9.2.3-9.2.4 总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

9.2.3&9.2.4　总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计 【考点梳理】 考点一：众数、中位数、平均数 1.众数：一组数据中出现次数最多的数. 2.中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数. 3.平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数. 考点二：总体集中趋势的估计 1.平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势. 2.一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数. 考点三　频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 1.样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替. 2.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等. 3.将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. 考点四：方差、标准差 1.假设一组数据为x1，x2，…xn，则这组数据的平均数＝，方差为s2＝，标准差s＝ 2.如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝为总体方差，S＝为总体标准差. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝ 3.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝为样本方差，s＝为样本标准差. 4.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. 【题型归纳】 题型一、频率分布直方图平均数的计算 1．（2023·高一单元测试）某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（    ） A．中位数70 B．众数75 C．平均数68.5 D．平均数70 2．（2023·全国·高一专题练习）某次考试后，甲、乙两班的数学老师分别统计了各自班级学生的数学成绩（百分制，均位于内），并将所得数据按照，，，，，分组得到如图所示的频率分布直方图.在两个班级参考人数相等的前提下，下列说法正确的是（    ） A．乙班学生数学成绩的平均数的估计值高于甲班学生数学成绩的平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替） B．乙班学生数学成绩的最高分高于甲班学生数学成绩的最高分 C．甲班学生数学成绩不及格（60分以下）的人数多于乙班 D．甲班学生数学成绩的中位数的估计值小于乙班学生数学成绩的中位数的估计值 3．（2022·高一单元测试）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与19s之间，将测试结果按如下方式分成六组：，，，，，．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17s的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15s且小于17s的学生人数为y，平均成绩为z，则从频率分布直方图中可分析出x，y，z的值分别为（    ） A．90%，35，15.86 B．90%，45，15.86 C．90%，35，16 D．10%，45，16 题型二、平均数、中位数、众数的应用 4．（2023·全国·高一专题练习）某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．该次课外知识测试及格率为 B．该次课外知识测试得满分的同学有名 C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数 D．若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名 5．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两位同学本学期前8周的各周课外阅读时长的条形统计图如图所示， 则下列结论正确的是（    ） A．甲同学周课外阅读时长的样本众数为8 B．甲同学周课外阅读时长的样本中位数为5.5 C．乙同学周课外阅读时长的样本平均数是7.5 D．乙同学周课外阅读时长大于8的概率的估计值大于0.4 6．（2023春·高一单元测试）为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（    ） A．甲班众数小于乙班众数 B．乙班成绩的75百分位数为79 C．甲班的中位数为74 D．甲班平均数大于乙班平均数估计值 题型