21.2.3 因式分解法 讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2.3 因式分解法 讲义 知识点梳理 一、因式分解法的概念 因式分解法是通过将一元二次方程进行因式分解，把方程化为两个一次因式乘积等于零的形式，然后根据“若两个数的乘积为零，则至少其中一个数为零”的原理来求解方程的方法。 二、利用因式分解法解一元二次方程的步骤 （一）将方程化为一般形式 首先要确保方程是一元二次方程的一般形式（），以便后续进行准确的因式分解操作。 （二）对等式左边进行因式分解 把方程左边的二次三项式分解成两个一次因式的乘积形式，常见的因式分解方法有： 1.提公因式法：如果多项式各项都有公因式，就先提取公因式。例如对于方程，可先提取公因式，得到。 2.公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。比如方程，可利用平方差公式分解为；方程，可利用完全平方公式分解为。 3.十字相乘法：对于二次三项式（），当时，若能找到两个数、，使得且，则可将其分解为。例如方程，因为且，所以可分解为。当时，也可通过类似的思路找到合适的分解方式，如对于方程，可分解为。 （三）求解方程 将方程化为两个一次因式乘积等于零的形式后，根据“若两个数的乘积为零，则至少其中一个数为零”的原理，分别令每个一次因式等于零，得到两个一元一次方程，然后求解这两个一元一次方程，其解就是原一元二次方程的解。 例如，对于方程，则有或，解得，；对于方程，则有，解得；对于方程，则有或，解得，。 三、因式分解法的特点 1.简便快捷：对于一些能够容易进行因式分解的一元二次方程，使用因式分解法求解往往比配方法和公式法更加简便直接，不需要进行复杂的配方或代入公式计算判别式等操作。 2.基于恒等变形：它是通过对代数式进行恒等变形，将原方程转化为更易求解的形式，体现了代数式变形在解方程中的应用。 四、因式分解法的应用 因式分解法在解决实际数学问题以及后续学习中都有广泛应用。在实际问题中，当把实际情况转化为一元二次方程后，如果方程可以通过因式分解法求解，就能快速得到答案。在后续学习二次函数等知识时，也会经常用到因式分解的思想和方法对相关式子进行处理，以便更好地分析函数的性质等。 同步练习 一、选择题 1．一元二次方程的根为（　　） A． B． C．， D．， 2．若等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．10 C．12 D．9或12 3．一元二次方程的两个根为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．若等腰一条边的长度为1，另外两条边的长度分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，那么的周长是（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．不确定 5．若三角形的一边长是6，另外两边长分别是方程的两根，则该三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．18 D．20 6．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（　　） A．1 B．0 C．1或2 D．2 二、填空题 7．如关于x的方程的一个根是，则另一个根是　 　． 8．已知，则　 　． 9．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长为　 　. 10．对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则　 　． 11．在实数范围内定义运算“”和“”，其规则为：，，则方程的解为　 　． 三、解答题 12．解下列方程： （1）． （2）． 13．已知关于x 的一元二次方程 （1）求证：不论m 为何值时，方程总有实数根. （2）当m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根? 14．在学习了解一元二次方程后，老师出示了这样一个题目 解方程：． 佳琪同学的解答过程如下： 方程两边同时除以， 得， 所以， 因此，方程的解为． （1）试判断佳琪的解法是否正确，若不正确，请说明理由． （2）根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 参考答案 1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．3 8．5 9．13 10．4或1 11． 12．（1）解：∵，∴， ∴或， ∴， （2）解：∵，∴， ∴， ∴或， ∴， 13．（1）证明：Δ=(m+2)2-8m=(m-2)2≥0 ∵m≠0， ∴当m取任何值时，方程总有实数根 （2）解：mx2-(m+2)x+2=0， ∴(x-1)(mx-2)=0， ∴x=1或 由题意可知：m≠2且m≠0且m≠-1， 由题意可知：m=1 14．（1）解：佳琪的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴方程的解为，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$