精品解析：广东省广州市天河区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024学年第二学期天河区期末考试 高一数学 本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是 A. 1 B. -1 C. i D. -i 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题；，则它的虚部为：． 考点：复数的运算及其概念. 2. 如果向量，是两个单位向量，那么下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助向量定义及数量积定义进行判断即可得. 【详解】对A：向量不等于数字，故A错误； 对B：向量，方向不一定相同，故B错误； 对C：，，故C正确； 对D：，两向量夹角未知，故D错误. 故选：C. 3. 某企业三个分厂生产同一种电子产品共2000件，用分层随机抽样方法从三个分厂共抽取100件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂20件，来自第三分厂30件，则第一分厂生产的电子产品件数为（ ） A. 400件 B. 600件 C. 1000件 D. 1200件 【答案】C 【解析】 【分析】借助分层随机抽样的定义计算即可得. 【详解】设第一分厂生产的电子产品件数为件， 则有，故， 即第一分厂生产的电子产品件数为件. 故选：C. 4. 甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由独立事件乘法公式得到，进而利用求出答案. 【详解】甲、乙两个元件互相不影响，故事件相互独立， ， . 故选：A 5. 若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 8 C. 或 D. 2或8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，三向量两两夹角为0或，当夹角为0时，直接求模，当夹角为时，利用向量求模公式即可求解． 【详解】若平面向量，，两两的夹角相等，则夹角为0或， 若夹角为0， 因为 则， 若夹角为，， 则． 故选：D． 6. 在中，，，，现以所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】旋转形成的几何体为两个共同底面的圆锥，求出底面半径，结合圆锥侧面积公式计算即可得. 【详解】设边上的高为，，，则， 则旋转形成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为和， 则这个几何体的表面积. 故选：A. 7. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 8. 某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据统计结果，得到数据的平均数为2，方差为2.4，下列说法错误的是（ ） A. 出现点数5 B. 出现点数6 C. 出现点数1 D. 出现点数2 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差公式直接计算即可得解. 【详解】由，故不可能出现点数6， 由、，， 故点数5、1、2都可能出现. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合是目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限 C. 是复数（a，）为虚数的充分不必要条件 D. 若复数是关于x的实系数方程的一个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出复数的模判断A；求出复数对应的点判断B；利用充分不必要条件的定义，结合虚数的意义判断C；利用韦达定理求解判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，在平面内对应的点在第一象限，B正确； 对于C，是复数（a，）为虚数的充要条件，C正确； 对于D，复数是关于x的实系数方程的一个根，则该方程另一根为， 则，解得，因此，D正确. 故选：ABD 10. 下列论述正确的是（ ） A. 若事件，则 B. 必然事件与任意事件相互独立 C. 若事件M，N互斥，且，，则 D. 若事件M，N相互独立，且，，则事件M，N不互斥 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用概率的性质判断A；利用相互独立事件的意义判断B；利用事件的运算及概率运算判断C；利用相互独立事件的意义、互斥事件的意义判断D. 【详解】对于A，由事件，得，当且仅当取等号，A错误； 对于B，对任意事件，，，B正确； 对于C，由事件M，N互斥，得，，C正确； 对于D，由事件M，N相互独立，，，因此M，N不互斥，D正确. 故选：BCD 11. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（ ） A. 平面 B. 直线与底面所成的角为60° C. 正三棱台的外接球体积为 D. 若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正三棱台的性质，利用边长，侧棱长等条件，通过相关几何关系进行判断和计算. 详解】 设三棱台上下底面中心分别为,.连接,,,, 上下底面均为正三角形，则,. 已知侧棱长,由正三棱台性质可知，上下底面. 直角梯形中，. 选项A，假设平面，而平面，则平面平面， 与正三棱台的两个侧面不垂直矛盾，因此不垂直于平面，选项A错误； 选项B，直线与底面的角为与投影的夹角θ， 根据前面计算可知,,,, 在中，，所以，选项B对； 选项C，设正三棱台的外接球的球心为M，半径为R. 设，则. 由,，. 在直角梯形中， 则，，即， 所以外接球体积,选项C对； 选项D，因为,,. 交线圆半径，圆心为在底面的投影（）. 底面为正三角形，交线圆与边、相交，形成圆心角为的弧，弧长，选项D对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是__________. 【答案】19 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第80百分位数的意义求得答案. 【详解】样本数据由小到大排列为：10，11，12，13，15，15，17，18，20，21， 由，得该组数据的第80百分位数是. 故答案为：19 13. 设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定图形，进而求出面积. 【详解】由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心， 分别以1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以所求面积为. 故答案为： 14. 已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分为钝角，为钝角两种情况，结合余弦定理和三角形三边关系得到不等式，求出的取值范围，进而求出周长的取值范围. 【详解】显然，所以， 因为为钝角三角形，故为钝角，或为钝角， 当为钝角时，， 故，解得， 又，故，故，故， 此时的周长取值范围是，即， 当为钝角时，， 故，故， 又，故， 此时的周长取值范围是， 综上，的周长取值范围是， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，，. （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 在长方体中，， 则四边形是平行四边形，，而平面，平面, 所以直线平面. 【小问2详解】 在长方体中，由，得，， 等腰的面积，， 设点到平面的距离为，由，得， 即，解得， 所以点到平面的距离为. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角A； （2）若的面积为，，且，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示及正弦定理边化角求解. （2）利用三角形面积公式、余弦定理及数量积的运算律求解. 【小问1详解】 由及，，得， 在中，由正弦定理得，而，即， 解得，即，又，所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 由余弦定理得，解得， 由，得，则， 所以. 17. 一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同. （1）若，；采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率； （2）若，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求n； （3）若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求出古典概率. （2）按取红球、白球的先后次序求出概率，再结合已知列式求解. （3）利用有放回抽取的概率求出的表达式，再求出最大值. 【小问1详解】 记2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间， ，共20个， 第二次取到白球的事件，共6个， 所以第二次取到白球的概率. 【小问2详解】 从个球中依次取2个球的试验有个基本事件， 先取红球再取白球事件有个基本事件；先取白球再取红球的事件有个基本事件， 因此，整理得，解得或， 所以或. 【小问3详解】 有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为， 先取白球再取红球的概率为；先红取球再取白球的概率为， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 18. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在25～325kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （1）求x的值； （2）若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119（kW·h）； （i）估计105户居民用户月用电量落在中的可能性； （ii）将原来的100户与新增的5户分成两组，估计105户居民用户月用电量的平均值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） kW·h 【解析】 【分析】（1）借助频率之和为计算即可得； （2）（i）借助频率、频数与总数的关系计算即可得；（ii）先计算出原来的100户居民用户月用电量的平均值，即可得105户居民用户月用电量的平均值. 【小问1详解】 由已知和频率之和为1得， 解得； 【小问2详解】 （i）新增加的5户居民用户的月用电量落在的有2户， 则， 即105户居民用户月用电量落在中的可能性为； （ii）设原来100户居民用户月用电量的平均值为， 则 ， 则， 即可估计105户居民用户月用电量的平均值为 kW·h. 19. 在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点，F为棱的动点，连接、、. （1）证明：； （2）线段上是否存在点，使得二面角的正切值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由； （3）平面与棱交于点，设四边形的面积为，面积为，面积为，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，且 （3） 【解析】 【分析】（1）连接、，借助等腰三角形三线合一即可得证； （2）取中点，连接，，过点作于点，连接、，可得即为二面角的平面角，则，则可得，即可得解； （3）设，则，先求出的关系以及取值范围，然后将转化为、表示，求解取值范围即可得. 【小问1详解】 连接、，由题意可得四边形、四边形都是边长为的正方形， 则，又为棱的中点，则， 又，故； 【小问2详解】 取中点，连接，，过点作于点，连接、， 由为正三角形，则，又底面， 平面，故， 又，、平面， 故平面，又、平面，故、， 又，，、平面， 故平面，又平面，故， 故即为二面角的平面角，则， 又正三棱柱的棱长均为2，则，则，故， 由，故， 则， 即有， 则，故存在，且. 小问3详解】 设直线与的延长线分别交于点，则平面， 又平面，则有平面平面，， 即A，G，M三点共线，由为棱的中点，则，， 设，， 则，，设面积为，则， 又，于是，， 令，，函数在上单调递减， 则，，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期天河区期末考试 高一数学 本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数虚部是 A. 1 B. -1 C. i D. -i 2. 如果向量，是两个单位向量，那么下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某企业三个分厂生产同一种电子产品共2000件，用分层随机抽样方法从三个分厂共抽取100件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂20件，来自第三分厂30件，则第一分厂生产的电子产品件数为（ ） A. 400件 B. 600件 C. 1000件 D. 1200件 4 甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 8 C. 或 D. 2或8 6. 在中，，，，现以所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 8. 某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据统计结果，得到数据的平均数为2，方差为2.4，下列说法错误的是（ ） A. 出现点数5 B. 出现点数6 C. 出现点数1 D. 出现点数2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合是目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A 若复数，则 B. 若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限 C. 是复数（a，）为虚数的充分不必要条件 D. 若复数是关于x的实系数方程的一个根，则 10. 下列论述正确的是（ ） A. 若事件，则 B. 必然事件与任意事件相互独立 C. 若事件M，N互斥，且，，则 D. 若事件M，N相互独立，且，，则事件M，N不互斥 11. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（ ） A. 平面 B. 直线与底面所成的角为60° C. 正三棱台的外接球体积为 D. 若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是__________. 13. 设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 14. 已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，，. （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角A； （2）若的面积为，，且，求. 17. 一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同. （1）若，；采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率； （2）若，采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求n； （3）若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值. 18. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在25～325kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （1）求x的值； （2）若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119（kW·h）； （i）估计105户居民用户月用电量落在中的可能性； （ii）将原来的100户与新增的5户分成两组，估计105户居民用户月用电量的平均值. 19. 在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点，F为棱的动点，连接、、. （1）证明：； （2）线段上是否存在点，使得二面角的正切值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由； （3）平面与棱交于点，设四边形的面积为，面积为，面积为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $