9.2 用样本估计总体 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章 统计 §9.1 随机抽样 §9.2 用样本估计总体 §9.3 统计案例：公司员工的肥胖情况调查分析 索引 必修 第二册 1 9.2.1 总体取值规律的统计 问题1 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出。某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果希望确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作？ 每户居民月均用水量标准如果定得太低，会影响很多居民的日常生活；如果标准太高，则不利于节水。为了确定一个较为合理的用水标准，必须先了解在全市所有居民用户中，月用水量在不同范围内的居民用户所占的比例情况。 如果经费、时间等条件允许，我们可以通过全面调查获得过去一年全市所有居民用户的月均用水量数据，进而得到月均用水量在不同范围内的居民用户所占的比例。由于全市居民用户很多，通常采用抽样调查的方式，通过分析样本观测数据，来估计全市居民用户月均用水量的分布情况。 索引 §9.2 用样本估计总体 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 3.7 17.0 3.8 9.5 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 在这个问题中，总体是该市的全体居民用户，个体是每户居民用户，调查的变量是居民用户的月均用水量。假设通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t）： 从这组数据我们能发现什么信息呢？ 索引 §9.2 用样本估计总体 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 3.7 17.0 3.8 9.5 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 如果将这组数据从小到大排序，容易发现，这组数据的最小值是1.3t，最大值是28.0t，其他在1.3t至28.0t之间。为了更深入地挖掘数据蕴含的信息，需要对数据作进一步的整理与分析。 索引 §9.2 用样本估计总体 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来。在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数。 在这个实际问题中，因为我们更关心月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据。 索引 §9.2 用样本估计总体 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图。 1. 求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差。 样本观测数据的最小值是1.3t，最大值是28.0t，极差为 28.0-1.3=26.7 这说明样本观测数据的变化范围是26.7t。 索引 §9.2 用样本估计总体 2. 决定组距与组数 合适的组距与组数对发现数据分布规律有重要意义.组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况。组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程。 数据分组的组数与数据的个数有关，一般数据的个数越多，所分组数也越多。当样本量不超过100时，常分成5~12组，为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”。 分组时可以先确定组距，也可以先确定组数。如果我们取所有组距为3，则 即可以将数据分为9组，这也说明这个组距是比较合适的。 索引 §9.2 用样本估计总体 3. 将数据分组 由于组距为3，9个组距的长度超过极差，我们可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值。例如，可以取区间为[1.2，28.2]，按如下方式把样本观测数据以组距3分为9组： [1.2,，4.2)，[4.2，7.2)，…，[25.2，28.2] 4. 列频率分布表 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是 作出频率分布表。 索引 §9.2 用样本估计总体 分组 频数 频率 [1.2，4.2) 23 0.23 [4.2，7.2) 32 0.32 [7.2，10.2) 13 0.13 [10.2，13.2) 9 0.09 [13.2，16.2) 9 0.09 [16.2，19.2) 5 0.05 [19.2，22.2) 3 0.03 [22.2，25.2) 4 0.04 [25.2，28.2] 2 0.02 合计 100 1.00 索引 §9.2 用样本估计总体 5. 画频率分布直方图 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 - - - - - - 月用水量/t 0.077 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 在图中，横轴表示月均用水量，纵轴表示频率/组距，这里，频率/组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高组距度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度。这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小。 索引 §9.2 用样本估计总体 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 - - - - - - 月用水量/t 0.077 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 特征：（1） （2）在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，即样本数据落在整个区间的频率为1。 索引 §9.2 用样本估计总体 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 - - - - - - 月用水量/t 0.077 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 从频率分布表可以清楚地看出，样本观测数据落在各个小组的比例大小。例如，月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民用户最多，在区间[1.2，4.2)内的次之而月均用水量超过 16.2的各区间内数据所占比例较小，等等。 从频率分布直方图容易看出，居民用户月均用水量的样本观测数据的分布是不对称的，图形的左边高、右边低，右边有一个较长的“尾巴”。这表明大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域，尤其在区间[1.2，7.2)最为集中，少数居民用户的月均用水量偏多，而且随着月均用水量的增加，居民用户数呈现降低趋势。 索引 §9.2 用样本估计总体 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 - - - - - - 月用水量/t 0.077 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 有了样本观测数据的频率分布，我们可以用它估计总体的取值规律，根据100户居民用户的月均用水量的频率分布，可以推测该市全体居民用户月均用水量也会有类似的分布，即大部分居民用户月均用水量集中在较低值区域。这使我们确定用水量标准时，可以定一个合适的值，以达到既不影响大多数居民用户的水费支出，又能节水的目的。需要注意的是，由于样本的随机性，这种估计可能会存在一定误差，但这一误差一般不会影响我们对总体分布情况的大致了解。 索引 §9.2 用样本估计总体 除频率分布直方图外，我们在初中还学习过条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图等。不同的统计图在表示数据上有不同的特点：例如，扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势，不同的统计图适用的数据类型也不同，例如，条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用描述连续型数据等，因此，在解决问题的过程中，要根据实际问题的特点，选择恰当的统计图对数据进行可视化描述，以使我们能通过图形直观地发现样本数据的分布情况，进而估计总体的分布规律。详见课本P199-202页例1。 索引 §9.2 用样本估计总体 9.2.2 总体百分位数的估计 问题2 如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费用支出不受影响，根据上一小节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？ 【分析】首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%.下面我们通过样本数据对a的值进行估计。 把 100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8。可以发现，区间[13.6，13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分。 一般地，我们取这两个数的平均数13.7，并称此数为这组数据的第80百分位数，或 80%分位数。 索引 §9.2 用样本估计总体 根据样本数据的第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右。由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便可以建议市政府把月均用水量标准定为14t，或者把年用水量标准定为168t。 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值。 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据。 第2步，计算 i = n × p % 。 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为i，则第力百分位数为第i项数据；若i是整数，则第户百分位数为第i项与第（i-1）项数据的平均数。 索引 §9.2 用样本估计总体 我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数。在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数。 这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等。另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用。 索引 §9.2 用样本估计总体 如何在频率分布直方图来表示第p百分位数？ 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 - - - - - - 月用水量/t 0.077 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 【例1】在下面频率分布直方图中估计月均用水量的样本数据的80%分位数。 前四组的面积为 前五组的面积为 所以80%分位数在区间[13.2，16.2)之间，设为x 索引 §9.2 用样本估计总体 【例2】下面是高一某班在某次数学考试中的频率分布直方图。 （1）求出a的值； （2）求该班的中位数。 解：（1）根据频率分布直方图的性质 （2）前三组的面积为 前四组的面积为 所以中位数在区间[70，80)之间，设为x 索引 §9.2 用样本估计总体 9.2.3 总体集中趋势的估计 为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律。但有时候，我们可能不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某一方面的特征。例如，对于某县今年小麦的收成情况，我们可能会更关注该县今年小麦的总产量或平均每公顷的产量，而不是产量的分布；对于一个国家国民的身高情况，我们可能会更关注身高的平均数或中位数，而不是身高的分布。等等。 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势。下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势。 在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的。此时，通常假设它们在组内均匀分布。这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数。 索引 §9.2 用样本估计总体 1. 平均数和中位数 问题3 利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数。 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.6 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 3.7 17.0 3.8 9.5 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 索引 §9.2 用样本估计总体 根据9.2.1节中100户居民用户月均用水量的数据，由样本平均数的定义，可得 将样本数据按从小到大排序，得第50个数和第51个数均为6.8，由中位数的定义，可得100户居民的月均用水量的中位数是6.8t。 因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t，其中位数约为6.8t。 索引 §9.2 用样本估计总体 小明用统计软件计算了 100 户居民用水量的平均数和中位数。但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77。请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较。哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？ 通过简单计算可以发现，平均数由原来的8.79t变为9.483t，中位数没有变化，还是6.8t。这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变。因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感。 索引 §9.2 用样本估计总体 如何在频率分布直方图来表示平均数和中位数？ 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 - - - - - - 月用水量/t 0.077 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。 为什么用样本平均数的方法和频率分布直方图所算出来的平均数不一样？哪个更准确？ 频率分布直方图的平均数是基于组中值的近似计算，忽略了组内数据分布的细节；样本平均数更准确，因为它直接利用每个数据点的真实值，避免了分组带来的误差。 索引 §9.2 用样本估计总体 在上一节的学习中，我们知道中位数是第50百分位数，也学习了第p百分位数在频率分布直方图中的介绍方法。 【例3】利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的频率分布直方图，计算样本数据的中位数。 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 - - - - - - 月用水量/t 0.077 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 第一组的面积为 前两组的面积为 所以中位数在区间[4.2，7.2)之间，设为x 索引 §9.2 用样本估计总体 2. 众数 众数只利用了出现次数最多的那个值的信息。众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度。因此，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感。 一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数。 在频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值。众数常用在描述分类型数据中，众数“5.7”让我们知道月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民用户最多。这个信息具有实际意义。 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 - - - - - - 月用水量/t 0.077 0.107 0.043 0.030 0.030 0.017 0.010 0.013 0.007 索引 §9.2 用样本估计总体 以上我们讨论了平均数、中位数和众数等特征量在刻画一组数据的集中趋势时的各自特点，并研究了用样本的特征量估计总体的特征量的方法。需要注意的是，这些特征量有时也会被利用而产生误导。 例如，假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元”，你该如何理解这句话？ 这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况。例如，可能这个企业的工资水平普遍较高，也就是员工年收入的中位数、众数与平均数差不多；也可能是绝大多数员工的年收入较低，而少数员工的年收入很高，甚至达到100万元，在这种情况下年收入的平均数就比中位数大得多。尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数。 索引 §9.2 用样本估计总体 索引 §9.2 用样本估计总体 索引 §9.2 用样本估计总体 9.2.4 总体离散趋势的估计 问题4 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 【分析】通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7。从这个角度看，两名运动员之间没有差别。 索引 §9.2 用样本估计总体 但从上图中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定，可见，他们的射击成绩是存在差异的。 我们可以通过极差、方差和标准差等刻画“波动范围”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的离散趋势。下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的离散趋势估计总体的离散趋势。 索引 §9.2 用样本估计总体 1. 极差 极差又称范围误差或全距，样本中最大值与最小值之间的差距就是该样本的极差，即最大值减最小值后所得之数据。它是标志值变动的最大范围，它是测定标志变动的最简单的指标。 可以发现甲的成绩波动范围比乙的大。极差在一定程度上刻画了数据的离散程度。但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少。 索引 §9.2 用样本估计总体 2. 方差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数。我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即 可以得到这组数据x1，x2，…，xn，到的“平均距离”为 为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即 我们称上式为这组数据的方差。 索引 §9.2 用样本估计总体 有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式 方差提供了衡量数据在平均值附近波动程度的方法：方差越大，数据分布越分散，波动越大；方差越小，数据越集中，波动越小。为了消除偏差带来的正负抵消，方差通过对偏离均值的差值进行平方后取期望的方式，达到了衡量数据散布程度的目的。 索引 §9.2 用样本估计总体 3. 标准差 由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致。为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即 我们称上式为这组数据的标准差。 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称 为总体方差， 为总体标准差。 索引 §9.2 用样本估计总体 与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式。 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体方差为 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称 为样本方差， 为样本标准差。 索引 §9.2 用样本估计总体 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的。但在解决实际问题中，一般多采用标准差。 在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是知的。就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差，在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性。 索引 §9.2 用样本估计总体 问题4 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 经过计算可知 由s甲>s乙可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定。 如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置。如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲。 索引 §9.2 用样本估计总体 集中趋势和离散趋势共同刻画数据的全貌： 仅依赖均值可能掩盖数据的波动性（如“平均水深”误导过河安全性）； 结合标准差或四分位距，能更科学地评估数据的可靠性和代表性。 在后续学习中，我们将利用这些概念构建置信区间、进行假设检验等。请同学们通过练习熟练掌握计算，并思考如何在实际问题（如社会调查、质量控制）中灵活应用。 索引 §9.2 用样本估计总体 $$