第03讲： 三角函数恒等变换【十一大题型】-2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第03讲： 三角函数恒等变换 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 三个三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 知识点二：同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 知识点三．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 知识点四．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 知识点五：两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 知识点六：两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 知识点七．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝2.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) 知识点八　半角公式：sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 知识点九　辅助角公式：辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 【题型梳理】 题型一、弧长公式、扇形面积 1．（24-25高一下·江西·期末）已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知某扇形的周长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（    ） A． B．3 C．或3 D． 题型二、任意角的三角函数 4．（24-25高一下·江西宜春·期末）若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则 . 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ． 题型三：各象限三角函数的符号 7．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知角θ满足：，且，则角θ的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2025高三·全国·专题练习）已知，则可能为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第三或四象限角 9．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四：同角三角函数关系 10．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 11．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）若，则 ， ． 12．（24-25高一下·广东汕头·期中）若，则 ． 题型五、诱导公式 13．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则 ． 14．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）化简： . 15．（24-25高一上·山东滨州·期末）已知是钝角，，则 ． 题型六、两角和差公式 16．（24-25高一下·湖南·期末）已知均为第一象限的角，且 (1)的值； (2)的值． 17．（24-25高一下·江西上饶·期末）（1）已知，求的值. （2）已知，求. 18．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 题型七、二倍角公式 19．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ．（数字作答） 20．（24-25高一下·江苏常州·期末）若，则的值为 . 21．（24-25高一下·北京西城·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 题型八、求角求值型 22．（23-24高一下·江苏淮安·期末）（    ） A． B． C． D． 23．（21-22高一下·江苏苏州·期中）若，则 . 24．（20-21高一下·四川南充·期中）______. 题型九、给值求值型 25．（24-25高一下·江西·期末）已知锐角满足，则 . 26．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则的值为 . 27．（24-25高一下·湖南常德·期中）已知，则 ． 题型十、给值求角型 28．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 29．（24-25高一上·山西·期末）若，则 . 30．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）已知为三角形的两个内角，，则＝ ． 题型十一：三角函数恒等式变换综合问题 31．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 32．（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知，且； (1)求的值； (2)若，且，求的值． 33．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知角α的终边经过点． (1)求，，的值； (2)求的值； (3)已知α、β是锐角，且满足，求的值． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一下·河南南阳·期末）（   ） A． B． C．0 D． 4．（24-25高一下·重庆北碚·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川南充·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江西吉安·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·山西·期末）已知，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，且，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知α为第四象限角，且，则 ， ． 14．（24-25高一下·甘肃白银·期末） ． 15．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则 . 16．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知，且，则 ． 17．（24-25高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则 . 四、解答题 18．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知，都是锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 19．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知，且均为锐角． (1)求的值； (2)求的值． 20．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 21．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值 22．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲： 三角函数恒等变换 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 三个三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 知识点二：同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 知识点三．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 知识点四．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 知识点五：两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 知识点六：两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 知识点七．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝2.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) 知识点八　半角公式：sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 知识点九　辅助角公式：辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 【题型梳理】 题型一、弧长公式、扇形面积 1．（24-25高一下·江西·期末）已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长公式即可求解. 【详解】该扇形的弧长为． 故选：. 2．（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥母线长为，利用侧面面积求得圆锥的母线长，进而可求圆锥的侧面展开图的圆心角. 【详解】设圆锥母线长为，可得底面圆的周长为， 由题意可得，解得， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：D. 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知某扇形的周长为5cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数是（    ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长和面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，所对弧长为， 则，解得或， 所以该扇形圆心角的弧度数或， 故选：C 题型二、任意角的三角函数 4．（24-25高一下·江西宜春·期末）若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义进行求解 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：D. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义得到方程，解得即可. 【详解】因为是角终边上一点，所以， 由三角函数的定义，得，解得. 故答案为：. 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义求出，，再由诱导公式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以，， 所以． 故答案为： 题型三：各象限三角函数的符号 7．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知角θ满足：，且，则角θ的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据各象限三角函数的符号特征判断即可. 【详解】由，得角的终边在轴下方，由，得角的终边在第二或第四象限， 所以当且时，角的终边在第四象限． 故选：D 8．（2025高三·全国·专题练习）已知，则可能为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第三或四象限角 【答案】A 【分析】根据题意得与的符号，利用三角函数的概念即可判断角所在的象限. 【详解】因为，所以或， 所以可能为第一象限角或第二象限角． 故选：A． 9．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 题型四：同角三角函数关系 10．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 11．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）若，则 ， ． 【答案】 / /0.3 【分析】分子分母同时除以，即可求解；先将原式转化为分式，分子分母同时除以，即可求解. 【详解】； . 故答案为：；. 12．（24-25高一下·广东汕头·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】将已知条件两边平方得，再由商数关系及平方关系求目标式的值. 【详解】由，则， . 故答案为： 题型五、诱导公式 13．（24-25高一下·上海·期末）已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由题设，，则， . 故答案为： 14．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）化简： . 【答案】 【分析】应用诱导公式计算化简. 【详解】 . 故答案为： 15．（24-25高一上·山东滨州·期末）已知是钝角，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的关系得，应用诱导公式化简求值即可. 【详解】由是钝角，，则， 所以. 故答案为： 题型六、两角和差公式 16．（24-25高一下·湖南·期末）已知均为第一象限的角，且 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，然后根据两角和的正弦公式计算即可； （2）先计算，然后利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）由均为第一象限的角，， 所以， 所以， 所以 （2）， 所以， 所以 17．（24-25高一下·江西上饶·期末）（1）已知，求的值. （2）已知，求. 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）方法一：利用诱导公式和化简原式得，然后分子分母同除后代入计算即可； 方法二：利用诱导公式和化简原式得，然后分子分母同除后代入计算即可； （2）将变为，然后利用两角和差的余弦公式得，化弦为切即可求解. 【详解】（1）方法一：由，，得 原式； 方法二：原式； （2）因为 ， 所以， 所以. 18．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系得到，，利用余弦和角公式得到答案； （2）先求出，利用正切和角公式得到方程，求出. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以. （2）由（1）可知， 因为，所以， 即，解得. 题型七、二倍角公式 19．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ．（数字作答） 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式、二倍角的正切公式计算得解. 【详解】因为, 所以， 所以， 故答案为： 20．（24-25高一下·江苏常州·期末）若，则的值为 . 【答案】 【分析】利用诱导公式可得，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 21．（24-25高一下·北京西城·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系求出，由正切差角公式进行求解即可； （2）利用诱导公式和二倍角公式得到，在（1）基础上，代入求值. 【详解】（1），，故， ，； （2）由（1）知，， . 题型八、求角求值型 22．（23-24高一下·江苏淮安·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合两角和差的正切公式运算求解，注意的应用. 【详解】因为原式． 故选：D. 23．（21-22高一下·江苏苏州·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式结合和差角公式求解即可. 【详解】 故答案为： 24．（20-21高一下·四川南充·期中）______. 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的基本关系与三角恒等变换化简求值即可 【详解】 故答案为：1 题型九、给值求值型 25．（24-25高一下·江西·期末）已知锐角满足，则 . 【答案】 【分析】由结合诱导公式即可计算求解. 【详解】因为锐角满足， 所以. 故答案为： 26．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】根据和差公式及辅助角公式化解得，再利用二倍角公式可求得值. 【详解】， ， 故答案为：. 27．（24-25高一下·湖南常德·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】将变形结合两角和与差的正弦公式得到的关系，进而可求. 【详解】由得， ①，②， 即，， ∴ ∵， ∴. 故答案为：. 题型十、给值求角型 28．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 29．（24-25高一上·山西·期末）若，则 . 【答案】/ 【分析】为求角的大小，只需算出的三角函数值. 【详解】， 故由，得. 又， 又， 则 ， 又，所以. 故答案为：. 30．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）已知为三角形的两个内角，，则＝ ． 【答案】 【分析】由已知数据可得和的值，而，代入值计算可得． 【详解】∵为三角形的两个内角，且， ∴，， ∵，， ， ， ，，∴． 故答案为：． 题型十一：三角函数恒等式变换综合问题 31．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，得，由， 得，则 ， 所以. 32．（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知，且； (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据诱导公式化简可得，再结合齐次式计算即可； （2）先同角三角函数的基本关系求出，进而根据两角和的正切公式求解即可. 【详解】（1）由，， 得，即， 则. （2）由，， 所以，则， 由（1）知，，，则，即， 所以， 则. 33．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知角α的终边经过点． (1)求，，的值； (2)求的值； (3)已知α、β是锐角，且满足，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）应用三角函数的定义计算求解； （2）应用诱导公式结合弦化切计算求值； （3）应用两角和正弦公式结合同角三角函数关系计算求值. 【详解】（1）由三角函数的定义：，， （2）原式 （3）因为α，，所以 因为，所以， 所以 所以 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和正弦的差角公式，对原式进行化简，可得结果. 【详解】 . 故选：D. 2．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据的范围，利用同角三角函数关系式，计算出，再结合二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由可知，得， 因此， ，即，，， 又有，， 因此解得. 故选：B. 3．（24-25高一下·河南南阳·期末）（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值计算即得. 【详解】. 故选: C. 4．（24-25高一下·重庆北碚·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的正切公式可求得，切化弦可求值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 5．（24-25高一下·四川南充·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及平方关系求值即可. 【详解】由，，则， 所以. 故选：D 6．（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式和诱导公式可得，结合角的范围，可得，可求解. 【详解】因为， ，， 所以，，所以，则． 故选：D． 7．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正、余弦的二倍角公式化简，即可求，再用正切函数的二倍角公式求解即可. 【详解】，， 由，所以，所以，所以，所以. 故选：A 8．（24-25高一下·江西吉安·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合诱导公式以及两角和差公式可得，再根据齐次式问题分析求解. 【详解】由题意得，解得， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据同角三角函数关系、诱导公式和余弦的二倍角公式求解判断即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以，，， 故选：ABD. 10．（24-25高一下·山西·期末）已知，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A选项，利用同角三角函数关系和正弦和角公式得到；B选项，计算出，展开后代入求解；C选项，得到，结合角的范围得到；D选项，在C基础上，得到，结合求出. 【详解】A选项，由，得， 所以，则， 所以，A正确； B选项，由，得， 即，又， 解得，B错误； C选项，， 又，故，所以，C错误； D选项，由，得， 所以， 与联立，得，D正确. 故选：AD. 11．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，且，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据结合求得，，由计算可判断A；由计算可判断B；由计算可判断C；直接计算可判断D. 【详解】因为，且，， 所以，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，由诱导公式得两边平方结合二倍角正弦公式求解；对B，由二倍角正切公式求解判断；对C，由诱导公式结合二倍角正弦公式求解；对 D，根据二倍角正切公式求解判断. 【详解】对于A，， 又，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由， 所以，得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知α为第四象限角，且，则 ， ． 【答案】 ； 【分析】利用同角的正余弦的平方关系可求得；利用两角和的余弦公式可求得. 【详解】因为，且α为第四象限角，所以可得， 所以． 故答案为：①；②. 14．（24-25高一下·甘肃白银·期末） ． 【答案】 【分析】由，利用两角和的正切公式变形即可得解. 【详解】， ， ． 故答案为：. 15．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则 . 【答案】0 【分析】根据两角和的正切公式求，再利用正切表示所求式子，即可求解. 【详解】， 则. 故答案为：0 16．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系得出，再应用两角和正切公式计算求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 所以． 故答案为：. 17．（24-25高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则 . 【答案】 【分析】根据两角和差的余弦公式将题目中的两个等式展开，列方程组求解. 【详解】由①， ②， 将①②列成方程组可解得，. 则. 故答案为：. 四、解答题 18．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知，都是锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得，然后由二倍角的正切公式可得答案； （2）由两角差的正弦公式可得答案. 【详解】（1）因，是锐角，则. 从而，则； （2）因，是锐角，则. 则. 19．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知，且均为锐角． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角关系求解的值，即可根据二倍角公式以及和差角公式求解； （2）根据余弦的和差角公式即可求解. 【详解】（1）均为锐角， ，， 故， 又，， ， ， 故； （2）， ，， . 20．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接使用两角差的正切公式展开已知等式后计算即可； （2）方法一：使用二倍角公式化简所求式子后弦化切，代入正切值即可；方法二：根据正切值，结合同角三角函数关系式，先算出正弦值和余弦值，然后代入所求式子. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）方法一： 因为， 分母不能为0，故， 所以， 即. 方法二： 由得角的终边在第一象限或第三象限， （）当角的终边在第一象限时， 全由得， 所以， 所以； （）当角的终边在第三象限时， 由得， 所以， 所以. 综上所述，. 21．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系求出，再由商数关系求解； （2）利用诱导公式化简所求式子，利用商数关系弦化切，结合（1）得解. 【详解】（1）因为， 所以， 故. （2）由（1），， . 22．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用二倍角公式求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求出的值； （2）求出，分、两种情况讨论，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式即可求出的值. 【详解】（1）因为，则， 因为，则， 所以， ， 因此，. （2）因为，，所以， 若，则， 此时 ，合乎题意； 若，则， 此时 ，合乎题意. 综上所述，或. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$