错误； 对B，当时，，当且仅当，即时取等号， 但当时，，故B错误； 对C，当时，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对D，当时，故D错误.故选：C 2.(多选)(2025届陕西省旬邑县中高三8月阶段考试T10)已知正实数满足，且恒成立，则的取值可以是( ) A. 3 B. C. D. 1 【答案】CD【分析】先得到最大值，然后利用基本不等式求得的最大值，得到，最后利用，得到，选出符合题意的选项即可. 【解】由题可知，恒成立，故最大值，而， 由基本不等式，知，当且仅当时等号成立，故最大值为，所以 由题得，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即；故CD符合题意；故选：CD 3.(2025届四川省成都市蓉城名校联考高三上开学联考T10) 为正实数，，则( ) A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最小值为2 【答案】BCD【分析】把转化为，利用，可求的最小值； 把转化为，利用“1”的妙用求的最小值； 利用求的最小值；利用可求的最小值. 【解】对A：因为为正实数，且，所以， 因为，所以，故A错误. 对B：因为为正实数，且，所以(). 所以 (当且仅当，即时取“”)，故B正确； 对C：因为(都是当且仅当时取“”)，故C正确； 对D：因为，故，所以 (当且仅当时取“”)，故D正确；故选：BCD 4.(2025届福建省漳州市高三第一次教学质量检测T13)已知数列的前项和，当取最小值时，___________. 【答案】3【分析】根据求得，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果. 【解】因为，则当时，， 又当时，，满足，故； 则；当且仅当:即时取等号； 故当时，取得最小值；故答案为：. 5.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T13) 表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______． 【答案】2【分析】设，因，可得，借助于基本不等式可得，验证等号成立的条件，即得. 【解】设，则，，， 因，则得．又因，所以， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2；故答案：2. 6.函数y＝x＋(x≥2)取得最小值时的x值为 ． 【答案】2【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【解】依题意，y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值．故答案为：2. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 1 页 共 7 页 《2026 届高考一轮复习 数学考点突破》1-4 基本不等式 目录导读 五年新高考命题解读 ...................................................................................................................................................... 1 核心知识 考点梳理 ........................................................................................................................................................ 1 真题感悟 明察考情 ........................................................................................................................................................ 2 考点题型 疑难解惑 ........................................................................................................................................................ 2 考点 1 直接法求最值(直接利用基本不等式) ...................................................................................................2 考点 2 配凑法求最值 ........................................................................................................................................... 3 考点 3 常数代换法求最值 ................................................................................................................................... 4 考点 4 构造不等式法求最值 ............................................................................................................................... 5 考点 5 基本不等式与其它知识综合 ................................................................................................................... 6 五年新高考命题解读 考点 新Ⅰ卷、新Ⅱ卷五年考情(2021-2025) 命题解读 基本不等式 2022新Ⅱ卷、2021 新Ⅰ卷、北京卷 基本不等式作为工具，与其它知识结合，求最值或取值范围。 核心知识 考点梳理 一、基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式: � + � 2 ≥ ��(� > 0, � > 0)，当且仅当� = �时取等号， 其中： �+� 2 叫做正数 a，b的算术平均数， ab叫做正数 a，b的几何平均数． 二、几个常用的不等式 �2 + b2 ≥ 2�b(�, � ∈ �), � � + � � ≥ 2(�� > 0), �� ≤ ( �+� 2 )2 ≤ � 2+�2 2 (�, � ∈ �), 以上不等式均当且仅当� = �时等号成立. 【拓展】常用不等式链： 2 1 �+ 1 � ≤ �� ≤ �+� 2 ≤ � 2+�2 2 (� > 0, � > 0)；当且仅当 a＝b时，等号成立． 三、利用基本不等式求最值 基本不等式与最值：已知 x，y都是正数， 1.如果积 xy等于定值 P，那么当 x＝y时，和 x＋y有最小值 2 P.(积定和有最小) 2.如果和 x＋y等于定值 S，那么当 x＝y时，积 xy有最大值1 4 �2.(和定积有最大) 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 2 页 共 7 页 真题感悟 明察考情 1.(2022 新高考 2 卷 T12)(多选题)若 x，y满足�2 + �2 − �� = 1，则( ) A．� + � ≤ 1 B．� + � ≥− 2 C．�2 + �2 ≤ 2 D．�2 + �2 ≥ 1 2．(2021 新Ⅰ卷 T5)已知 1F， 2F 是椭圆C： 2 2 1 9 4 x y   的两个焦点，点M 在C上，则 1 2MF MF 的最大值为( ) A．13 B．12 C．9 D．6 考点题型 疑难解惑 考点 1 直接法求最值(直接利用基本不等式) 题型精讲 方法探究 【例 1-1】(2024 高三上河南信阳阶段练习)已知 0x  ， 0y  ，且 2x y  ，则 xy的最大值为( ) A．0 B．1 C．-1 D．2 【例 1-2】(2025 四川眉山一诊)已知� > 0, � > 0，则“� + � > 2”是“�2 + �2 > 2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例 1-3】(2025 山东菏泽二模)已知 1a  ， 1b  ，且 4ab  ，则 2 2log loga b的最大值为( ) A． 1 4 B．1 C．4 D．16 【例 1-4】(2025 四川眉山东坡一诊)已知� > 1，� > 1，� = �3，则�� � + 3 ���� 1 0的最小值为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 方法提炼 思维升华 利用基本不等式求最值的条件：“一正”“二定”“三相等”； 一正：使用基本不等式的前提：a > 0, b > 0； 二定：不等式的一边转换为定值； 三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立；这也是最容易发生错误的地方. 如：sinθ + 2 sinθ ； x2 + 3 + 1 x2+3 等； 举一反三 熟能生巧 1.已知正实数 a、b满足 4 1a b  ，则 ab的最大值为 ． 2.(2024 全国模拟预测)若 0, 0,3 2 1x y x y    ，则8 4x y 的最小值为( ) A． 2 B． 2 2 C．3 2 D． 4 2 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 3 页 共 7 页 3.(2024 高三上陕西西安阶段练习)函数  2 221 55y x xx   的最小值为( ) A．2 B．5 C．6 D．7 4.(重庆西南大学附中 2024 届高考全真模拟)设 , 0x y  且 2 1x y  ，则 2 2log log 2x y 的最大值为 5.(2024 广东华南师大附中综合测试)设实数 x、y、z、t满足1 100x y z t     ，则 x zy t 的最小值为 . 考点 2 配凑法求最值 题型精讲 方法探究 【例 2-1】设 0 < x < 3 2 ，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为( ) A.9 4 B．4 C.9 2 D．9 【例 2-2】(2025 届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测 T13)已知 1a  ，则 1001a a  的最小值为 ______，此时 a等于______. 【例 2-3】(2024 高三上江苏连云港阶段练习)若 0a  ， 0b  ，且 a b ab  ，则 2a b 的最小值为( ) A．3 2 2 B． 2 2 2 C．6 D．3 2 2 【例 2-4】(2025 届福建省莆田一中高三上返校考试 T14)实数 ,x y满足 2 24 1x y xy   ，则 2x y 的最大值 为_____. 方法提炼 思维升华 要先配凑出积为常数(或者和为常数)的形式，再利用基本不等式．常见配凑的式子结构： 1.对勾型结构：t + 1 t ；�� + � � 2.对勾添加常数型：对于如：�x + b + 1 cx+d 的式子，设 cx + d = m，则化为：( � � �+ 1 � ) + � − �� � 举一反三 熟能生巧 1.已知函数 y＝x＋ 4 �−2 (x>2)，则此函数的最小值等于( ) A. 4 � �−2 B. 2 � �−2 C．4 D．6 2.若 x<2 3 ，则 f(x)＝3x＋1＋ 9 3�−2 有( ) A．最大值 0 B．最小值 9 C．最大值－3 D．最小值－3 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 4 页 共 7 页 3.(2023北京东城一模)已知� > 0，则� − 4 + 4 � 的最小值为( ) A．－2 B．0 C．1 D．2 2 4.已知 x<0，则 2 1−� − �的最小值为( ) A．2 2 B．4 C．2 2＋1 D．2 2－1 5.已知正数 x，y满足 x＋2y＝2，则 xy的最大值为( ) A．2 B．1 C.1 2 D.1 4 6.(2023重庆一模)已知 a，b为非负实数，且 2� + � = 1，则2� 2 �+1 + � 2+1 � 的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7.已知 0, 0a b  ，且 1ab  ，则 1 1 82 2a b a b   的最小值为_________． 考点 3 常数代换法求最值 题型精讲 方法探究 【例 3-1】(2025 四川仁寿一模)已知�2 + �2 = �2�2 �� ≠ 0 ，则 1 − 16�2 − 9�2的最大值为( ) A．−48 B．−49 C．−42 D．−35 【例 3-2】(2025 届山东省部分学校高三上开学联考 T5)两正数 x，y满足 4 2x y xy  ，且 x + y4 < m 2 −m有 解，则实数 m的取值范围是( ) A. { 1 2}m m  ∣ B. { 1m m  ∣ 或 2}m  C. { 2 1}m m  ∣ D. { 2m m  ∣ 或 1}m  【例 3-3】(2025届湖南省岳阳县一中高三上入学考试 T13) 已知 0, 0x y  ， 2 8x y  且4� + 25� 16� > �2 + 2� 恒成立，则实数m的取值范围为________． 方法提炼 思维升华 条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是常数代换法；三是消元法． 常数代换法关键是通过变形，构造和式为定值或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值． 应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 形如：�� + �� = ���的式子，两边同除以���得： � �� + � �� = 1，即可用常数代换法。 举一反三 熟能生巧 1.(2024 高三上湖北武汉期末)已知正数 a，b满足 2 1a b  ，则( ) 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 5 页 共 7 页 A． 1 8 ab  B． 1 8 ab  C． 10 8 ab  D． 10 8 ab  2.(2024 高三上江苏连云港阶段练习)若 0a  ， 0b  ，且 a b ab  ，则 2a b 的最小值为( ) A．3 2 2 B． 2 2 2 C．6 D．3 2 2 3.已知 a>1 4 ，b>1 2 ，且 2a＋b＝2，则 1 4�−1 + 1 2�−1 的最小值是( ) A．1 B.4 3 C．2 D.5 2 4.(2025 山东省齐鲁名师联盟高三上第一次诊断 T3) 若正数 x， y 满足 4 4x y  ，则 1 1x y 的最小值为( ) A. 2 B. 9 4 C. 3 D. 8 3 5.(2025 届十五校教育集团鄂豫皖五十三校高三 8 月联考 T6)实数 a，b满足 4�2 − 2�� + �2 = 5，则 4�2 + �2 的取值范围是( ) A.  ,10 B.  10, C. 103 , 10 D. 20 3 , 10 6.(2022·四川乐山·一模)已知 0x  ， 0y  ，且 4 2 0x y xy   ，则 2x y 的最小值为( ) A．16 B．8 4 2 C．12 D．6 4 2 7.(2025·河南新乡·二模)随机变量  21,X N  ，      1 0, 0P X a P X b a b      ，则 4aba b 的最大值为( ) A．9 B． 1 9 C． 9 2 D． 2 9 8.（2024·河南·三模）在 ABC 中，角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，若 2a b c   ，则 4 1 a b c   的最小值为 ． 考点 4 构造不等式法求最值 题型精讲 方法探究 【例 4-1】(2025·四川绵阳·一模)已知� > 0, � > 0，且满足� + � = �� − 3，则��的最小值为( ) A．3 B．2 3 C．6 D．9 【例 4-2】已知正数 ,a b满足 1 4 16a b a b    ，则 a b 的最大值是 . 方法提炼 思维升华 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 6 页 共 7 页 已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可把“和”化为“积”，或者把“积”化为“和”，从而 把原式转化为不等式再求最值． 举一反三 熟能生巧 1.若 a>0，b>0，且 ab＝a＋b＋3，则 ab的最小值为( ) A．9 B．6 C．3 D．12 2.若正数 x，y满足 x＋y－2xy＝0，则 x＋y的最小值为( ) A．4 B．1 C．5 D．2 3.若实数 ,a b满足1 � + 2 � = ��，则 ab的最小值为 A． 2 B．2 C．2 2 D．4 4.(多选)已知 x>0，y>0，x＋2y＝1，则( ) A．xy的最大值为1 8 B. 1 �+� 的最大值为 4 3 C.1 x + 1 y 的最小值为 4 2 D．x2＋y2的最小值为1 5 考点 5 基本不等式与其它知识综合 题型精讲 方法探究 【例 5-1】(2025 届四川省自贡一中二模 T5)设 a，bR，则下列结论正确的是( ) A. 若� > b > 0，则 1 �2 < 1 �2 B. 若 0a b  ，则(� − 1)2 < (� − 1)2 C. 若 2a b  ，则 2 2 4a b  D. 若�, b > 0且2� + 1 � > 2� + 1 � ，则� > b 【例 5-2】(多选)(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T11)已知 0, 0a b  ，且 1a b  ，则( ) A. ab的最小值是14 B. 2 22a b 最小值为23 C. a b 的最大值是 2 D. 1�+ 2� � 的最小值是1 2 【例 5-3】(多选)(2025 届吉林大学附中高三一模 T10)设正实数 ,m n满足 1m n  ，则下列错误的是( ) A. 1 � + 2 � 的最小值为3 2 2 B. m n 的最大值为 2 C. mn 的最大值为14 D. 2 2m n 的最小值为12 【例 5-4】(2025 届四川省成都市石室成飞中学高三上 8 月月考 T10)已知正数 x， y 满足 2x y  ，则下列 选项正确的是( ) A. 1 1 x y  的最小值是 2 B. xy的最大值是1 C. 2 2x y 的最小值是1 D.  1x y  的最大值是 92 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 7 页 共 7 页 举一反三 熟能生巧 1.(2025 届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统一考试 T5)已知圆 2 2: 4 6 4 0C x y x y     关于直 线  : 1 0 0l ax by ab    对称，则 1 2� + 1 3� 的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 2.下列结论正确的是( ) A．当 0x  且 1x  时， 1ln 2 ln x x   B．当 π0, 2 x     时， 4sin sin x x  的最小值为 4 C．当 0x  时， 1 2x x   D．当 0ab  时， 2b a a b   2.(多选)(2025 届陕西省旬邑县中高三 8 月阶段考试 T10)已知正实数 ,a b满足 2a b  ，且 0ab m  恒 成立，则 2 24 9 4 m m 的取值可以是( ) A. 3 B. 5 C. 3 2 D. 1 3.(2025 届四川省成都市蓉城名校联考高三上开学联考 T10) ,a b为正实数，    1 1 1a b   ，则( ) A. 2ab的最小值为 4 B. 2a b 的最小值为3 2 2 C. 2 2a b 的最小值为 8 D. 1 1 1 1a b    的最小值为 2 4.(2025 届福建省漳州市高三第一次教学质量检测 T13)已知数列 na 的前 n项和 2nS n n  ，当 9n n S a  取最小 值时， n  ___________. 5.(2025 届重庆市南开中学高三 8 月第三次质量检测 T13)  1 2 3max , ,x x x 表示三个数中的最大值，对任意的 正实数 x， y ，则 2 2 4 1max ,2 ,x y x y       的最小值是______． 6.函数 y＝x＋ 5 1x + (x≥2)取得最小值时的 x值为 ． 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 1 页 共 14 页 《2026 届高考一轮复习 数学考点突破》1-4 基本不等式 目录导读 五年新高考命题解读 ...................................................................................................................................................... 1 核心知识 考点梳理 ........................................................................................................................................................ 1 真题感悟 明察考情 ........................................................................................................................................................ 2 考点题型 疑难解惑 ........................................................................................................................................................ 2 考点 1 直接法求最值(直接利用基本不等式) ...................................................................................................2 考点 2 配凑法求最值 ........................................................................................................................................... 4 考点 3 常数代换法求最值 ................................................................................................................................... 6 考点 4 构造不等式法求最值 ............................................................................................................................... 9 考点 5 基本不等式与其它知识综合 .................................................................................................................10 五年新高考命题解读 考点 新Ⅰ卷、新Ⅱ卷五年考情(2021-2025) 命题解读 基本不等式 2022新Ⅱ卷、2021 新Ⅰ卷、北京卷 基本不等式作为工具，与其它知识结合，求最值或取值范围。 核心知识 考点梳理 一、基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式: � + � 2 ≥ ��(� > 0, � > 0)，当且仅当� = �时取等号， 其中： �+� 2 叫做正数 a，b的算术平均数， ab叫做正数 a，b的几何平均数． 二、几个常用的不等式 �2 + b2 ≥ 2�b(�, � ∈ �), � � + � � ≥ 2(�� > 0), �� ≤ ( �+� 2 )2 ≤ � 2+�2 2 (�, � ∈ �), 以上不等式均当且仅当� = �时等号成立. 【拓展】常用不等式链： 2 1 �+ 1 � ≤ �� ≤ �+� 2 ≤ � 2+�2 2 (� > 0, � > 0)；当且仅当 a＝b时，等号成立． 三、利用基本不等式求最值 基本不等式与最值：已知 x，y都是正数， 1.如果积 xy等于定值 P，那么当 x＝y时，和 x＋y有最小值 2 P.(积定和有最小) 2.如果和 x＋y等于定值 S，那么当 x＝y时，积 xy有最大值1 4 �2.(和定积有最大) 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 2 页 共 14 页 真题感悟 明察考情 1.(2022 新高考 2 卷 T12)(多选题)若 x，y满足�2 + �2 − �� = 1，则( ) A．� + � ≤ 1 B．� + � ≥− 2 C．�2 + �2 ≤ 2 D．�2 + �2 ≥ 1 【答案】BC【解】条件变形为： � + � 2 − 1 = 3�� ≤ 3 �+� 2 2 ，解得−2 ≤ � + � ≤ 2， 当且仅当� = � =− 1时，� + � =− 2；当且仅当� = � = 1 时，� + � = 2；所以 A错误，B正确； 条件变形为 �2 + �2 − 1 = �� ≤ � 2+�2 2 ，解得�2 + �2 ≤ 2，当且仅当� = � =± 1时取等号，所以 C正确； 条件变形可得 � − � 2 2 + 3 4 �2 = 1，设� − � 2 = cos�, 3 2 � = sin�，所以� = cos� + 1 3 sin�, � = 2 3 sin�， 因此�2 + �2 = cos2� + 5 3 sin2� + 2 3 sin�cos� = 1 + 1 3 sin2� − 1 3 cos2� + 1 3 = 4 3 + 2 3 sin 2� − π 6 ∈ 2 3 , 2 ， 所以当� = 3 3 , � =− 3 3 时满足等式，但是�2 + �2 ≥ 1不成立，所以 D错误．故选：BC． 2．(2021 新Ⅰ卷 T5)已知 1F， 2F 是椭圆C： 2 2 1 9 4 x y   的两个焦点，点M 在C上，则 1 2MF MF 的最大值为( ) A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C【分析】椭圆定义得 1 2 2 6MF MF a   ，由 2 1 2 1 2 2 MF MF MF MF          即可得到答案． 【解】由题， 2 29, 4a b  ，则 1 2 2 6MF MF a   ， 所以 2 1 2 1 2 92 MF MF MF MF          (当且仅当 1 2 3MF MF  时，等号成立)．故选：C． 考点题型 疑难解惑 考点 1 直接法求最值(直接利用基本不等式) 题型精讲 方法探究 【例 1-1】(2024 高三上河南信阳阶段练习)已知 0x  ， 0y  ，且 2x y  ，则 xy的最大值为( ) A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】B【分析】根据基本不等式，求解即可得出答案. 【解】因为 0x  ， 0y  ，则由基本不等式可得 2x y xy  ， 所以有 2 1 2 x yxy       ，当且仅当 1x y  时等号成立.故选：B. 【例 1-2】(2025 四川眉山一诊)已知� > 0, � > 0，则“� + � > 2”是“�2 + �2 > 2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案． 【解】若� > 0, � > 0，� + � > 2，则�2 + �2 ≥ 1 2 (� + �)2 > 2，充分性成立； 若�2 + �2 > 2，可能� = 2，� = 0.1，此时� + � < 2，所以必要性不成立． 综上所述，“� + � > 2”是“�2 + �2 > 2”的充分不必要条件．故选：A． 【例 1-3】(2025 山东菏泽二模)已知 1a  ， 1b  ，且 4ab  ，则 2 2log loga b的最大值为( ) A． 1 4 B．1 C．4 D．16 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 3 页 共 14 页 【答案】B【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解. 【解】 2 2 2 2 2 2 2 log log loglog log 1 2 2 a b aba b              ，当且仅当 2 2log log 1a b  ，即 2a b  时取等号，故选：B 【例 1-4】(2025 四川眉山东坡一诊)已知� > 1，� > 1，� = �3，则�� � + 3 ���� 1 0的最小值为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B【分析】由换底公式和基本不等式即可求解. 【解】由� > 1 知����10 > 0,结合� = �3，以及换底公式可知， �� � + 3 ���� 1 0= �� � + 3 ���� 10 3log= 3log 10 log 10 b b b b  3 3log 10 log 10 bb   32 3log 10 6 log 10 bb    ， 当且仅当 3 ����10 = 3����10，即����10 = 1，即� = 10时取等号，故�� � + 3 ���� 1 0的最小值为 6，故选：B. 方法提炼 思维升华 利用基本不等式求最值的条件：“一正”“二定”“三相等”； 一正：使用基本不等式的前提：a > 0, b > 0； 二定：不等式的一边转换为定值； 三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立；这也是最容易发生错误的地方. 如：sinθ + 2 sinθ ； x2 + 3 + 1 x2+3 等； 举一反三 熟能生巧 1.已知正实数 a、b满足 4 1a b  ，则 ab的最大值为 ． 【答案】 1 16 【分析】由 21 1 44 4 4 2 a bab a b         ，代入即可得出答案. 【解】 21 1 4 1 1 14 4 4 2 4 4 16 a bab a b           ，当且仅当“ 4a b ”，即 1 1, 2 8 a b  时取等， 所以 ab的最大值为 1 16 .故答案为： 1 16 2.(2024 全国模拟预测)若 0, 0,3 2 1x y x y    ，则8 4x y 的最小值为( ) A． 2 B． 2 2 C．3 2 D． 4 2 【答案】B【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【解】 3 2 3 2 3 28 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y x y x y x y       ， 当且仅当 3 22 2x y 且3 2 1x y  ，即 1 1, 6 4 x y  时等号成立，故选：B. 3.(2024 高三上陕西西安阶段练习)函数  2 221 55y x xx   的最小值为( ) A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D【分析】由基本不等式即可求解. 【解】由 2 5x  可得 2 5 0x   ，所以  2 2 22 2 21 1 15 2 5 755 55 5y x x xx x x                ， 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 4 页 共 14 页 当且仅当 2 2 1 5 5x x   ，即 6x  时等号成立，故选:D 4.(重庆西南大学附中 2024 届高考全真模拟)设 , 0x y  且 2 1x y  ，则 2 2log log 2x y 的最大值为 【答案】 2 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解. 【解】 , 0x y  且 2 1x y  ，则1 2 2 2x y xy   ，解得：2xy ≤ 1 4 ，当且仅当 x = 1 2 ，y = 1 4 时等号成立， 所以 2xy ≤ 1 4 ，则 2 2 2 2 1log log 2 log 2 log 2 4 x y xy     ，即 2 2log log 2x y 的最大值为 2 ；故答案为： 2 5.(2024 广东华南师大附中综合测试)设实数 x、y、z、t满足1 100x y z t     ，则 x z y t  的最小值为 . 【答案】 1 5 【分析】分母最大分子最小时分式的值最小；得 1 100 x z z y t y    ，结合基本不等式和 1 z y  即可解． 【解】因为1 100x y z t     ，所以 1 z y  ,所以 1 1 12 2 100 100 100 5 x z z z y t y y       ， 当且仅当 1 100 z y  即 100yz  时等号成立，即 x z y t  的最小值为 1 5 .故答案为： 1 5 . 考点 2 配凑法求最值 题型精讲 方法探究 【例 2-1】设 0 < x < 3 2 ，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为( ) A.9 4 B．4 C.9 2 D．9 【答案】C【解】y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·( 2�+(3−2�) 2 )2＝9 2 . 当且仅当 2x＝3－2x，即� = 3 4 时取等号，∴当� = 3 4 时，ymax＝ 9 2 . 【例 2-2】(2025 届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测 T13)已知 1a  ，则 1001a a  的最小值为 ______，此时 a等于______. 【答案】21；11【分析】利用基本不等式(配凑法)求得正确答案. 【解】由于 1a  ，所以 1 0a   ，所以  100 100 1001 1 2 1 1 21 1 1 1 a a a a a a              ， 当且仅当 1001 , 11 1 a a a     时等号成立；故答案为： 21；11 【例 2-3】(2024 高三上江苏连云港阶段练习)若 0a  ， 0b  ，且 a b ab  ，则 2a b 的最小值为( ) A．3 2 2 B． 2 2 2 C．6 D．3 2 2 【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解】 0a  ， 0b  ，由 a b ab  得 1 1 1a b  ，故   1 1 2 22 2 2 1 3 2 3 2 2a b a ba b a b a b b a b a                  ， 当且仅当 2a b b a  ，即 21 , 1 2 2 a b    时，等号成立，故 2a b 的最小值为3 2 2 .故选：A 【例 2-4】(2025 届福建省莆田一中高三上返校考试 T14)实数 ,x y满足 2 24 1x y xy   ，则 2x y 的最大值 为_____. 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 5 页 共 14 页 【答案】 2 10 5 【分析】利用基本不等式可求得 1 5 xy  ，通过配凑即可得出结果. 【解】由 2 24 1x y xy   可得 2 24 1 4 5x y xy xy xy xy      ，可得 15xy  ； 而  2 2 2 3 82 4 4 1 3 1 5 5 x y x y xy xy         ，所以  2 82 5 x y  ，解得 2 10 2 102 5 5 x y    ； 当且仅当 2y x ，也即 10 10, 10 5 x y  时，上式右边等号成立；此时 2x y 的最大值为2 10 5 ；故答案为： 2 10 5 . 方法提炼 思维升华 要先配凑出积为常数(或者和为常数)的形式，再利用基本不等式．常见配凑的式子结构： 1.对勾型结构：t + 1 t ；�� + � � 2.对勾添加常数型：对于如：�x + b + 1 cx+d 的式子，设 cx + d = m，则化为：( � � �+ 1 � ) + � − �� � 举一反三 熟能生巧 1.已知函数 y＝x＋ 4 �−2 (x>2)，则此函数的最小值等于( ) A. 4 � �−2 B. 2 � �−2 C．4 D．6 【答案】D【解】∵x>2，∴x－2>0，∴y＝x＋ 4 �−2 ＝(x－2)＋ 4 �−2 ＋2≥2 (�－2) ∙ 4 �−2 ＋2＝6 (当且仅当 x－2＝ 4 �−2 ，即 x＝4时取等号)，∴y＝x＋ 4 �−2 (x>2)的最小值为 6. 2.若 x<2 3 ，则 f(x)＝3x＋1＋ 9 3�−2 有( ) A．最大值 0 B．最小值 9 C．最大值－3 D．最小值－3 【答案】C【解】∵x<2 3 ，∴3x－2<0， f(x)＝3x－2＋ 9 3�−2 ＋3=− (2 − 3x) + 9 2−3x + 3 ≤− 2 (2 − 3x) ∙ 9 2−3x + 3 =− 3 当且仅当 2－3x＝ 9 2−3x ，即 x＝－1 3 时取“＝”． 3.(2023北京东城一模)已知� > 0，则� − 4 + 4 � 的最小值为( ) A．－2 B．0 C．1 D．2 2 【答案】B【解】∵� > 0，∴� + 4 � − 4 ≥ 2 � × 4 � − 4 = 0，当且仅当� = 4 � 即� = 2 时等号成立．故选：B． 4.已知 x<0，则 2 1−� − �的最小值为( ) A．2 2 B．4 C．2 2＋1 D．2 2－1 【答案】D【解】因为 x<0，则 1－x>1， 2 1−� − � = 2 1−� + (1 − �)－1≥2 2 1−� ∙ (1 − �)－1＝2 2－1， 当且仅当 2 1−� = (1 − �)，即 x＝1－ 2时取等号，所以 2 1−� − �的最小值为 2 2－1. 5.已知正数 x，y满足 x＋2y＝2，则 xy的最大值为( ) A．2 B．1 C.1 2 D.1 4 【答案】C【解】因为正数 x，y满足 x＋2y＝2，所以 xy＝1 2 x·(2y)≤1 2 ( �+2� 2 )2＝1 2 ， 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 6 页 共 14 页 当且仅当 x＝2y，即 x＝1，y＝1 2 时取等号，所以 xy的最大值为1 2 . 6.(2023重庆一模)已知 a，b为非负实数，且 2� + � = 1，则2� 2 �+1 + � 2+1 � 的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解】∵ 2� + � = 1，且�,�为非负实数，� ≠ 0，则� ≥ 0, � > 0 则� = 1 − 2� > 0，解得 0 ≤ � < 1 2 ，2� = 1 − � ≥ 0，解得 0 < � ≤ 1， ∴ 2�2 � + 1 + �2 + 1 � = 2(� + 1)2 − 4(� + 1) + 2 � + 1 + �2 + 1 � = 2(� + 1) − 4 + 2 � + 1 + � + 1 � = 2 � + 1 + 1 � − 1 2 �+1 + 1 � = 4 2�+2 + 1 � = 1 3 (2� + 2) + � ⋅ 4 2�+2 + 1 � = 1 3 5 + 4� 2�+2 + 2�+2 � ≥ 1 3 5 + 2 4� 2�+2 ⋅ 2�+2 � = 3， 当且仅当 4� 2�+2 = 2�+2 � 即 2� + 2 = 2�，即� = 1, � = 0 时等号成立，故 2 �+1 + 1 � − 1 min = 2，故选：B. 7.已知 0, 0a b  ，且 1ab  ，则 1 1 82 2a b a b   的最小值为_________． 【答案】4【解】 0, 0, 0a b a b     ， 1ab  , 1 1 8 8 2 2 2 2 ab ab a b a b a b a b         8 82 4 2 2 a b a b a b a b          ，当且仅当 a b =4 时取等号， 结合 1ab  ,解得 2 3, 2 3a b    ，或 2 3, 2 3a b    时，等号成立．故答案为： 4 考点 3 常数代换法求最值 题型精讲 方法探究 【例 3-1】(2025 四川仁寿一模)已知�2 + �2 = �2�2 �� ≠ 0 ，则 1 − 16�2 − 9�2的最大值为( ) A．−48 B．−49 C．−42 D．−35 【答案】A【分析】由题意知 1 �2 + 1 �2 = 1，然后根据基本不等式(常数代换法)即可求解. 【解】因为�2 + �2 = �2�2 �� ≠ 0 ，所以 1 �2 + 1 �2 = 1， 所以 16�2 + 9�2 = 1 �2 + 1 �2 16�2 + 9�2 = 25 + 9� 2 �2 + 16� 2 �2 ≥ 25 + 2 9� 2 �2 × 16� 2 �2 = 49， 当且仅当 9�2 �2 = 16� 2 �2 ，即�2 = 7 4 , �2 = 7 3 时，等号成立，所以 1 − 16�2 − 9�2的最大值为 1 − 49 =− 48.故选：A. 【例 3-2】(2025 届山东省部分学校高三上开学联考 T5)两正数 x，y满足 4 2x y xy  ，且 x + y4 < m 2 −m有 解，则实数 m的取值范围是( ) A. { 1 2}m m  ∣ B. { 1m m  ∣ 或 2}m  C. { 2 1}m m  ∣ D. { 2m m  ∣ 或 1}m  【答案】B【分析】求得 4 yx  的最小值，把 x + y 4 < m2 −m有解，转化为不等式 2 2m m  ，即可求解. 【解】由已知得 1 4 2 x y   ，则 1 1 4 1 4 1 42 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 y y x y x yx x x y y x y x                              ， 当且仅当 4 4 x y y x  ，即 4 4y x  时取等号， 又由不等式 x + y 4 < m2 −m有解，可得 2 2m m  ，解得 1m   或 2m  ， 所以实数m的取值范围为{ 1m m  ∣ 或 2}m  ；故选：B. 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 7 页 共 14 页 【例 3-3】(2025届湖南省岳阳县一中高三上入学考试 T13) 已知 0, 0x y  ， 2 8x y  且4� + 25� 16� > �2 + 2� 恒成立，则实数m的取值范围为________． 【答案】 3 1m   【分析】基本不等式求4� + 25� 16�最小值，由恒成立转化为一元二次不等式即可求解. 【解】因为 2 8x y  ，所以 8 2x y  ，所以  25 8 24 25 4 4 25 2516 16 2 8 yx x y x y x y        ， 因为  4 25 1 4 25 1 8 25 1 8 25 4929 22 8 2 8 2 8 2 82 29 y x y x x y x y x y x x y y                           ， 当且仅当 8 25 2 y x x y  ，即 4 5y x ，即 16 20, 7 7 x y  时取得等号，所以 4 25 25 2 8x y   有最小值为 3， 因为 24 25 2 16 x m m x y    恒成立，所以 23 2m m  ，解得 3 1m   ，故答案为: 3 1m   . 方法提炼 思维升华 条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是常数代换法；三是消元法． 常数代换法关键是通过变形，构造和式为定值或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值． 应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 形如：�� + �� = ���的式子，两边同除以���得： � �� + � �� = 1，即可用常数代换法。 举一反三 熟能生巧 1.(2024 高三上湖北武汉期末)已知正数 a，b满足 2 1a b  ，则( ) A． 1 8 ab  B． 1 8 ab  C． 10 8 ab  D． 10 8 ab  【答案】C【分析】根据基本不等式直接计算即可. 【解】由题意得， 0, 0a b  ，则 0ab  ， 2 1 2 2a b ab   ，即 10 8 ab  ， 当且仅当 2a b ，即 1 1, 2 4 a b  时等号成立.故选：C 2.(2024 高三上江苏连云港阶段练习)若 0a  ， 0b  ，且 a b ab  ，则 2a b 的最小值为( ) A．3 2 2 B． 2 2 2 C．6 D．3 2 2 【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解】 0a  ， 0b  ，由 a b ab  得 1 1 1a b  ，故   1 1 2 22 2 2 1 3 2 3 2 2a b a ba b a b a b b a b a                  ， 当且仅当 2a b b a  ，即 21 , 1 2 2 a b    时，等号成立，故 2a b 的最小值为3 2 2 .故选：A 3.已知 a>1 4 ，b>1 2 ，且 2a＋b＝2，则 1 4�−1 + 1 2�−1 的最小值是( ) A．1 B.4 3 C．2 D.5 2 【答案】C【解】由已知得:(4a－1)＋(2b－1)＝2， 则 1 4�−1 + 1 2�−1 ＝ 1 2 [(4a－1)＋(2b－1)]·( 1 4�−1 + 1 2b−1 )＝1 2 ( 2b−1 4�−1 + 4�−1 2b−1 + 2)≥2， 当且仅当 1 4�−1 = 1 2�−1 ，即 a＝1 2 ，b＝1时，等号成立． 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 8 页 共 14 页 4.(2025 山东省齐鲁名师联盟高三上第一次诊断 T3) 若正数 x， y 满足 4 4x y  ，则 1 1x y 的最小值为( ) A. 2 B. 9 4 C. 3 D. 8 3 【答案】B【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【解】由正数 x， y 满足 4 4x y  ，得 1 1 1 1 1 1 4 1 4 9(4 )( ) ( 5) (2 5)4 4 4 4 y x y xx y x y x y x y x y            ， 当且仅当 4y x x y  ，即 2 3 x  ， 4 3 y  时取等号，所以 1 1 x y  的最小值为 9 4 ．故选：B 5.(2025 届十五校教育集团鄂豫皖五十三校高三 8 月联考 T6)实数 a，b满足 4�2 − 2�� + �2 = 5，则 4�2 + �2 的取值范围是( ) A.  ,10 B.  10, C. 103 , 10 D. 20 3 , 10 【答案】C【分析】根据题意结合 2 2 2a b ab  和  2 2 2a b ab   运算求解. 【解】因为 2 24 2 5a ab b   ，即 2 24 5 2a b ab   ，且    2 2 2 24 4 2 2 4a b ab a b a b      ， 即    2 2 2 2 2 24 2 4 5 4a b a b a b       ，解得 2 24 10103 a b   ， 当且仅当 152 3 a b    时， 2 2 104 3 a b  ，当且仅当 2 5a b   时， 2 24 10a b  ， 所以 2 24a b 的取值范围是 10 ,10 3      ；故选：C. 6.(2022·四川乐山·一模)已知 0x  ， 0y  ，且 4 2 0x y xy   ，则 2x y 的最小值为( ) A．16 B．8 4 2 C．12 D．6 4 2 【答案】A【分析】由题意得， 2 4 1 x y   ，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值. 【解】由题可知 2 4 1 x y   ，乘“1”得 2 4 8 2 8 22 (2 ) 8 2 8 16x y x yx y x y x y y x y x                 ， 当且仅当 8 2x y y x  时，取等号，则 2x y 的最小值为16；故选：A 7.(2025·河南新乡·二模)随机变量  21,X N  ，      1 0, 0P X a P X b a b      ，则 4aba b 的最大值为( ) A．9 B． 1 9 C． 9 2 D． 2 9 【答案】D【分析】利用正态分布的对称性得到 2a b  ，再用代换 1 法求最大值即可. 【解】因为     1P X a P X a    ，     1P X a P X b    ，所以    P X a P X b   .可得 2a b  . 因为  4 1 4 1 1 4 1 4 952 2 2 a b a bb a ab b a b a b a                     ，所以 2 4 9 ab a b   ，当且仅当 4a b b a  ，即 4 3 a  ， 2 3 b  时，取等号， 即 4 ab a b 的最大值为 2 9 .故选：D. 8.（2024·河南·三模）在 ABC 中，角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，若 2a b c   ，则 4 1 a b c   的最小值为 ． 【答案】 9 2 【分析】 , ,a b c是 ABC 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】因为 2a b c   ， 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 9 页 共 14 页 所以  4 1 1 4 12 a b ca b c a b c               1 4 1 4 95 5 2 2 2 2 c a b c a b a b c a b c                     ， 当且仅当 4c a b a b c    ，即 2a b c  时等号成立，故 4 1a b c 的最小值为 9 2 ．故答案为： 9 2 . 考点 4 构造不等式法求最值 题型精讲 方法探究 【例 4-1】(2025·四川绵阳·一模)已知� > 0, � > 0，且满足� + � = �� − 3，则��的最小值为( ) A．3 B．2 3 C．6 D．9 【答案】D【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得��的范围，从而求得��的最小值. 【解】� + � = �� − 3 ≥ 2 ��，所以 �� 2 − 2 �� − 3 = �� − 3 �� + 1 ≥ 0， �� − 3 ≥ 0, �� ≥ 9，当且仅当� = � = 3 时等号成立，所以��的最小值为 9.故选：D 【例 4-2】已知正数 ,a b满足 1 4 16a b a b    ，则 a b 的最大值是 . 【答案】8 55 【分析】令  t a b，则 1 4 16 t a b    ，     1 4 416 5 b at t a b a b a b            ，利用基本不等式，并 结合一元二次不等式的求法可得 t的范围，进而得到答案. 【解】令  t a b，因为 0a  ， 0b  ，所以 0t  ；则 1 4 16 ta b   ， 所以     1 4 4 416 5 5 2 9b a b at t a b a b a b a b                ，当且仅当 4b a a b  即 2b a 时等号成立. 所以  16 9t t  ，即 2 16 9 0t t   ，解得8 55 8 55t    ，故答案为：8 55 . 方法提炼 思维升华 已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可把“和”化为“积”，或者把“积”化为“和”，从而 把原式转化为不等式再求最值． 举一反三 熟能生巧 1.若 a>0，b>0，且 ab＝a＋b＋3，则 ab的最小值为( ) A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A【解】因为 a>0，b>0，所以 a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b时，等号成立． 又 ab＝a＋b＋3，所以 ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3，整理可得 ab－2 ab－3≥0，解得 ab≥3或 ab≤－1(舍去)． 所以 ab≥3，所以 ab≥9.所以当 a＝b＝3时，ab的最小值为 9. 2.若正数 x，y满足 x＋y－2xy＝0，则 x＋y的最小值为( ) A．4 B．1 C．5 D．2 【答案】D【解】方法一 由 x＋y－2xy＝0，得 x＋y＝2xy， 又 x>0，y>0，xy≤( �+� 2 )2，所以 x＋y≤x＋y 2 2 ，解得 x＋y≥2，当且仅当 x＝y＝1时，等号成立． 方法二 由已知得 x＋y＝2xy，所以1 y ＋ 1 x ＝2，则 x＋y＝1 2 (x＋y)( 1 y + 1 x )＝1 2 ( � � + � � + 2) ≥ 1 2 (2 � � ∙ � � + 2)＝2， 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 10 页 共 14 页 当且仅当 � � = � � , � + � − 2�� = 0, 即 � = 1, � = 1,时，等号成立． 3.若实数 ,a b满足1 � + 2 � = ��，则 ab的最小值为 A． 2 B．2 C．2 2 D．4 【答案】C【解】 1 2 1 2 1 2 20 0 2 2 , 2 2ab a b ab ab a b a b a b ab           ， ＞ ， ＞ ， ，(当且仅当 2b a 时取等号)， 所以 ab的最小值为 2 2，故选 C. 4.(多选)已知 x>0，y>0，x＋2y＝1，则( ) A．xy的最大值为1 8 B. 1 �+� 的最大值为 4 3 C.1 x + 1 y 的最小值为 4 2 D．x2＋y2的最小值为1 5 【答案】AD【解】xy = 1 2 x ∙ 2y ≤ 1 2 ( x+2y 2 )2 = 1 2 × 1 4 = 1 8 (当且仅当 x = 2y,即 x = 1 2 , y = 1 4 时取等号)，A正确； 当 x＝1 5 ，y＝2 5 时， 1 �+� = 5 3 > 4 3 ，故 B错误； 1 x + 1 y ＝(x＋2y)( 1 x + 1 y )＝3＋2y x ＋ x y ≥3＋2 2(当且仅当 x = 2 − 1, y = 2− 2 2 时取等号)，故 C错误； x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝5(� − 2 5 )2＋1 5 ，当 x＝1 5 ，y＝2 5 时，x2＋y2取最小值1 5 ，故 D正确． 考点 5 基本不等式与其它知识综合 题型精讲 方法探究 【例 5-1】(2025 届四川省自贡一中二模 T5)设 a，bR，则下列结论正确的是( ) A. 若� > b > 0，则 1 �2 < 1 �2 B. 若 0a b  ，则(� − 1)2 < (� − 1)2 C. 若 2a b  ，则 2 2 4a b  D. 若�, b > 0 且2� + 1 � > 2� + 1 � ，则� > b 【答案】B【分析】由不等式性质判断 A，B；由基本不等式判断 C；由 f(x) = 2x − 1 x 单调性判断 D. 【解】对于 A，若� > b > 0，则 2 2 0a b  ，则 1�2 < 1 �2 ，A正确； 对于 B，若 0a b  ，则 1 1 0a b    ，则    2 21 1a b   ，B 不正确； 对于 C，若 2a b  ，则 22 2 2 2 2 2 2 2 2 4a b a b a b     ，C 正确； 对于 D，f(x) = 2x − 1 x 在(0, + ∞)上递增，由已知得:2� − 1 � > 2� − 1 � ，即 f(�) > f(b)，所以� > b，D正确. 故选：B. 【例 5-2】(多选)(2025 届宁夏宁朔中学高三上开学考试 T11)已知 0, 0a b  ，且 1a b  ，则( ) A. ab的最小值是14 B. 2 22a b 最小值为23 C. a b 的最大值是 2 D. 1�+ 2� � 的最小值是1 2 【答案】BC【分析】利用基本不等式即可得到 A；二元换一元， 1b a  代入 2 22a b ，利用二次函数求 出最值，得出 B选项；利用   2 4 2 a b a b   即可得到 C选项；利用“1”的常数代换法得出 D. 【解】对于 A， 2 1 2 4 a bab       ，当 1 2 a b  时，等号成立，即 ab的最大值是 1 4 ，故 A不正确； 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 11 页 共 14 页 对于 B，∵ 1a b  ，∴ 1b a  ，   2 22 2 2 1 22 2 1 3 3 3 a b a a a           ，所以 2 2 22 3 a b  ，故 B正确； 对于 C，   2 1 4 2 2 a b a b    ，即 2a b  ；当且仅当 1 2 a b  时，等号成立，故 C正确； 对于 D，∵ 1 2 2 21 1 2 2a a b a b aa b a b a b          ，当 2 1, 2 2a b    时，等号成立，故 D 错误．故选：BC． 【例 5-3】(多选)(2025 届吉林大学附中高三一模 T10)设正实数 ,m n满足 1m n  ，则下列错误的是( ) A. 1 � + 2 � 的最小值为3 2 2 B. m n 的最大值为 2 C. mn 的最大值为14 D. 2 2m n 的最小值为12 【答案】ABD【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【解】对于 A，因为正实数 ,m n，满足 1m n  ，所以  1 2 1 2 23 3 2 2n mm nm n m n m n              ， 当且仅当 2n m m n  且 1m n  ，即 2 1m   ， 2 2n   时等号成立，故 A正确； 对于 B， 2 2 2m n m n mn m n m n         ，则 2m n  ，当且仅当 12m n  时等号成立，故 B正确； 对于 C，1 2m n mn   ， 1 2 mn  ，当且仅当 12m n  时等号成立，所以 mn的最大值为 1 2 ，故 C错误； 对于 D，由 2 2 2 2 m n m n   ，可得   2 2 2 1 2 2 m n m n     ，当且仅当 1 2 m n  时等号成立，故 D正确；故选：ABD. 【例 5-4】(2025 届四川省成都市石室成飞中学高三上 8 月月考 T10)已知正数 x， y 满足 2x y  ，则下列 选项正确的是( ) A. 1 1 x y  的最小值是 2 B. xy的最大值是1 C. 2 2x y 的最小值是1 D.  1x y  的最大值是 92 【答案】AB【分析】由乘“1”法结合基本不等式可判断 A；由基本不等式可判断 B； 把式中 y 由 x替换，再结合二次函数的性质可判断 C、D； 【解】对于 A：因为正数 x， y 满足 2x y  ，所以  1 1 1 1 1 1 12 2 2 22 2 2 y x y xx y x y x y x y x y                            ， 当且仅当 y x x y  ，即 1x y  时取等号，故 A正确； 对于 B： 2 2x y xy   ，所以 1xy  ，当且仅当 1x y  时等号成立，故 B正确； 对于 C： 2x y  ，即 2y x  ，且0 2x  ，    2 22 2 2 22 2 4 4 2 1 2x y x x x x x          ，当 1x  时，最小值为 2，故 C错误； 对于 D：由 C可得   2 2 3 91 3 2 4 x y x x x            ，当 3 2 x  时，最大值为 9 4，故 D错误；故选：AB. 举一反三 熟能生巧 1.(2025 届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统一考试 T5)已知圆 2 2: 4 6 4 0C x y x y     关于直 线  : 1 0 0l ax by ab    对称，则 1 2� + 1 3� 的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 4 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 12 页 共 14 页 【答案】D【分析】转化为直线 l过圆心即 2 3 1a b  ，再利用基本不等式可得答案. 【解】因为圆    2 2: 2 3 9C x y    关于直线  : 1 0 0l ax by ab    对称，所以直线 l过圆心  2,3 ， 即 2 3 1a b  ，则  1 1 1 1 2 3 22 3 2 3 2 3 2 3            a b a b a b a b a b；因为 0ab  ，且 2 3 1a b  ，所以 0, 0a b  ， 所以 1 1 2 2 2 4 2 3 2 3 3 3 2 2 3 2         a b b a b a b a b a ，当且仅当 3 2 3 2  a b a b即 1 1, 4 6 a b  取等号，则 1 2� + 1 3� 的最小值是 4.故选：D. 2.下列结论正确的是( ) A．当 0x  且 1x  时， 1ln 2 ln x x   B．当 π0, 2 x     时， 4sin sin x x  的最小值为 4 C．当 0x  时， 1 2x x   D．当 0ab  时， 2b a a b   【答案】C【分析】对 AD，举反例判断即可；对 B，根据基本不等式成立的条件判断即可；对 C，根据基本 不等式判断即可. 【解】对 A，当 1 e x  时， 1ln 2 ln x x    ，故 A 错误； 对 B，当 sin 0x  时， 4 4sin 2 sin 4 sin sin x x x x     ，当且仅当 4sin sin x x  ，即 sin 2x  时取等号， 但当 π0, 2 x     时，0 sin 1x  ，故 B 错误； 对 C，当 0x  时， 1 12 2x x x x     ，当且仅当 1x x  ，即 1x  时取等号，故 C 正确； 对 D，当 1, 1a b   时 2 b a a b    ，故 D错误.故选：C 2.(多选)(2025 届陕西省旬邑县中高三 8 月阶段考试 T10)已知正实数 ,a b满足 2a b  ，且 0ab m  恒 成立，则 2 24 9 4 m m 的取值可以是( ) A. 3 B. 5 C. 3 2 D. 1 【答案】CD【分析】先得到m ab 最大值，然后利用基本不等式求得 ab 的最大值，得到 1m  ，最后 利用 1m  ，得到 2240 29 4 m m    ，选出符合题意的选项即可. 【解】由题可知，m ab 恒成立，故m ab 最大值，而 2a b  ， 由基本不等式 2a b ab  ，知 1ab  ，当且仅当 1a b  时等号成立，故 ab最大值为1，所以 1m  由题得 24m 9+4m2 = 249 m+4m ，由基本不等式可知 9 m + 4m ≥ 12，当且仅当 m = 3 2 时等号成立， 所以 0 < 24 9 m+4m ≤ 2，即 2 240 2 9 4 m m    ；故 CD符合题意；故选：CD 3.(2025 届四川省成都市蓉城名校联考高三上开学联考 T10) ,a b为正实数，    1 1 1a b   ，则( ) A. 2ab的最小值为 4 B. 2a b 的最小值为3 2 2 C. 2 2a b 的最小值为 8 D. 1 1 1 1a b    的最小值为 2 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 13 页 共 14 页 【答案】BCD【分析】把   1 1 1a b   转化为 a b ab  ，利用 2a b ab  ，可求 2ab的最小值； 把   1 1 1a b   转化为 1 1 1a b  ，利用“1”的妙用求 2a b 的最小值； 利用 2 2 2a b ab  求 2 2a b 的最小值；利用 1 1 1 121 1 1 1a b a b      可求 1 1 1 1a b    的最小值. 【解】对 A：因为 ,a b为正实数，且   1 1 1a b   ，所以 a b ab  ， 因为 2ab a b ab    4ab  ，所以 2 8ab  ，故 A错误. 对 B：因为 ,a b为正实数，且   1 1 1a b   ，所以 1 1 1a b  ( 1, 1a b  ). 所以 2a b   1 1 2a ba b       23 b a a b    23 2 b a a b    3 2 2  (当且仅当 2b a a b  ，即 2 2 , 2 1 2 a b   时取“ ”)，故 B正确； 对 C：因为 2 2 2 8a b ab   (都是当且仅当 2a b  时取“ ”)，故 C正确； 对 D：因为 1, 1a b  ，故 1 0, 1 0a b    ，所以 1 1 1 1a b    1 12 2 1 1a b      (当且仅当 2a b  时取“ ”)，故 D正确；故选：BCD 4.(2025 届福建省漳州市高三第一次教学质量检测 T13)已知数列 na 的前 n项和 2nS n n  ，当 9n n S a  取最小 值时， n  ___________. 【答案】3【分析】根据��求得 na ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果. 【解】因为 2 nS n n  ，则当 2n  时，     22 1 1 1 2n n na S S n n n n n         ， 又当 1n  时， 1 1 2a S  ，满足 2na n ，故 2na n ； 则��+9 �� = � 2+�+9 2� = 1 2 (� + 9 � ) + 1 2 ≥ 1 2 × 2 � × 9 � + 1 2 = 7 2 ；当且仅当:n = 9 n 即 n = 3时取等号； 故当 3n  时， 9n n S a  取得最小值；故答案为：3 . 5.(2025 届重庆市南开中学高三 8 月第三次质量检测 T13)  1 2 3max , ,x x x 表示三个数中的最大值，对任意的 正实数 x， y ，则 2 2 4 1max ,2 ,x y x y       的最小值是______． 【答案】2【分析】设 2 2 4 1max ,2 ,N x y x y        ，因 0, 0x y  ，可得 32 2 4 12xy N x y        ，借助于基本不等式可得 3 8N  ，验证等号成立的条件 2 2 4 12 2x y x y     ，即得 minN . 【解】设 2 2 4 1max ,2 ,N x y x y        ，则 x N ， 2y N ， 2 24 1 Nx y  ， 因 0, 0x y  ，则得 32 24 12xy Nx y        ．又因 2 2 4 1 42 2 8xy xy x y xy           ，所以 3 8N  ， 当且仅当 2 2 4 12 2x y x y     ，即 2x  ， 1y  时等号成立，故 2 24 1max ,2 ,x y x y       的最小值为 2；故答案为：2. 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 14 页 共 14 页 6.函数 y＝x＋ 5 1x + (x≥2)取得最小值时的 x值为 ． 【答案】2【分析】令 x＋1＝t(t≥3)，则有  f t ＝t＋ 5 t －1 在[3,＋∞)上单调递增，当 t＝3 时，即可求解. 【解】依题意，y＝x＋ 5 1x + ＝x＋ 1＋ 5 1x + － 1(x≥2)， 设 x＋1＝t(t≥3)．因为 f(t)＝t＋ 5 t －1 在[3,＋∞)上单调递增， 所以当 t＝3，即 x＝2 时，y＝x＋ 5 1x + (x≥2)取得最小值．故答案为：2.