18.5　分式方程 教案 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

18.5　分式方程 第1课时　分式方程的解法 课标摘录 能解可化为一元一次方程的分式方程; 能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理. 教学目标 1.了解分式方程的概念,会用去分母的方法解可化为一元一次方程的分式方程; 2.了解用去分母的方法解分式方程要进行检验的原因; 3.经历“实际问题—分式方程—整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力. 教学重难点 重点:解分式方程的基本思路和解法. 难点:解分式方程时可能无解的原因. 教学策略 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程(转化思想),基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母).要让学生在学习中讨论,从而理解、掌握.教师要提醒学生,规范解题过程,注意检验.要让学生清楚验根的必要性. 问题导入 代数式,,,. (1)整式是　　　　　　　;分式是　　　　　　　.  (2)用以上四个代数式中的两个组成方程,共能组成哪些不同的方程? (3)仔细观察由(2)组成的方程,思考未知数的位置有什么特点? 新知初探 任务一　分式方程的概念 活动:观察方程=,=,方程有什么特征?你能说出分式方程的定义吗? 【师生活动】学生代表发言,教师总结.教师引导学生通过类比的方法得到分式方程的概念. 归纳总结:分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 【即时测评】见导学案 任务二　分式方程的解法 活动1: 【教师活动】教师课件出示引言中的问题. 分析题目:如果设江水流速为v km/h,那么轮船顺流速度是(30+v)km/h,逆流速度是(30-v) km/h,根据时间=路程÷速度,知轮船顺流航行90 km所用时间为小时,逆流航行60 km所用时间为小时,根据题目中的信息“所用时间相等”,我们就可以列出方程=. 问题:如何解方程=? 【师生活动】教师引导学生将分式方程转化为整式方程,学生会在一元一次方程的基础上自然想到用“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求学生验根. 解:方程两边乘最简公分母(30+v)(30-v),得 90(30-v)=60(30+v),解得v=6. 检验:将v=6代入原方程,左边==右边,因此v=6是原分式方程的解. 所以江水的流速为6 km/h. 归纳总结:将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 活动2:运用上述“去分母”的方法解分式方程=. 问题1:x=5是分式方程=的解吗?如何进行验证? 解:将x=5代入原方程中,分母x-5和x2-25的值都为0,相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解,但不是分式方程=的解,实际上,这个分式方程无解. 问题2:为什么方程=去分母后得到的整式方程的解就是它的解,而方程=去分母后得到的整式方程的解却不是原分式方程的解? 【学生活动】学生阅读教材P165寻找答案,然后小组合作,相互交流想法. 小结:解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0,所以必须检验. 追问:怎样检验所得的整式方程的解是否为原分式方程的解?有哪些方法? 归纳总结:将整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解. 问题3:回顾解分式方程=和=的过程,你能归纳解分式方程的一般思路和步骤吗?解分式方程应该注意什么? 归纳总结:去分母解分式方程的步骤: (1)方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程; (2)解这个整式方程; (3)把整式方程的解代入最简公分母,检验最简公分母的值是否为0; (4)写出原方程的根. 可简记为“一化,二解,三检验”. 【即时测评】见导学案 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第1课时　分式方程的解法 1.分式方程的概念 2.解分式方程的一般步骤:(1)化;(2)解;(3)检验 教学反思 这节课的重点是让学生学会分式方程的基本解题步骤,并着重讲解分式方程为什么要检验,要让学生理解增根的由来,从而牢记分式方程在解题后要进行检验,避免解题出错. 第2课时　分式方程的应用 课标摘录 1.能解可化为一元一次方程的分式方程. 2.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程. 3.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解的合理性.建立模型观念. 教学目标 1.会列分式方程解决简单的实际问题,并理解要进行两方面的检验:检验所求得的未知数的值是否为所列方程的根;检验方程的根是否符合题意. 2.通过让学生经历找等量关系列方程的过程,培养学生分析问题和解决实际问题的能力,进一步体会方程思想、建模思想. 教学重难点 重点:会列分式方程解决实际问题. 难点:找出等量关系列出分式方程,将实际问题数学化. 教学策略 教学中,首先让学生回忆所学过的应用题的类型,复旧导新激发学生学习的兴趣.通过小组讨论、交流思路和想法,找到题目中的等量关系列方程,培养学生分析问题、解决问题的能力. 复习导入 我们现在所学过的应用题有哪几种类型?每种类型的基本公式是什么? (1)行程问题:路程=速度×时间; (2)工程问题:工作量=工时×工效; (3)数字问题:掌握十进制数的表示法; (4)利润问题:利润=售价-进价;利润率=利润÷进价;总价=售价×数量;打折后的销售价=标价×折扣. 新知初探 任务一　用分式方程解决工程问题 活动:两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 问题:(1)“哪个队的施工速度快”是比较两个队的哪个方面?工作效率. (2)工程问题的基本关系式是什么?工作量=工作时间×工作效率. (3)在工程问题中,当总工程量没有具体数量时,看作多少?单位1. (4)本题中甲队和乙队的工作效率及工作时间中哪些量是已知的?哪些量是未知的? 甲队的工作效率及工作时间、乙队的工作时间是已知的,乙队的工作效率是未知的. (5)设乙队单独施工1个月能完成总工程的. 根据题意填下表: 施工队 工作效率 工作时间 工作总量 甲队 一个半月 + 乙队 半个月 (6)本题的等量关系为　甲、乙两队工作总量的和=总工程量　.  (解题过程见课件) 归纳总结:列分式方程解应用题的一般步骤: 1.审:审清题意; 2.设:设出未知数; 3.列:根据相等关系列出方程; 4.解:解这个分式方程; 5.验:检验:(1)是不是分式方程的根;(2)是否符合题意; 6.答:写出答案. 【设计意图】通过问题,设置启发性的问题,渗透数学建模的思想,教给学生如何将未知问题转化为已知问题,为学生解决问题在思想方法上做铺垫. 【即时测评】见导学案 任务二　用分式方程解决行程问题 活动:某次列车平均提速v km/h.用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度是多少? 问题:(1)行程问题的基本关系式是　路程=速度×时间　;  (2)设提速前列车的平均速度为x km/h,那么列车提速后的平均速度为　(x+v)　 km/h;  (3)用相同时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,那么列车提速后行驶的路程为　(s+50)　 km;  (4)列车提速前所用的时间是　　 h,列车提速后所用的时间是　　 h;  (5)“相同时间”表示什么意思? 提速前列车行驶s km所用时间等于提速后列车行驶(s+50) km所用时间. (解题过程见课件) 【设计意图】通过层层设问,一步步引导学生把文字语言转化成数学语言,从中找出等量关系,进而列分式方程解决问题,培养学生的数学应用意识,提高分析问题和解决问题的能力. 【即时测评】见导学案 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第2课时　分式方程的应用 1.列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答 2.列分式方程解决工程问题 3.列分式方程解决行程问题 教学反思 本节课结合具体的教学内容采用“问题情境—建立数学模型—解释应用与拓展”的模式展开,使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型,让学生能够自觉地用数学的眼光观察世界,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$