17.2　用公式法分解因式 教学设计 2025—2026学年人教版数学八年级上册

17.2　用公式法分解因式 第1课时　运用平方差公式分解因式 课标摘录 能用公式法进行因式分解(指数为正整数). 教学目标 了解并掌握用平方差公式分解因式的运算法则. 教学重难点 重点:运用平方差公式分解因式. 难点:灵活运用平方差公式进行因式分解. 教学策略 复习平方差公式的形式和特点,让学生在做题中感受、理解平方差公式的意义,使学生通过运算,掌握运用平方差公式分解因式的方法. 情境导入 1.把下列各式分解因式. (1)x2-6x=　x(x-6)　;  (2)2a(m-n)-3(m-n)=　(m-n)(2a-3)　.  2.以上分解因式的过程用到了哪种方法? 新知初探 任务　用平方差公式分解因式 活动1:填空: (1)(x+5)(x-5)=　x2-25　;  (2)(3x+y)(3x-y)=　9x2-y2　.  活动2:上述运算过程运用了什么公式? 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2. 活动3:尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积: x2-25=　(x+5)(x-5)　;  9x2-y2=　(3x+y)(3x-y)　.  追问1:以上分解因式的过程用了什么方法? 把平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换,就得到a2-b2=(a+b)(a-b). 追问2:你能根据符号语言写出文字语言吗? 两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积. 追问3:下列多项式能否用平方差公式来分解因式,为什么? (1)x2+y2;(2)x2-y2;(3)-x2-y2;(4)-x2+y2;(5)x2-25y2;(6)m2-1. 【设计意图】通过辨析,探究出什么特征的多项式可以用平方差公式分解因式,进一步理解公式的特点. 【典例讲解】 例1　分解因式: (1)4x2-9;(2)a2-25b2. 问题:(1)中4x2可以写成(　　)2,9=(　　)2; (2)中25b2可以写成(　　)2. 解:(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). (2)a2-25b2=a2-(5b)2=(a+5b)(a-5b). 【设计意图】进一步巩固用平方差公式分解因式的应用,进一步培养学生的逆向思维和勤于观察的习惯. 【即时测评】见导学案 【典例讲解】 例2　分解因式: (1)x2-y4;(2)(x+p)2-(x+q)2. 解:(1)x2-y4=x2-(y2)2=(x+y2)(x-y2). (2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q). 【设计意图】通过例2(1)进一步巩固用平方差公式分解因式的应用,进一步培养学生的逆向思维,通过例2(2)进一步加深对公式本质的认识,体会整体的数学思想. 【即时测评】见导学案 【典例讲解】 例3　已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值. 解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2, x+y=1①, ∴x-y=-2②. 解①②组成的二元一次方程组,得 综上,x-y=-2,x=-,y=. 【设计意图】设置讲解典型,将分解因式与列方程组求值综合考查,进一步帮助学生深入理解知识,并能举一反三,提高学生独立分析问题的能力和灵活运用知识解决问题的能力. 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第1课时　运用平方差公式分解因式 符号语言:a2-b2=(a+b)(a-b) 文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积. 教学反思 运用平方差公式分解因式的关键是要弄清平方差公式的形式和特点,让学生在做题中感受、理解运用平方差公式分解因式的方法. 第2课时　运用完全平方公式分解因式 课标摘录 能用公式法进行因式分解(指数为正整数). 教学目标 1.了解完全平方式及公式法的概念,会用完全平方公式进行因式分解. 2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握分解因式的基本步骤. 教学重难点 重点:运用完全平方公式分解因式. 难点:灵活运用完全平方公式进行因式分解. 教学策略 本节课首先引导学生认识完全平方式的结构特征,以学生自主观察、分析、归纳为主要形式,鼓励学生分组讨论、集中归纳,充分调动学生的积极性. 复习导入 我们已经学过哪些因式分解的方法? (1)提公因式法:pa+pb+pc=p(a+b+c). (2)a2-b2=(a+b)(a-b). 你能用已学的分解因式的方法分解多项式a2+2a+1吗? 新知初探 任务　用完全平方公式分解因式 问题1:在横线上填上适当的式子,使等式成立. (1)(a+b)2=　　　　　;(2)(a-b)2=　　　　　;  (3)a2+2ab+b2=(　　　　　)2;(4)a2-2ab+b2=(　　　　　)2.  问题2:请观察上面的等式,回答下列问题. (1)(2)两式从左到右是什么变形?(3)(4)两式从左到右是什么变形?能应用(3)(4)两式分解因式吗? 归纳总结:把整式乘法的完全平方公式等号两边交换位置就得到因式分解的公式. 即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2. 文字语言:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方. 我们把a2+2ab+b2与a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式. 利用完全平方公式,可以把形如完全平方式的多项式分解因式. 【设计意图】回顾整式乘法与因式分解的联系与区别,引出完全平方公式,培养学生归纳概括的能力与合作的能力.以思考——探究——归纳的方式帮助学生完成知识的构建. 活动:探究完全平方式的特点. 观察多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2. 思考每个多项式有几项?每个多项式的第一项和第三项有什么特征?中间项和第一项、第三项有什么关系? 归纳总结:判断一个式子是不是完全平方式. (1)看项数:必须是三项式(或可以看成三项的多项式); (2)看平方:有两个同号的数或式的平方; (3)看乘积:必须是两底数之积的±2倍. 凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方的形式,便实现了因式分解. 记忆方法:首平方,尾平方,二倍首尾放中央. 【典例讲解】 例1　下列各式是不是完全平方式? (1)a2-4a+4;(2)1+4a2;(3)4b2+4b-1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25. 解:(1)(5)是,(2)(3)(4)不是. 【设计意图】让学生在不断“试错”中加深对完全平方式的理解,为学习下面的内容作铺垫. 【典例讲解】 例2　分解因式: (1)x2+4x+4;(2)16x2-24x+9. 解:(1)x2+4x+4=x2+2·x·2+22=(x+2)2; (2)16x2-24x+9=(4x)2-2·4x·3+32=(4x-3)2. 【设计意图】通过例题的解决,有助于学生对运用完全平方公式分解因式的理解,培养了学生的抽象概括能力,符合学生的认知水平. 【即时测评】见导学案 【典例讲解】 例3　分解因式: (1)(a+b)2-12(a+b)+36;(2)-x2+4xy-4y2. 分析:在(1)中,把a+b看作一个整体,设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36;对于(2),可通过添括号将原式写成-(x2-4xy+4y2),括号内的式子是完全平方式. 解:(1)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2. (2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2. 【设计意图】通过二次三项式各部分与因式分解中完全平方公式的相应部分进行比较,培养学生的对应思想和公式化思想;通过把一个多项式视为一个整体的处理方式,培养学生的整体思想和转化思想. 归纳总结:把乘法公式的等号两边互换,就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 【即时测评】见导学案 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第2课时　运用完全平方公式分解因式 教学反思 在用公式法因式分解时,通过多项式与公式的对应比较,培养逆向思维;在解决具体问题时所采用的整体思想、转化思想等,都有效地促进了学生思维的发展. 第3课时　提公因式法与公式法的综合运用 课标摘录 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数). 教学目标 1.综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解. 2.在运用提公因式法和公式法进行因式分解的同时,培养学生的观察、比较、判断以及运算能力. 教学重难点 重点:综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解. 难点:因式分解方法的灵活应用. 教学策略 采取启发式的教学方法,引导学生积极思考问题,从中培养学生的独立思考能力,并加强训练.本节课要求学生掌握公式法的特点,能灵活运用提公因式法和公式法把多项式进行因式分解.在教学设计中要用形式多样的课堂练习,让学生从不同角度理解公式的特点. 情境导入 1.把下列各式分解因式: (1)30x3y2-48x2yz=　6x2y(5xy-8z)　;  (2)x2-9=　(x+3)(x-3)　;  (3)4-4x+x2=　(2-x)2　.  2.我们学习了哪些因式分解的方法? 新知初探 任务一　提公因式法与平方差公式的综合运用 【典例讲解】 例1　分解因式: (1)x4-y4;　(2)a3b-ab. 分析:(1)中x4可以写成(　　)2,y4可以写成(　　)2,从而可以运用　　　　法分解因式;(2)中,有公因式　　　　,提取公因式后,再运用　　　　法分解因式.  【师生活动】教师进行提问,学生回答后,派学生代表上台板演. 追问:通过对例1的学习,你有什么收获? 教师总结: 1.因式分解的步骤: (1)提取公因式; (2)用公式法因式分解. 2.分解因式,要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 【设计意图】例1(1)使学生能运用幂的乘方逆运算将4次降为2次,将其转化为两数平方差的形式,从而将问题解决,并引导学生学会将多项式分解彻底.例1(2)使学生体会多种方法(提公因式法、公式法)分解因式的综合运用,并进一步深化分解因式要彻底的思想. 【即时测评】见导学案 任务二　提公因式法与完全平方公式的综合运用 【典例讲解】 例2　分解因式: (1)3ax2+6axy+3ay2;　(2)-ax2+2a2x-a3. 分析:先　　　　,再运用　　　　法分解因式.  【师生活动】教师进行提问,学生回答后,发现(2)小题,有不同的解法,分别派不同做法的学生上台板演,由学生自己进行点评. 解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2. (2)方法一:-ax2+2a2x-a3=-(ax2-2a2x+a3)=-[a(x2-2ax+a2)]=-a(x-a)2. 方法二:-ax2+2a2x-a3=-a(x2-2ax+a2)=-a(x-a)2. 【设计意图】例2是将完全平方公式与提公因式法进行综合,由学生独立解决,完成新旧知识的整合与构建,符合学生的认知特点.通过学生不同的解法,倡导学生用不同的角度思考问题,培养学生发散思维的能力. 【即时测评】见导学案 【典例讲解】 例3　分解因式: (1)(x-1)2+2(x-5);　(2)(a-b)(a-4b)+ab. 分析:(1)(2)题中,既没有公因式,也不能直接用公式法分解因式,因此先将多项式化简,再进一步分解因式. 【师生活动】学生先观察式子的特点,教师带领学生分析,最后派学生代表板演. 解:(1)(x-1)2+2(x-5) =x2-2x+1+2x-10 =x2-9 =(x+3)(x-3). (2)(a-b)(a-4b)+ab =a2-4ab-ab+4b2+ab =a2-4ab+4b2 =(a-2b)2. 【即时测评】见导学案 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第3课时　提公因式法与公式法的综合运用 1.因式分解的步骤: (1)提取公因式; (2)用公式法因式分解 2.分解因式,要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 教学反思 在运用公式法分解因式时,发现有的同学经常不认真观察,将公式用错,在教学过程中,要多穿插与平方差公式和完全平方公式相关的知识,并着重强调因式分解要分解到不能再分解为止. 学科网（北京）股份有限公司 $$