第01讲：函数的基本性质【十一大题型】-2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第01讲：函数的基本性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二：函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点三．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点四．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【题型归纳】 题型一：函数的定义域 1．（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型二：复杂（根式、分式）函数的值域 4．（24-25高一下·贵州·期中）下列函数的值域为是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型三：求解析式三大方法 7．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）已知定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则解析式为（    ） A． B． C． D． 题型四：分段函数 10．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，则（ ） A． B． C．3 D． 11．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：根据函数的单调性求参数范围 13．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六：函数不等式恒成立问题 16．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·广东·期中）已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型七：利用奇偶性求函数的解析式 19．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数，且，则 . 20．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解析式为 . 21．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，其表达式为，则当时，其表达式为 ． 题型八：抽象函数的奇偶性问题 22．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 23．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 24．（22-23高一上·江西萍乡·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 25．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知定义在R上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型十：利用函数性质比较大小 28．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·广东揭阳·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若（为自然对数的底数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型十一：函数性质的综合性问题 32．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 33．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 34．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，. (1)求的解析式； (2)证明:在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【强化精练】 一、单选题 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）下列函数中，是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南·期末）若奇函数对任意都有，且当时，，则（   ） A． B．1 C． D．2 5．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 6．（24-25高一下·浙江杭州·期末）若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·湖北荆门·期末）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 11．（24-25高一下·河北保定·期中）下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的最小值为2 D．函数的值域为 12．（23-24高一下·云南保山·期中）已知函数，下列关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．在上单调递增 三、填空题 13．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数为奇函数，则 ． 14．（19-20高一上·山东菏泽·期末）函数，则 . 15．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 . 16．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 四、解答题 17．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 18．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于t的不等式． 19．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在区间的单调性，并用单调性定义证明； 20．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲：函数的基本性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二：函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点三．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点四．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【题型归纳】 题型一：函数的定义域 1．（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解. 【详解】函数， ，， ． 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数有意义的条件可得函数的定义域. 【详解】选项A，函数的定义为，故A错误； 选项B，由得，故的定义域为，故B错误； 选项C，由得，故的定义域为，故C错误； 选项D，由得，故的定义域为，故D正确， 故选：D 3．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案. 【详解】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法， 在函数中，，解得且. 则定义域为. 故选：C. 题型二：复杂（根式、分式）函数的值域 4．（24-25高一下·贵州·期中）下列函数的值域为是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、反函数、二次函数的性质和图象进行逐一判断. 【详解】对于选项A： 因为为指数函数，所以其值域为. 对于选项B： 因为为二次函数，抛物线开口向上，其值域为. 对于选项C： 因为，其图象为： 可以看出其值域为. 对于选项D： 因为是反函数，所以其值域为. 故选：C. 5．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用换元，分离常数，上下同除结合基本不等式，函数单调性求解各选项对应函数值域即可得答案. 【详解】A选项，令，则， 则函数在上单调递增，则，故A错误； B选项，，则，故B错误； C选项，因，则，又注意到，当且仅当时取等号， 则，故C错误. D选项，注意到函数均在上单调递增，则，故D正确. 故选：D 6．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元设，可得，再结合与二次函数的范围求解即可. 【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为. 故选：A． 题型三：求解析式三大方法 7．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，则，将函数化成关于的函数，再将自变量改为即得. 【详解】令，则，且， 代入原式得， 故的解析式为. 故选：C. 8．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）已知定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，解方程组求即可. 【详解】由可得， 所以由解得， 故选：A 9．（22-23高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设出一次函数的解析式，根据题意列出方程，待定系数法求解即可. 【详解】设一次函数， 则， 即，所以解得， 所以， 故选:C. 题型四：分段函数 10．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，则（ ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的性质，根据定义域代入求分段函数值即可. 【详解】由题意知， 则. 故选：C. 11．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的增函数， 所以，函数在区间上为增函数， 函数在区间上为增函数， 需满足：，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 12．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数在定义域内单调递减，结合分段函数解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段函数的函数值不小于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可. 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 题型五：根据函数的单调性求参数范围 13．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 14．（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数， ∵函数区间上单调递减， ∴，解得， ∴a的取值范围是. 故选：D. 15．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分段函数的单调性结合对数函数单调性列式求解即可. 【详解】因为当时，为减函数，且时，. 又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数， 所以解得， 故选:D. 题型六：函数不等式恒成立问题 16．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，可得出对恒成立，令，由题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数，则函数在上为增函数， 因为对均有成立， 则，即对恒成立， 令，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 17．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数单调性可得,得出在上的最值解不等式即可得结果. 【详解】因为函数对称轴为，函数在上单调递减，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，即，则， 若对任意的，都有， 则只要即可，即， 解得，又因为，则. 故选：D 18．（24-25高一下·广东·期中）已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性结合解析式判断其单调性，将原问题转化为关于x的不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意知是定义在R上的奇函数，且时，， 此时函数在单调递增， 故时，，则，，此时函数在单调递增， 且，故，在R上单调递增； ，即，即， 即，即， 故对任意，都有，即恒成立， 由此可得，解得， 即实数m的取值范围为， 故选：B 题型七：利用奇偶性求函数的解析式 19．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据求出，再根据求出即可求出. 【详解】的定义域为，而为奇函数， 故，而，故，故， 所以，此时，故为奇函数， 故， 故答案为： 20．（23-24高一上·广东清远·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解析式为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质得到，求出时的函数解析式，求出答案. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 当时，， 所以当时，. 综上， 故答案为： 21．（23-24高一上·上海·期末）已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，其表达式为，则当时，其表达式为 ． 【答案】 【分析】利用偶函数性质求解析式即可. 【详解】令，则，故， 又， 所以当时，. 故答案为： 题型八：抽象函数的奇偶性问题 22．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 23．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【答案】B 【分析】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 24．（22-23高一上·江西萍乡·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，函数关于对称，结合题意作出函数的大致图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故选：B. 题型九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 25．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对任意，且，都有，可知在上单调递减，然后由函数的奇偶性求解不等式即可. 【详解】由，且，都有， 则在上单调递减． 又函数是定义在上的奇函数， 则在上单调递减，由，则，且， 故或时，或时，， 所以的解集为， 故选：D． 26．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解. 【详解】设，由且, 则在上单调递增，∵为奇函数，， 故为偶函数， 而， 则，解得：， 故选：D. 27．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知定义在R上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的性质可得出，分析函数的单调性，分、、三种情况解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以，， 因为函数在上单调递增，则该函数在上也为增函数， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 题型十：利用函数性质比较大小 28．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性可得，利用的单调性得，利用在区间上的单调性得，即可求解. 【详解】因为是增函数，则， 又在上单调递增，所以， 因为在区间上单调递减，所以，且，所以， 故选：D. 29．（24-25高一上·广东揭阳·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【详解】由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A 30．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数为上的偶函数，且在上单调递增，若（为自然对数的底数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增， 因为 所以，即. 故选：C. 31．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数、对数函数性质及特殊角的正切比较的大小，再利用函数的性质比较即可. 【详解】依题意，， 由函数是偶函数，得， 又函数在上单调递增，则， 所以的大小关系为. 故选：C. 题型十一：函数性质的综合性问题 32．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数是偶函数结合分段函数解析式求解； （2）根据函数单调性列不等式计算求参. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 33．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 34．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，. (1)求的解析式； (2)证明:在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由时，，得到，再利用为奇函数求解； （2）利用函数单调性的定义证明； （3）利用函数为奇函数，转化为恒成立，再利用（2）在R上单调递减求解. 【详解】（1）解：当时，， ， ∵为奇函数， ∴， ∴； （2）证明：任取，，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴在上单调递减； （3）∵恒成立， ∴恒成立， 又∵为奇函数， ∴恒成立， 由（2）知在上单调递减，且为奇函数， ∴在R上单调递减， ∴恒成立， ∴恒成立， 令， 当时，取得最小值， ∴. 【强化精练】 一、单选题 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）下列函数中，是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数定义逐项判断即可得. 【详解】对A：令，则定义域为，， 故是奇函数，故A错误； 对B：令，则定义域为， ，故是奇函数，故B错误； 对C：令，则定义域为，， 故是偶函数，故C正确； 对D：令，则定义域为，， 故既不是奇函数也不是偶函数，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 3．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用分段函数及指对数运算计算求解. 【详解】函数， 则. 故选：C. 4．（24-25高一下·云南·期末）若奇函数对任意都有，且当时，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先根据判断函数是周期函数，再结合函数的奇偶性求函数值. 【详解】由于函数对任意都有， 所以，所以是周期为4的函数， 所以. 由于是奇函数，所以. 故选：A 5．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 【答案】D 【分析】根据对数函数性质可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断C；根据复合函数单调性可判断D. 【详解】对于A，要使函数有意义，则，解得或， 所以函数定义域为，故A错误； 对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误； 对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误； 对于D，令，则， 由二次函数性质可知，在区间上单调递减， 由对数函数性质可知，在定义域内单调递增， 所以在区间上单调递减，故D正确. 故选：D 6．（24-25高一下·浙江杭州·期末）若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合一次函数和二次函数的单调性即可求得. 【详解】由题意可知，在上单调递增，则，即， 在上单调递增，则， 又是R上的单调递增函数，则，即， 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：C 7．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式. 【详解】由于，所以是偶函数， 又因为，由当时，在上是减函数， 所以在上是减函数， 则，可得， 平方得：，解得， 故选：D. 8．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单调性的定义，在上为增函数，又函数为定义在上的奇函数，所以当时，，当时，即可得解． 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 二、多选题 9．（24-25高一下·湖北荆门·期末）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 又，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 又为增函数，为减函数， 根据单调性的性质：增函数-减函数=增函数， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 因为，所以在上为增函数， 在上为减函数，故C不符合题意； 对于D，函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以是奇函数，又， 令，则为增函数，又函数为增函数， 所以在R上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】取特值代入排除A项，利用函数的奇偶性定义判断B项；利用函数的单调性定义判断C，D两项. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数，B正确； 对于C，任取，， 因，故，即在上单调递减，故C正确； 对于D，任取，， 因，故，即在上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·河北保定·期中）下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的最小值为2 D．函数的值域为 【答案】AB 【分析】利用相同函数的定义判断A；求出抽象函数定义域判断B；求出最小值判断C；求出值域判断D. 【详解】对于A，函数与的定义域均为，且， 即两个函数的对应法则也相同，A正确； 对于B，由函数的定义域为，得，解得， 函数的定义域为，B正确； 对于C，令，函数在上单调递增， 则，C错误； 对于D，函数的定义域为，且在上单调递增，，D错误. 故选：AB. 12．（23-24高一下·云南保山·期中）已知函数，下列关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．在上单调递增 【答案】BD 【分析】根据题意，由指数函数的性质结合分段函数解析式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，函数，函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，单调递增，则， 当时，，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，又，所以，故C错误； 对于D，当时，，故在上单调递增，则D正确. 故选：BD. 三、填空题 13．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质求参数值即可. 【详解】由题设，函数定义域为R，则，可得， 所以，则，满足题设. 故答案为： 14．（19-20高一上·山东菏泽·期末）函数，则 . 【答案】3 【分析】根据自变量的值确定代入哪一段函数解析式来计算内层函数值，再将内层函数值作为新的自变量，代入相应解析式计算外层函数值. 【详解】已知函数， 因为，所以将代入中， 可得. 因为，此时求即求. 又因为，所以将代入中，可得， 所以. 故答案为：3. 15．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可先确定时的值域，再利用函数的值域为，得到时，函数的单调性及端点函数值的范围即可求. 【详解】因为时，，所以， 又的值域为，所以时，的值域至少要取到， 则. 故答案为：. 16．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题设有关于对称，在上为严格增函数，利用对称性和单调性有，即可求解. 【详解】由，即关于对称， 又在上为严格减函数，则在上为严格增函数， 由，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 17．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据解析式和奇偶性求值； （2）利用奇偶性的定义求解析式； （3）根据（2）中解析式得函数的简图，由图象得单调区间. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 18．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数，即可得函数解析式； （2）应用单调性定义证明函数单调性； （3）利用函数的奇偶性、单调性列不等式组求解集. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时，恒成立． （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， 而，，，故在上单调递增． （3）因为为奇函数，原不等式等价于， 又在上单调递增，所以，解得， 综上． 19．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在区间的单调性，并用单调性定义证明； 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由求出，再由求出，最后再检验. （2）设，对进行适当变形判断符号即可得出函数的单调性. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有，且，则，解得， 则函数的解析式：， 经检验，，故是奇函数． 所以． （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 设，则， 由于，则，即， 又，则有，即， 所以在上单调递增． 20．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知函数． (1)若为偶函数； ①求实数的值； ②若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①利用偶函数的定义求出；②利用单调性定义确定函数在上的单调性，换元，利用二次函数最值问题求出. （2）由奇函数求出，再等价变形不等式并分离参数，换元，结合单调性求出最小值即可. 【详解】（1）①函数的定义域为R，由为偶函数，得， 则，整理得，即， 而不恒为0，所以. ②由①得，令，， ，由，得，， 因此，即，函数在上单调递增， 当时，，令，， 由函数在区间上的最小值为－11， 得函数在上的最小值为－11， ①当时，在上单调递增，，解得，不满足题意； ②当时，，则， 所以． （2）由为奇函数，得，则，此时， 而，即函数是奇函数， 不等式 ，函数在R上递增， 则在R上递增，当时，， 不等式，由不等式在上有解， 得不等式在上有解，由（1）知在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增，当时，，则， 所以实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$