22.1.1二次函数（导学案）数学人教版九年级上册

本文围绕二次函数概念展开教学，承接一次函数与反比例函数知识，为后续深入学习函数奠基。通过自主学习、合作探究等环节，引导学生从实际问题抽象出函数解析式，培养学生用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达现实世界的核心素养。 该设计创新之处在于紧密联系生活实例，采用自主学习与合作探究相结合的教法。从学生层面看，提升其抽象、归纳等能力；从教师层面看，提供清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破教学难点。

22.1.1（导学案）（解析版） 1.理解二次函数的概念,会判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是否为二次函数关系。 2.经历从具体问题中抽象出函数解析式的过程，发展观察、抽象、类比、归纳的能力，感受二次函数是描述现实世界变量关系的重要模型。 3.类比一次函数的研究方法，获得一般地认识和研究函数的基本方法，为进一步学习、研究函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 重点：正确理解二次函数的概念，会判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是否为二次函数关系。 难点：会用二次函数描述两个变量之间的关系. 第一环节 自主学习 温故知新： ①形如的函数叫一次函数，其中是一次项系数，是常数项，；形如的函数叫反比例函数，其中是反比例系数。 ②一次函数的自变量的取值范围是一切实数；反比例函数的自变量的取值范围是的一切实数。对于实际问题还使函数符合实际意义。 【学法指导】 自研课本P28－29页内容 阅读理解 函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，用一次函数可以表示某些问题中变量之间的关系,我们再来看另一些问题中变量之间的关系,如果改变正方体的棱长x，那么正方体的表面积y会随之改变，y与x之间有什么关系?从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h随小球运动时间t的变化而变化，h与t之间有什么关系? 再看章前图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线.在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离之间有什么关系? 回答上述问题就要用x到二次函数。像学习一次函数一样，本章我们首先讨论什么样的函数是二次函数，然后讨论二次函数的图象和性质，并由此加深对一元二次方程的认识，最后运用二次函数分析和解决某些实际问题。通过上述过程，我们对函数在反映现实世界的运动变化中的作用会有进一步的体会。 这个函数与我们学过的一次函数不同，什么是二次函数?二次函数图象是什么？有什么性质?它与一元二次方程有什么关系？它在实际问题中有什么应用？这就是本章要学习的主要内容。 引言中正方体的表面积的问题 我们看引言中正方体的表面积的问题。正方体的六个面是全等的正方形（图22.1-1)， （1）设正方体的棱长为，表面积为y，对于的每一个值，y的对应值如何?y与х的对应关系如何? （2）y是х的函数，它们的函数关系是什么？这个函数有什么特征？ 答案：（1）设正方体的棱长为，表面积为y,对于的每一个值，y都有唯一的一个值与其对应;y是х的函数。 （2）y是х的函数，它们的具体关系可以表示①。特征：函数关系式自变量的最高次数是2，且是整式 问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系? （1）n个球队每个队要与其他（n一1)）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数如何用n表示？ （2）对于n的每一个值，m的对应值如何?m与n的对应关系如何?这个函数有什么特征？ 答案：（1） (2)对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数,,即② 特征：函数关系式自变量的最高次数是2，且是整式。 问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的的值而确定，y与之间的关系应怎样表示? 追问：（1）这种产品一年后的产量是多少?再经过一年后的产量是多少? (2)y与之间的关系应怎样表示?这个函数有什么特征？ 答案：(1)这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是t;”再经过一年后的产量是t。 (2)y与之间的关系是,即③.特征：函数关系式自变量的最高次数是2，且是整式。 思考:函数①②③有什么共同特征? 归纳总结:在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的，一般地，形如(a,b, c是常数,)的函数，叫做二次函数。其中，是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 【自研自探】 例1．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D． 【分析】明确二次函数的定义是解题的关键，尤其需要注意的是二次项的系数应不等于零，忽略关于二次项系数取值范围的限制，容易导致错选D． 【详解】根据二次函数的定义：形如（是常数，且）的函数叫做二次函数．据此可列出关于参数的方程与不等式，求解即可．令，解得或，又，故当时，这个函数是关于的二次函数，故选C． 例2.扇形面积公式是 （1）当是常量时，是的什么函数？自变量是什么？自变量取值范围是什么？ （1）当是常量时，是的什么函数？自变量是什么？自变量的取值范围是什么？ 【分析】主要考查一次函数、二次函数的概念，根据一次函数、二次函数定义，同时确定自变量是什么，自变量的取值范围要考虑解析式有意义，还要考虑实际意义。 【详解】（1）当是常量时，扇形面积公式可看作，其中是常数，是的正比例函数；自变量是；自变量取值范围是. （1）当是常量时，扇形面积公式可看作，其中是常数，是的二次函数；自变量是；自变量取值范围是. 第二环节 合作探究 1. 讨论函数①②③有什么共同特征？ 2.讨论什么是二次函数？函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么？ 3.合作探究提升：1.（1）如果函数是关于的二次函数,求的值. (2)如果函数是关于的二次函数,求的值的范围;如果是一次函数求的值. 【分析】主要考查二次函数的定义，根据二次函数的定义,解析式形如的函数：①当时,是关于的二次函数；②当时,是关于的一次函数；③当时,是常数. 【详解】解：（1）如果函数是关于的二次函数,则满足: 解方程(1),得, 由(2),得, 故. (2) 当函数是关于的二次函数时,则满足:,即 故的值的范围是的实数; 当函数是关于的一次函数时,则满足:，且.即, 故的值. 1.（课本练习）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式。 2.（课本练习）如图，矩形绿地的长、宽各增加m、写出扩充后的绿地的面积与的关系式。 参考答案： 1. 2.. 1．（2024上·广东江门·九年级校考期中）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：A、是二次函数，故不符合题意； B、中分母含有自变量，不是二次函数，故符合题意； C、是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故不符合题意； 故选：B． 2．（2025上·六安舒城·九年级校考阶段测试）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）把代入函数解析式中得：， 当时，， ∴y的值为． (1) 形如(a,b, c是常数,)的函数，叫做二次函数。其中，是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 (2) 二次函数（）的自变量的取值范围是一切实数，对于实际问题还使函数符合实际意义。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.1（导学案）（原卷版） 1.理解二次函数的概念,会判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是否为二次函数关系。 2.经历从具体问题中抽象出函数解析式的过程，发展观察、抽象、类比、归纳的能力，感受二次函数是描述现实世界变量关系的重要模型。 3.类比一次函数的研究方法，获得一般地认识和研究函数的基本方法，为进一步学习、研究函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 重点：正确理解二次函数的概念，会判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是否为二次函数关系。 难点：会用二次函数描述两个变量之间的关系. 第一环节 自主学习 温故知新： ①形如 的函数叫 函数，其中是 系数，是 项，；形如 的函数叫反比例函数，其中是 系数。 ②一次函数的自变量的取值范围是 ；反比例函数的自变量的取值范围是 。对于实际问题还使函数符合 。 【学法指导】 自研课本P28－29页内容 阅读理解 函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，用一次函数可以表示某些问题中变量之间的关系,我们再来看另一些问题中变量之间的关系,如果改变正方体的棱长x，那么正方体的表面积y会随之改变，y与x之间有什么关系?从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h随小球运动时间t的变化而变化，h与t之间有什么关系? 再看章前图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线.在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离之间有什么关系? 回答上述问题就要用x到二次函数。像学习一次函数一样，本章我们首先讨论什么样的函数是二次函数，然后讨论二次函数的图象和性质，并由此加深对一元二次方程的认识，最后运用二次函数分析和解决某些实际问题。通过上述过程，我们对函数在反映现实世界的运动变化中的作用会有进一步的体会。 这个函数与我们学过的一次函数不同，什么是二次函数?二次函数图象是什么？有什么性质?它与一元二次方程有什么关系？它在实际问题中有什么应用？这就是本章要学习的主要内容。 引言中正方体的表面积的问题 我们看引言中正方体的表面积的问题。正方体的六个面是全等的正方形（图22.1-1)， （1）设正方体的棱长为，表面积为y，对于的每一个值，y的对应值如何?y与х的对应关系如何? （2）y是х的函数，它们的函数关系是什么？这个函数有什么特征？ 问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系? （1）n个球队每个队要与其他（n一1)）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数如何用n表示？ （2）对于n的每一个值，m的对应值如何?m与n的对应关系如何?这个函数有什么特征？ 问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的的值而确定，y与之间的关系应怎样表示? 追问：（1）这种产品一年后的产量是多少?再经过一年后的产量是多少? (2)y与之间的关系应怎样表示?这个函数有什么特征？ 思考:函数①②③有什么共同特征? 归纳总结:在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的，一般地，形如(a,b, c是常数,)的函数，叫做二次函数。其中，是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 【自研自探】 例1．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D． 例2.扇形面积公式是 （1）当是常量时，是的什么函数？自变量是什么？自变量取值范围是什么？ （1）当是常量时，是的什么函数？自变量是什么？自变量的取值范围是什么？ 第二环节 合作探究 1. 讨论函数①②③有什么共同特征？ 2.讨论什么是二次函数？函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么？ 3.合作探究提升：1.（1）如果函数是关于的二次函数,求的值. (2)如果函数是关于的二次函数,求的值的范围;如果是一次函数求的值. 1.（课本练习）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式。 2.（课本练习）如图，矩形绿地的长、宽各增加m、写出扩充后的绿地的面积与的关系式。 1．（2024上·广东江门·九年级校考期中）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025上·六安舒城·九年级校考阶段测试）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． (1) 形如 的函数，叫做二次函数。其中，是自变量，a，b，c分别是函数解析式的 系数、 系数和 项。 (2) 二次函数 的自变量的取值范围是 ，对于实际问题还使函数符合 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$