1.4.2 充要条件（题型专练，4基础题型+4提升题型+培优题）数学人教A版2019必修第一册

1.4.2 充要条件 题型一：判断命题的充分不必要条件 1.若x，y∈R，则“x＝y”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】先假设“”成立，然后判断“”是否一定成立；然后假设“”成立，再判断“”是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论． 【详解】当x＝y时，显然成立；若，则x＝y或x＝－y， 所以“x＝y”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．⑤判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系． 2.在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】判断条件p与条件q的关系，利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 【详解】若开关A闭合，则灯泡B亮，所以条件p可以推出条件q； 若灯泡B亮，则开关A闭合或开关C闭合，不能确定开关A闭合，条件q推不出条件p； 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 3.已知a，b∈R，则“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充要条件、判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据0≤a≤1且0≤b≤1可以推出0≤ab≤1，当a＝－1，b＝－1时，满足0≤ab≤1推不出0≤a≤1且0≤b≤1，即可得出结论. 【详解】若“0≤a≤1且0≤b≤1”，则“0≤ab≤1”． 当a＝－1，b＝－1时，满足0≤ab≤1，但不满足0≤a≤1且0≤b≤1， ∴“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”成立的充分不必要条件．故选A. 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题. 4.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （    ） 条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据充要条件求参数 【分析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为，，，，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出D，，所以甲是丁的充分不必要条件. 【详解】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，，，， 由甲是乙的充分不必要条件得，B， 由乙是丙的充要条件得，， 由丁是丙的必要不充分条件得，D， 所以D，，故甲是丁的充分不必要条件. 故选：A. 题型二：判断命题的充分不必要条件 1.“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 2.已知是的必要条件，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据必要条件的定义求解. 【详解】是的必要条件， 结合各选项知． 故选：C. 3.已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、既不充分也不必要条件 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 4.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】若“”，则有，可推出“”成立， 若“”，则有或，解得或，推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 题型三 ：充要条件、判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 1.设，为正数，则“”，是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据，有，再由，为正数，两边平方判断充分性，再用特殊值法判断必要性. 【详解】因为， 所以， 又因为，为正数， 所以即成立， 当 时，满足，而，不成立， 所以是充分不必要条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2.已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、既不充分也不必要条件 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 3.设，，三个集合，则是的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由并集的运算可得,则，再取特例，，可得，得解. 【详解】解：因为，但，例如，，， 所以是的充分不必要条件， 故选A． 【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系及并集的运算,重点考查了集合思想,属中档题. 4.已知a，b∈R，则“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充要条件、判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据0≤a≤1且0≤b≤1可以推出0≤ab≤1，当a＝－1，b＝－1时，满足0≤ab≤1推不出0≤a≤1且0≤b≤1，即可得出结论. 【详解】若“0≤a≤1且0≤b≤1”，则“0≤ab≤1”． 当a＝－1，b＝－1时，满足0≤ab≤1，但不满足0≤a≤1且0≤b≤1， ∴“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”成立的充分不必要条件．故选A. 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题. 题型四：既不充分也不必要条件 1.若，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】举出反例，证明出充分性和必要性均不成立. 【详解】不妨设，满足，但不满足，充分性不成立， 若，满足，但不满足，故必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 故选：D 2.若，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，得，所以充分性不成立， 由，得，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要条件. 故选：B. 3.设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】由，得，由，得．当时，不一定有；当时，一定有．故“”是“”的必要不充分条件． 4.已知A，B是非空集合，命题p：，命题q：AB，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算、判断命题的必要不充分条件 【分析】因为，得AB或A＝B，所以根据充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】解：因为，可得AB或A＝B；反之，由AB，可得， 所以p是q的必要不充分条件， 故选：D. 题型一：充要条件的证明 1.已知集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据子集和交集的概念可判断. 【详解】由,又,所以是的充要条件. 故选：C 2.”的充要条件是“且”，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明 【分析】根据集合关系，利用充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】解：若“”的充要条件是“且”， 则， 则，不一定， 但，一定得到， 则“”是“”的必要非充分条件． 故选：B． 3.已知x，y为实数，则“xy≥0”是|x+y|≥|x-y|的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为， 所以“xy≥0”是|x+y|≥|x-y|的充分且必要条件，故选C. 【点睛】本题考查了充要条件的判断，正确的推理论证是解题的关键. 4.是的__________条件;是或的__________条件;是的__________条件 A．充要;必要非充分;充分非必要 B．充要;充要;充要 C．充分非必要;必要非充分;充要 D．必要非充分;充分非必要;充要 【答案】B 【知识点】充要条件的证明 【分析】分别解出三个方程，根据充分条件、必要条件的定义即可得结果. 【详解】由得，故是的充要条件； 由，得，即，故是或的充要条件； 由，得，故是的充要条件. 故选B. 【点睛】本题主要考查了指数方程的解法，充要条件的判定，准确解出方程是解题的关键，属于中档题. 题型二：探求命题为真的充要条件 1.下面四个条件中，使成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】根据充要条件的概念进行判断即可得解. 【详解】当时，满足，不满足；当时，满足，不满足，故是的既不充分也不必要条件，所以A不正确； 因为，所以是成立的充要条件，所以B正确； 当时，，，；当时，满足，但不满足，所以是的必要不充分条件，所以C不正确； 当时，；当时，满足，但不满足，所以是的充分不必要条件，所以D不正确. 故选：B 2.下列命题中是的充要条件的是（    ） A．，：方程有实根 B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】由充要条件的概念逐项判断即可. 【详解】若方程有实根，则，即或，因此不是的充要条件，A错误； 不一定可以得到，所以不是的充要条件，B错误； 若，则，若，则，故充分性不成立，C错误； 根据集合间的关系可得，D正确． 故选：D 3.是的充要条件的是（    ） A．； B．，； C．四边形的两条对角线互相垂直平分；四边形是正方形 D．；关于的方程有唯一解 【答案】D 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】根据充分必要条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，由得，由得，故A不符合题意； 对于B选项，显然是的既不充分也不必要条件； 对于C选项，四边形的两条对角线互相垂直平分，则该四边形是菱形，则是的充分不必要条件； 对于D选项，若关于的方程有唯一解，则该方程为一次方程，所以，，此时，是的充要条件. 故选D. 【点睛】本题考查充要条件的判断，一般结合集合的包含关系或逻辑性关系来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 4.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件、交集的概念及运算 【分析】由即可得出答案 【详解】因为 所以“”是“”的充要条件 故选：C 【点睛】本题考查的是充要条件的判断，较简单. 题型三 判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件 1.下列说法正确的是（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的充要条件 C．若，则p是q的充分条件 D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件 【分析】结合充分，必要条件的定义，判断选项. 【详解】A. ，所以是的必要不充分条件，故A错误； B. 时，，反过来也成立，所以是的充要条件，故B正确； C. ，则p是q的必要条件，故C错误； D. 矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D错误. 故选：B 2.a，b中至少有一个不为零的充要条件是（    ） A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 【答案】D 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】，ab＝0是非充分非必要条件；是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件；，是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件；,是a，b中至少有一个不为零的充要条件.即得解. 【详解】，ab＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件； ab>0是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件； ，a2＋b2＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件； ，a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.所以a2＋b2>0是a，b中至少有一个不为零的充要条件. 故选：D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3.设x，，则“”的充要条件是（    ） A．不都为1 B．都不为1 C．都不为0 D．中至多有一个是1 【答案】B 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】将化简，可得到其等价命题，即可得答案. 【详解】因为即，即， 即等价于且， 故“”的充要条件是都不为1， 故选：B. 4.下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，，则“”是“a，b不全为0”的充要条件 D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】ACD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件 【解析】根据充分条件，必要条件的定义判断． 【详解】，但或，不一定有.故A正确. 为直角三角形，反之，若为直角三角形，当B，C为直角时，不能推出，故B错误. ，b不全为0，反之，由a，b不全为，故C正确. 当为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分条件与必要条件的定义是解题关键． 题型四：根据必要不充分条件求参数 1.若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【解析】利用必要不充分的定义进行判断求解即可 【详解】由“”是“”的必要不充分条件知：是的真子集，可得知 故选：C 2.“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】“”的一个必要而不充分条件需要满足是所求范围的一个真子集， 由于， 故选：B 3.（多选题）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】化简得，由充分与必要条件判断的取值范围即可. 【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C. 故选：ABC 4.已知，若是p的一个必要条件，则使恒成立的实数b的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【解析】由必要条件求出的取值范围，再由恒成立得的取值范围． 【详解】∵， ∴，所以解得 又使恒成立，因此，故实数b的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】本题考查必要条件的应用，考查不等式恒成立问题．利用必要条件与集合包含之间的关系求出的范围是解题基础．对应参数的取值集合分别为，则是的必要条件． 1.（2015·重庆·高考真题）“”是“”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】探求命题为真的充要条件 【详解】试题分析：时，成立，故是充分的，又当时，即，，故是必要的的，因此是充要条件．故选A． 考点：充分必要条件． 2.（2014·天津·高考真题）设，则“”是“”成立的 A．充要不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充要也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明 【详解】试题分析：当时，，当一正一负时， ，当时，，所以，故选C． 考点：充分必要条件． 3.（2012·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由题意得，不等式，解得或， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选A． 考点：充分不必要条件的判定． 4.（多选题）使“”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B．或 C．x∈{－1，3，5} D．或 【答案】BC 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质 【分析】根据题意判断选项中对应集合为题干中集合的真子集，即可得答案. 【详解】从集合的角度出发，在选项中判断哪个相应的集合是题干中集合的真子集， 只有B，C满足题意． 故选：BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2 充要条件 题型一：判断命题的充分不必要条件 1.若x，y∈R，则“x＝y”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2.在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知a，b∈R，则“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （    ） 条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 题型二：判断命题的充分不必要条件 1.“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知是的必要条件，则可以为（    ） A． B． C． D． 3.已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型三 ：充要条件、判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 1.设，为正数，则“”，是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.设，，三个集合，则是的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知a，b∈R，则“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四：既不充分也不必要条件 1.若，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.若，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 3.设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知A，B是非空集合，命题p：，命题q：AB，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 题型一：充要条件的证明 1.已知集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2.”的充要条件是“且”，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3.已知x，y为实数，则“xy≥0”是|x+y|≥|x-y|的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.是的__________条件;是或的__________条件;是的__________条件 A．充要;必要非充分;充分非必要 B．充要;充要;充要 C．充分非必要;必要非充分;充要 D．必要非充分;充分非必要;充要 题型二：探求命题为真的充要条件 1.下面四个条件中，使成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 2.下列命题中是的充要条件的是（    ） A．，：方程有实根 B．， C．， D．， 3.是的充要条件的是（    ） A．； B．，； C．四边形的两条对角线互相垂直平分；四边形是正方形 D．；关于的方程有唯一解 4.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件 1.下列说法正确的是（    ） A．是的充分不必要条件 B．是的充要条件 C．若，则p是q的充分条件 D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 2.a，b中至少有一个不为零的充要条件是（    ） A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 3.设x，，则“”的充要条件是（    ） A．不都为1 B．都不为1 C．都不为0 D．中至多有一个是1 4.下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，，则“”是“a，b不全为0”的充要条件 D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 题型四：根据必要不充分条件求参数 1.若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 3.（多选题）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 4.已知，若是p的一个必要条件，则使恒成立的实数b的取值范围是 . 1.（2015·重庆·高考真题）“”是“”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2014·天津·高考真题）设，则“”是“”成立的 A．充要不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充要也不必要条件 3.（2012·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（多选题）使“”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B．或 C．x∈{－1，3，5} D．或 学科网（北京）股份有限公司 $$