第02讲：指、对、幂函数【十二大题型】-2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第02讲：指、对、幂函数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点1：指数与指数函数 1．根式 (1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 常用结论 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 知识点2：对数与对数函数 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性 质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 常用结论 1．logab·logba＝1，＝logab. 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 知识点3：幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 【题型归纳】 题型一：指对幂的运算 1．（24-25高一下·河北保定·期中）（1）计算：； （2）计算； （3）已知，求的值. 2．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）化简求值. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)已知，求的值． 4．（24-25高一上·江苏淮安·期中）计算下列各式的值： (1) (2) 题型二：指数函数的图像问题 5．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知函数且，则下列选项正确的是（    ） A．函数的值域为 B．若，则 C．函数的图象恒过定点 D．若，则 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数（，且）的图象过定点（m，n），则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·重庆·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（   ） A．B．C． D． 题型三：指数函数的单调性的应用 8．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型四：指数函数的最值问题 11．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（21-22高一上·辽宁·期末）若函数在上有最大值，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 题型五：对数函数的图像问题 14．（24-25高一下·广西贵港·期末）已知函数，当时，取得最大值n，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 16．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（    ） A． B． C． D． 题型六：对数函数的单调性问题 17．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 18．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 19．（24-25高一下·广东深圳·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：幂函数图像与性质 20．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·山东济南·期中）已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．（2024高三下·全国·专题练习）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 题型八：比较大小 23．（24-25高一下·四川南充·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·湖南永州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型九：对指幂函数的实际应用问题 26．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位:）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（   ）（参考数据：） A．40分钟 B．41分钟 C．42分钟 D．43分钟 27．（22-23高一下·贵州六盘水·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（    ）（参考数据：，，） A．3 B．4 C．5 D．6 28．（24-25高一下·湖北荆门·期末）规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 题型十：幂函数综合问题 29．（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 30．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 31．（24-25高一上·河南许昌·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的取值范围． 题型十一：指数型函数的综合问题 32．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 33．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性并根据定义证明； (3)若存在区间，使得函数在区间上的值域为，求的取值范围． 34．（24-25高一上·四川广元·期末）函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于x的不等式： 题型十二：对数型函数的综合问题 35．（24-25高一下·湖南·期末）已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 36．（24-25高一下·江西·期中）已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 37．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知函数． (1)若，求的值； (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【专题突破】 一、单选题 1．（24-25高一下·河南新乡·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东深圳·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（   ） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 6．（2025·广东茂名·二模）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江西·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·安徽滁州·期末）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 10．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 11．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知的定义域为，值域为，则（ ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 12．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数，且在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高一下·北京延庆·期末）函数的定义域为 . 14．（24-25高一下·北京·期中） ； . 15．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 53．（24-25高一下·云南·期中）某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第（）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是 （参考数据：，） 16．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 17．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 18．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数m的值； (2)判定的单调性并证明； (3)若实数满足，求的取值范围. 19．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知函数 (1)当时，求的最小值； (2)若为偶函数，求的值； (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 20．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲：指、对、幂函数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点1：指数与指数函数 1．根式 (1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 常用结论 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 知识点2：对数与对数函数 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性 质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 常用结论 1．logab·logba＝1，＝logab. 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 知识点3：幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 【题型归纳】 题型一：指对幂的运算 1．（24-25高一下·河北保定·期中）（1）计算：； （2）计算； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】运用指数对数运算性质逐个化简计算即可. 【详解】（1）计算：根据指数运算法则，可得，即. 计算：可得. 计算：设，根据对数的定义可得，即，则，解得. 计算：. 将以上结果相加：. （2）计算： ，则. 又，所以. 计算：，，则. 将两部分结果相加：. （3）对两边平方，可得，即，所以. 对两边平方，可得，即，所以. 将，代入，可得. 2．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）化简求值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）借助对数运算法则与指数运算法则计算即可得； （2）借助指数运算法则计算即可得； （3）借助对数运算法则及换底公式计算即可得. 【详解】（1）； （2）； （3） . 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可. （2）利用对数的运算法则结合换底公式求解即可. （3）利用立方和公式化简目标式，再结合给定条件代入求和即可. 【详解】（1）原式， . （2）原式， . （3）原式， 因为，所以，故. 4．（24-25高一上·江苏淮安·期中）计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. 【详解】（1） . （2） . 题型二：指数函数的图像问题 5．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）已知函数且，则下列选项正确的是（    ） A．函数的值域为 B．若，则 C．函数的图象恒过定点 D．若，则 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】函数且为指数函数，指数函数的定义域为，值域为，故A错误； 若，则在上单调递增，所以，则，故B错误； 指数函数的图象恒过定点，故C正确； 若，则在上单调递减，则由，得，故D错误； 故选：C. 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数（，且）的图象过定点（m，n），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质，可得到函数必过的定点，从而进行指数运算即可. 【详解】因为，所以函数过定点， 即，则， 故选：A. 7．（24-25高一上·重庆·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】由函数的解析式，可得函数为奇函数，排除C选项，在上函数值大于0，排除D选项，再由接近8，排除A，只有B的图象接近函数的图象. 【详解】解：设函数在上，定义域关于原点对称， 又因为， 所以函数为奇函数，排除C选项， 当时，，排除D选项， 当时，，所以A不正确，B正确. 故选：B. 题型三：指数函数的单调性的应用 8．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性确定其对称性，再由单调性解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 又对任意的，，都有， 即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减， 所以， 即①，显然无解； 或②，解之得. 故选：C 9．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 10．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知为偶函数，且在内单调递增，进而根据函数性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，且， 可知为偶函数，则， 又因为当时，在内单调递增， 且，， 可知，所以. 故选：D. 题型四：指数函数的最值问题 11．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 12．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 因为，① 所以， 所以，② ①②得，， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以只需， 因为，，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以（当且仅当时，取等号）， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B． 13．（21-22高一上·辽宁·期末）若函数在上有最大值，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】A 【分析】由题可得，，即求. 【详解】∵函数在上有最大值， ∴，， ∴，解得或（舍去）. 故选：A. 题型五：对数函数的图像问题 14．（24-25高一下·广西贵港·期末）已知函数，当时，取得最大值n，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，由定义域排除CD，根据单调性排除B，得到答案. 【详解】当时，取得最大值，则，所以， 由，得，C，D错误． 当时，单调递减，B错误． 故选：A． 15．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】通过分析正比例函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数，由对数函数可知，且， 当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确； 当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误； 故选：D. 16．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得，进一步结合三角函数定义即可求解. 【详解】由题意令，得，而此时， 所以，角的终边经过定点， 所以， 所以. 故选：C. 题型六：对数函数的单调性问题 17．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 【答案】D 【分析】根据对数函数性质可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断C；根据复合函数单调性可判断D. 【详解】对于A，要使函数有意义，则，解得或， 所以函数定义域为，故A错误； 对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误； 对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误； 对于D，令，则， 由二次函数性质可知，在区间上单调递减， 由对数函数性质可知，在定义域内单调递增， 所以在区间上单调递减，故D正确. 故选：D 18．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是减函数，列不等式组，解出即可. 【详解】因为是减函数，所以，解得． 故选：B. 19．（24-25高一下·广东深圳·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据对数函数的单调性确定函数的单调区间，结合对数函数的定义域可求出答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立. 所以，解得. 故选：A. 题型七：幂函数图像与性质 20．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 21．（24-25高一上·山东济南·期中）已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念求得，结合幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以， 因此，所以是定义在上的增函数， 又因为，所以，解得， 故选：A. 22．（2024高三下·全国·专题练习）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：C. 题型八：比较大小 23．（24-25高一下·四川南充·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出的值，再根据对数函数与指数函数的单调性判断、的取值范围，最后比较、、的大小． 【详解】根据对数恒等式（），可得． 对于对数函数，因为底数，所以该函数在上单调递增． 又因为，，且，所以，即． 对于指数函数，因为底数，所以该函数在上单调递增． 又因为，所以． 由以上分析可知，即． 故选：B． 24．（24-25高一下·湖南永州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由函数是内的单调减函数，， 所以， ， 由函数是上的单调增函数，所以， 而，， 所以． 故选：A. 25．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“0”，“1”分析求解即可. 【详解】因为，即； 又因为，可得，即； 且，即； 综上所述：. 故选：A. 题型九：对指幂函数的实际应用问题 26．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位:）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（   ）（参考数据：） A．40分钟 B．41分钟 C．42分钟 D．43分钟 【答案】C 【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，， 即，则，即， 即至少大约需要的时间为42分钟. 故选：C 27．（22-23高一下·贵州六盘水·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（    ）（参考数据：，，） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则， 即， 由于在定义域上单调递减， ∴， ∴他至少经过小时才能驾驶. 故选：C. 28．（24-25高一下·湖北荆门·期末）规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，求得的值，即可得到的值，，化简整理，取以10为底的对数，计算即可得到所求最小值． 【详解】因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的， 根据题设，得，，可得，所以，， 由，得， 两边取10为底对数，整理得， ，， 因此，至少还需过滤20小时， 故选：B. 题型十：幂函数综合问题 29．（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式求出，得解； （2）问题转化为恒成立，令，求出的最小值得解. 【详解】（1）由题意可得，，. （2）由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 30．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 31．（24-25高一上·河南许昌·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得，即得函数解析式； （2）利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得. 【详解】（1）因函数为幂函数，且在上单调递增， 则解得，故； （2）因为函数为奇函数且在R上单调递增， 所以不等式可化为 所以，即 解得或， 故实数a的取值范围为. 题型十一：指数型函数的综合问题 32．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 33．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性并根据定义证明； (3)若存在区间，使得函数在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质列方程，解方程即可； （2）利用单调性的定义判断和证明； （3）根据的单调性列方程，然后根据方程得到是方程的两个根，然后列不等式求解即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数， 得，解得，故． ，即是奇函数，所以． （2）函数为增函数． 证明：设任意实数， 因为，所以， 所以，所以函数为增函数． （3）由（2）知函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增． 依题意，，即 令，因此是方程的两个根， 即的两个不等的正根，于是解得， 所以的取值范围是． 【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于由得到是方程的两个根，然后转化为一元二次方程根的分布问题求解即可. 34．（24-25高一上·四川广元·期末）函数为奇函数． (1)求a的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)解关于x的不等式： 【答案】(1)1； (2)单调递增，证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）利用奇函数的定义求出值； （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）由（2）脱去法则“f”，再解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）函数的定义域为R，由为奇函数，得， 即，则， 所以a的值为1. （2）由（1）知，，函数在R上单调递增， ，， 由，得，则， 因此，即， 所以函数在R上单调递增. （3）由（1）知，，不等式， 则， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 若，解得或； 若，解得； 若，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型十二：对数型函数的综合问题 35．（24-25高一下·湖南·期末）已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点带入解析式解方程组即可； （2）先证明函数为偶函数，再将问题转化为函数的值域即可求解. 【详解】（1）把点带入解析式可得：，解得，， 故的解析式为. （2）函数有且只有一个零点方程有且只有一个零点， 因为，且的定义域为，所以为偶函数， 由可得，所以，即. 36．（24-25高一下·江西·期中）已知函数是偶函数． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得； （2）依题意关于的不等式在上有解，令，，利用作差法证明函数的单调性，即可得到在上的单调性，从而求出，即可得解. 【详解】（1）因为函数为偶函数，所以， 即， 所以，整理得恒成立， 所以，解得，所以，故． （2）由（1）可得，关于x的不等式在上有解， 令，，取， 则． 因为，所以，，，， 所以，，即， 所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，因此在上单调递增． 令，， 因为函数与函数在上均单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以，故实数的取值范围为． 37．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知函数． (1)若，求的值； (2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，利用对数的运算公式，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义及判定方法，结合指数函数的性质，即可求解； （3）由，不等式转化为，根据在上单调递增，转化为存在，使得成立，令，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由函数， 因为，可得. （2）任取，且， 则 ． 因为，可得，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增． （3）因为， 所以可化为， 由（2）可知，在上单调递增， 所以，即， 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， 因为，所以，令， 只要存在，使得成立，即， 令， 设且， ， 当且时，，则， 可得时，函数单调递增， 所以（当时取等号）， 所以，即实数的取值范围为. 【专题突破】 一、单选题 1．（24-25高一下·河南新乡·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数为奇函数，得到，代入求解即可. 【详解】由题意得， 所以． 故选：A 2．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的换底公式结合放缩法，以及指数函数的单调性可得结论. 【详解】因为，， ， 所以． 故选：D. 3．（24-25高一下·广东深圳·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，故A不满足题意； 对于B，由在上递增，在定义域上递增，故在 上单调递增函数，故B不满足题意； 对于C，为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C满足题意； 对于D，为偶函数，在上为周期函数，故D不满足题意. 故选：C. 4．（24-25高一下·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，利用函数的单调性解不等式，再利用是偶函数解不等式即可. 【详解】由对数函数和一次函数的单调可得是增函数，且， 所以当时，的解集为， 因为是奇函数，易知是偶函数，当时，可得， 根据偶函数知：当时，可得， 故选：A. 5．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（   ） A．12年 B．13年 C．14年 D．15年 【答案】C 【分析】由题意可得，即可利用对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意可知，代入公式可得， 所以所以，所以至少需要14年， 故选：C 6．（2025·广东茂名·二模）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 7．（24-25高一下·江西·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义及单调性即可判断. 【详解】由幂函数的定义可知，，解得，所以，则为偶函数，A错误； 在上单调递减，在上单调递增，B错误； 由单调性可知，当时，，，C正确，D错误． 故选：C 二、多选题 8．（24-25高一下·安徽滁州·期末）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性进行大小比较即可，对于D，可以用作商法，再对无理数放缩进行大小比较即可. 【详解】利用是单调递增函数，可得，故A正确； 利用指数函数的单调性可知：， 利用幂函数的单调性可知：，所以，故B错误； 利用指数函数单调性可知：， 利用对数函数单调性可知：，所以，故C正确； 利用作商法， 因为，所以， 即，所以，故D正确； 故选：ACD 9．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 【答案】ACD 【分析】设.根据幂函数的定义即可求得.由即可判断选项A；根据偶函数的定义即可判断选项B；作差法比较与大小即可判断选项C；对变形得，由函数单调性的性质即可判断选项D. 【详解】∵函数是幂函数，∴设. ∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴. ∵，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，故选项A正确； ∵的定义域为，关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数，故选项B错误； ∵，∴. ∵，∴， ∴，∴，故选项C正确； ∵， ∴由函数单调性的性质可知：函数是在上的减函数，故选项D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知的定义域为，值域为，则（ ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，根据题设得真数不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得；对于B，直接代入求解即可；对于C，根据，求解即可；对于D ，根据对数型函数的单调性和真数在恒大于等于零即可解得. 【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立， 所以判别式，即， 所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确； 对于B，若，即， 化简， 故解得，故B错误； 对于C，，因为与无关，所以， ，故定点为，故C正确； 对于D，若在上单调递减，只需要在上单调递减，且，即，解得，故.故D正确. 故选：ACD 12．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数，且在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由函数在区间上为单调函数，结合二次函数与对数函数的性质，得到，再由有两个不同的零点，转化为与的图象有两个不同的交点，进而得到与的图象在上也仅有一个公共点，满足或与的图象相切，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，在区间上为单调函数， 因为时，函数在上单调递增， 所以只需满足，解得， 又因为有两个不同的零点，即由两个不同的实数根， 即函数与的图象有两个不同的交点， 作出函数与的图象，如图所示， 当时，由，可得， 又由，所以， 所以函数与的图象在上仅有一个公共点， 则函数与的图象在上也仅有一个公共点， 则满足或与的图象相切，即有一解， 所以或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为，结合选项，选项B、C满足题意. 故选：BC. 三、填空题 13．（24-25高一下·北京延庆·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】计算即可. 【详解】由题可知：或. 故答案为： 14．（24-25高一下·北京·期中） ； . 【答案】 /0.5 -3 【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值. 【详解】（1）原式 （2）原式. 故答案为： 15．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先得到在的值域为，根据的值域为，可知需满足在上恒成立，即，解不等式可得结果. 【详解】当时，； 又函数的值域为，所以在上恒成立，所以， 解得，即的取值范围是． 故答案为：. 53．（24-25高一下·云南·期中）某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第（）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是 （参考数据：，） 【答案】5 【分析】表示出第个月投入的研发经费为万元，根据题意列不等式，并根据指数函数和对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意可得，则，所以， 所以，所以． 因为，所以的最小值为5． 故答案为：5. 16．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据得或，问题转化为直线与函数的图象有3交点，结合函数图象可得结果. 【详解】 如图所示，作出函数的图象. 由得，， ∴或， 由图象可得直线与函数的图象有4个交点，故方程有4个不相等的实数根， 要使函数有七个不同的零点，需方程有3个不相等的实数根，即直线与函数的图象有3交点， 结合图象可得，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 【答案】(1) (2)8． 【分析】（1）令前面括号内得1，求出后再验证即可； （2）根据题意求出的表达式后利用基本不等式的乘1法可得. 【详解】（1） 因为幂函数，所以，解得或． 当时，，满足， 当时，，不满足，所以． （2） 由（1）得．由，得． 因为， 所以． 又a，b均为正数，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为8． 18．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. (1)求实数m的值； (2)判定的单调性并证明； (3)若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数性质求参数，注意验证即可； （2）利用函数单调性定义及指数函数性质证明函数单调性； （3）法1：根据函数的单调性有，由指数函数单调性求参数范围；法2：应用换元法及函数单调性求参数范围. 【详解】（1）因为在上的图象关于原点对称，所以为奇函数， 所以，即，检验如下， 此时，所以， 故是奇函数，满足要求. 所以. （2）在上单调递减，证明如下： 任取且，则， 因为，所以，又，， 所以，所以在上单调递减. （3）法1：因为，所以可化为 因为在上单调递减，所以， 即，所以，解得. 法2：在中，令，则， 即，即，所以， 即，所以，解得. 19．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知函数 (1)当时，求的最小值； (2)若为偶函数，求的值； (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)的最小值为 (2) (3)的取值范围是 【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值； （2）根据函数的奇偶性求参数即可； （3）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围． 【详解】（1），由于恒成立， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； （2）若为偶函数，则， 所以， 即恒成立，所以； 当时，函数定义域为，满足， 故若为偶函数，则； （3）若对于任意，存在，使得不等式成立， 则恒成立， 令，当时，， 所以，所以当时，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 20．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)当时，； 当时，； 当时，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. （2）由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . （3）由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$