1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 1 章 集合与常用逻辑用语 人教A版2019必修第一册 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 目录 CATALOG 01.全称量词命题的否定 03.典型例题分析 02.全称量词命题与存在量词命题的综合应用 04.小结及随堂练习 学习目标 能写出命题的否定，并会判断真假；会正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定（重点） 理解全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题（难点） 01 全称量词命题的否定 全称量词命题和存在量词命题的否定 导入新知 同学们，大家好！今天咱们来聊聊一个大家再熟悉不过的话题——“命题的真假”。 在咱们班里，每个同学都有自己的观点和判断，比如有的同学认为“所有的矩形都是平行四边形”是对的， 有的同学认为“存在一个矩形不是平行四边形”也是对的。 那大家有没有想过，这两个命题之间有什么关系呢？ 其实，这两个命题就是我们今天要学习的全称量词命题和存在量词命题的否定。 通过学习全称量词命题和存在量词命题的否定，咱们就能更好地理解和解决这些问题啦。 导入新知 同学们，大家好！今天咱们来聊聊一个大家再熟悉不过的话题——“广告语”。 在日常生活中，我们经常会看到各种各样的广告语， 比如“所有购买我们产品的顾客都能享受终身保修服务” “本店有部分商品正在打折促销”。 这些广告语中就蕴含着我们今天要学习的全称量词命题和存在量词命题。 那么，如果这些广告语是虚假的，它们的否定又是什么呢？ 通过学习全称量词命题和存在量词命题的否定，咱们就能更好地理解和辨别这些广告语的真假啦。 那接下来，就让我们一起走进全称量词命题和存在量词命题的否定的世界，去探索其中的奥秘吧！ 导入新知 对一个命题进行否定，得到的新命题称为原命题的否定. 一个命题和它的否定只能一真一假，不能同真同假. 原命题 命题的否定 56是7的倍数 56不是7的倍数 我段考一数学能考130分以上 我段考一数学不能考130分以上 所有的平行四边形都是矩形 假 真 假 真 所有的平行四边形都不是矩形 并非所有的平行四边形都是矩形 有的平行四边形不是矩形 假 真 真 假 学习新知 探究 其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形； 命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数； 学习新知 探究 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题． 牛刀小试 全称命题的否定及其真假判断 牛刀小试 全称命题的否定及其真假判断 牛刀小试 全称命题的否定及其真假判断 认识新知 一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可． 也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 牛刀小试 全称命题的否定及其真假判断 牛刀小试 全称命题的否定及其真假判断 应用新知 （1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数． （2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上． 应用新知 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 反思感悟 探究新知 其中命题（1）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题（2）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 探究新知 从命题的形式看，这三个存在量词命题的否定都成了全称量词命题． 牛刀小试 特称命题的否定及其真假判断 牛刀小试 特称命题的否定及其真假判断 牛刀小试 特称命题的否定及其真假判断 认识新知 一般来说，对含有一个量词的存在量词进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可． 也就是说，存在量词c命题的否定是全称量词命题． 牛刀小试 全称命题的否定及其真假判断 牛刀小试 判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题、特称命题的否定及其真假判断 牛刀小试 判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题、特称命题的否定及其真假判断 总结新知 量词 常见用词 符号 命题 命题的否定 全称量词 任意、所有… 存在量词 存在、至少有一个 一真一假 ②否定量词和结论p(x). 总结新知 (1)存在量词命题的形式是“”，其否定形式为“”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题. (2)存在量词命题的否定真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可. 存在量词命题的否定形式与判断真假的方法 【类题通法】 02 全称量词命题与存在量词命题的综合应用 全称量词命题和存在量词命题的否定 应用新知 （2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形． （3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数． 应用新知 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看， x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定 不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 应用新知 该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题． 解： （1） （2） 应用新知 总结新知 全称量词命题的否定 “∀x∈M，p(x)．”的否定为“∃x∈M，¬p(x)．” 全称量词命题的否定变成了存在量词命题. “∃x∈M，p(x)．”的否定为“∀x∈M，¬p(x)．” 存在量词命题的否定： 存在量词命题的否定变成了全称量词命题. 03 题型强化训练 全称量词命题和存在量词命题的否定 能力提升 题型一：全称量词命题的否定 能力提升 常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 能力提升 题型二：存在量词命题的否定 反思感悟　 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 能力提升 存在量词命题的否定形式 能力提升 题型三：全称量词命题、存在量词命题的综合应用 04 小结及随堂练习 全称量词命题和存在量词命题的否定 课堂小结 课堂小结 1．对全称量词命题的否定以及特点的理解： (1)全称量词命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”，所以全称量词命题的否定的等价形式就是存在量词命题，将全称量词调整为存在量词，就要对p(x)进行否定，这是叙述命题的需要，不能认为对全称量词命题进行“两次否定”，否则就是“双重否定即肯定”，所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定． (2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定命题． 2．对存在量词命题的否定以及特点的理解： 作业 (1)整理本节课的题型； (2)课本P31的练习1-2题； (3)课本P31的习题1.5的4、5、6题. 全称量词命题和存在量词命题的否定 教材P31练习及参考答案 (2) 存在一个奇数的平方不是奇数 (3) 有一个平行四边形不是中心对称图形 教材P31练习及参考答案 2．写出下列命题的否定： （1）有些三角形是直角三角形； （2）有些梯形是等腰梯形； （3）存在一个实数，它的绝对值不是正数． （1）所有三角形都不是直角三角形； （2）所有梯形都不是等腰梯形 （3）任意实数的绝对值是正数 习题1.5及参考答案 1．判断下列全称量词命题的真假： （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点点的距离相等； （3）对任意负数x， x的平方是正数； （4）梯形的对角线相等． （4）假命题． （1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； 习题1.5及参考答案 （4）假命题． （1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； 习题1.5及参考答案 （2）存在一个可以被5整除的整数，它的末位数字不是0； （4）所有四边形的对角线都不互相垂直． 习题1.5及参考答案 4．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： （1）平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交； （2）每个二次函数的图象都是轴对称图形； （3）存在一个三角形，它的内角和小于180°； （4）存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上． （4）真命题，命题的否定：所有四边形的四个顶点在同一个圆上． （1）假命题，命题的否定：平面直角坐标系下存在一条直线不与x轴相交； （2）真命题，命题的否定：存在一个二次函数的图象，它不关于一条直线对称； （3）假命题，命题的否定：所有三角形的内角和大于或等于180°； 习题1.5及参考答案 5．将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写出它们的否定： （1）平行四边形的对角线互相平分； （1）所有平行四边形的对角线都互相平分，命题的否定：存在一个平行四边形的对角线不互相平分． （2）任意三个连续整数的乘积是6的倍数，命题的否定：存在三个连续整数的乘积不是6的倍数． （3）存在一个三角形不是中心对称图形，命题的否定：每一个三角形都是中心对称图形． （4）存在一个一元二次方程，它没有实数根，命题的否定：所有的一元二次方程都有实数根． （3）三角形不都是中心对称图形； （4）一元二次方程不总有实数根． （2）三个连续整数的乘积是6倍数； 习题1.5及参考答案 ②存在一个四边形，它为等腰梯形，但它的对角线不相等；假命题． 不对 习题1.5及参考答案 复习参考题1（第34页） 复习参考题1（第34页） 复习参考题1（第34页） 充要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 复习参考题1（第34页） 假命题 假命题 假命题 真命题 复习参考题1（第34页） 复习参考题1（第34页） 复习参考题1（第34页） 复习参考题1（第34页） 复习参考题1（第34页） 10．把下列定理表示的命题写成含有量词的命题： （1）勾股定理； （2）三角形内角和定理． （1）对任意直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （2）对任意三角形, 三个内角和等于180°． 复习参考题1（第34页） 11．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 设只参加田径一项比赛的有x人，根据题意作出如图所示的Venn图． 由Venn图知只参加游泳一项比赛的有9人， 游泳 田径 球类 9 3 3 0 x 6＋x 5－x 复习参考题1（第34页） （2）任意一个三角形三边上的高交于一点． 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】已知命题 ： ， ，则 为（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【解析】命题 ： ， ， 则 为： ， 故选：D. 【练习2】已知命题 ， ，则（ ） A．命题 ， 为假命题 B．命题 ， 为真命题 C．命题 ， 为假命题 D．命题 ， 为真命题 【解析】有题意知，命题 ， ， 又因为方程 的 ， 所以命题 为假命题. 故选：C. 【练习3】命题“ ， ”的否定是（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【解析】 ， 的否定是 ， ． 故选：A． 【练习4】命题“任意 ，使方程 都有唯一解”的否定是（    ） A．任意 ，使方程 的解不唯一 B．存在 ，使方程 的解不唯一 C．任意 ，使方程 的解不唯一或不存在 D．存在 ，使方程 的解不唯一或不存在 【解析】该命题的否定：存在 ，使方程 的解不唯一或不存在. 故选：D. 【练习5】命题“ ”的否定是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为 的否定为 ， 的否定为 ， 所以原命题的否定为： . 故选：C. 【变式1】 写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被2整除的整数都是偶数； (2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； (3)∀x∈R，使得5x－12＝0. 【解析】(1)该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数． (2)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上． (3)该命题的否定：∃x∈R，使得5x－12≠0. 【练习6】设命题 ，则命题p的否定是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意，结合含有一个量词的命题否定，即可求解. 【详解】根据题意，易知命题p的否定为 ， . 故选：C. 【练习7】命题“存在 ”的否定是（    ） A．不存在 B．存在 C．对任意的 D．对任意的 【解析】∵“ ”的否定为“ ”， ∴“存在 ”的否定为“对任意的 ”， 故选：D． 【练习8】命题“存在实数 ，使关于x的方程 有实数根”的否定是（    ） A．存在实数 ，使关于x的方程 无实根 B．不存在实数 ，使关于x的方程 有实根 C．对任意实数 ，方程 无实数根 D．至多有一个实数 ，使关于x的方程 有实根 【解析】由题意，命题“存在实数m，使 关于x的方程x2+mx﹣1＝0有实数根”是存在性命题， 根据全称命题与存在性命题的关系， 可得命题的否定为：“对任意实数m，方程x2+mx﹣1＝0无实数根” . 故选：C. 【练习9】命题“ ”的否定为（    ） A． B． C． D． 【解析】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“ ” 故选：C 【练习10】下列结论中正确的个数是（    ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“ ”是全称量词命题； ③命题“ ”的否定为“ ”； ④命题“ 是 的必要条件”是真命题； A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误； 对于②：命题“ ”是全称量词命题；故②正确； 对于③：命题 ，则 ，故③错误； 对于④： 可以推出 ，所以 是 的必要条件，故④正确； 所以正确的命题为②④， 故选：C 【变式2】写出下列命题的否定． (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 【解析】　(1)存在一个矩形不是平行四边形； (2)存在一个素数不是奇数； (3)∃x∈R，x2－2x＋1<0. 【变式3】 写出下列命题的否定,并判断其否定的真假: (1) :不论 取何实数,方程 必有实根; (2) . 存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论． 即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M， ． 存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后 进行否定． 【解析】 :存在一个实数 ,使方程 没有实数根. 因为该方程的判别式 恒成立,故 为假命题. (2) 为假命题. 【练习1】 写出下列命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形． 【解析】　(1)∃n∈Z，n∉Q. (2)存在一个奇数的平方不是奇数． (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形． 1.写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定． 2.有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”． 3.全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定 ：∃x∈M， ， 4.全称量词命题的否定是存在量词命题． 【解析】 (1)所有的四边形都没有外接圆; (2)所有平行四边形都不是菱形; (3) . 【练习2】 写出下列命题的否定. 有些四边形有外接圆; 某些平行四边形是菱形; (3) . 1．存在量词命题否定的方法及关注点 (1)方法：与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定． (2)关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等． 注意：不要把命题的否定和否命题混为一谈． 2．对省略量词的命题的否定 对于一个含有量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题，可以直接写出其否定，而对省略量词的命题在写命题的否定时，应首先根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其隐含的量词，确定是全称量词命题还是存在量词命题，先写成全称量词命题或存在量词命题的形式，再对其进行否定． 【练习3】对于任意实数 ,不等式 恒成立.求实数 的取值范围. 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 【解析】令 ,则 , 因为 ,不等式 恒成立, 所以只要 即可.所以所求 的取值范围是 . (1)由于全称量词命题的否定是存在量词命题，而命题p与 互为否定，所以存在量词命题的否定就是全称量词命题． (2)全称量词命题与存在量词命题以及否定命题都是形式化命题，叙述命题时要结合命题的内容和特点，灵活运用自然语言、符号语言进行描述，这样才能准确判断命题的真假． $$