专题01 有理数（数学竞赛培优专项训练）

专题01 有理数 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 有理数的初步认识 考点二 数轴上两点之间的距离 考点三 根据点在数轴的位置判断式子的正负 考点四 相反数的定义 考点五 相反数的应用 考点六 绝对值的几何应用 考点七 绝对值的非负性 考点八 绝对值方程 考点九 有理数大小比较 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题20道） 考点一 有理数的初步认识 1．有理数，，，，0，，中正数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知是质数，且是质数，则满足条件的数组共有（    ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 考点二 数轴上两点之间的距离 4．如图，在数轴上，点表示的数分别为，在线段上有任意取一点D，则的概率为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，数轴上的三点所表示的数分别为．若，，且原点与的距离分别为1.5、2.5，则（    ）    A．3.5 B．0.5 C． D． 6．如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（    ）．    A． B． C． D． 考点三 根据点在数轴的位置判断式子的正负 7．有理数在数轴上的对应位置如图所示，则在中负数的个数是（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 8．如图，数轴上点、点、点分别对应数，则在中，正数共有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．若有理数在数轴上所对应的点的位置如下图所示，则（    ） A． B． C． D． 考点四 相反数的定义 10．若均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若互为相反数，则 B． C．若，则的倒数是 D．是一个正数 11．已知，若是的相反数，是的倒数，是的绝对值，则（    ） A． B．1 C． D．3 12．若数的任意正奇数次幂都等于的相反数，则为（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．非正数 考点五 相反数的应用 13．已知与互为相反数，则的值为（    ） A．7 B． C．1 D． 14．下列说法：①若、互为相反数，则；②若，则、互为相反数；③一个数的平方是它本身，则这个数为0或1；④若，则，其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①③④ D．②③④ 15．若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 考点六 绝对值的几何应用 16．，在数轴上的位置如图．则在，，，中负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．在数轴上有间隔相等的四个点，所表示的数分别为，其中有两个数互为相反数，若的绝对值最大，则数轴的原点是（　　） A．点 B．点 C．点或，的中点 D．点或，的中点 18．下列说法中正确的个数是（    ） ①当时， ②若a是有理数， ③若，，那么a、b为一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值 ④相反数等于本身的数只有一个，而绝对值等于本身的数有无数个 A．1 B．2 C．3 D．4 考点七 绝对值的非负性 19．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．已知等腰三角形的两边长分别为，且，则此三角形的周长为（   ） A．13 B．17 C．13或17 D．14或16 21．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 考点八 绝对值方程 22．方程组共有（   ）组解（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．方程的解有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 24．已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（    ） A．2 B．2或10 C．6或10 D．6 考点九 有理数大小比较 25．把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 26．若，则a，，由小到大排列正确的是（    ） A． B． C． D． 27．设a，b，c的平均数是M，a，b的平均数是N，N与c的平均数是P．若，则M与P的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不能确定 一、单选题 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知数轴上有三点、、，点在点左边，相隔2个单位长度；点在点右边，相隔5个单位长度，若点表示的实数为1，则点表示的实数为（    ）． A．7 B．3 C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）方程组，的解的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（    ）．    A． B． C． D． 4．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）比较分数与的大小，结果是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的方程恰有三个根，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 6．（2024七年级·全国·竞赛）方程的解有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2024七年级·全国·竞赛）已知，其中都是自然数，且，则满足条件的整数的个数有（   ） A．36个 B．63个 C．69个 D．88个 8．（2024八年级·全国·竞赛）在第四象限内有一点，且，那么点M关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）方程和方程的解互为相反数，则 ． 10．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）若与互为相反数，则的值是 ． 11．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）若、互为相反数，、互为倒数，则的值为 ． 12．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）已知，若，则 ． 13．（2024九年级·全国·竞赛）设的最小值为a，最大值为b，其中，则 ． 14．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 15．（2024七年级·全国·竞赛）当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为 ． 16．（2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 三、解答题 17．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）解方程： (1)； (2)． 18．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）已知数轴上3的对应点是A，一个动点从原点出发在数轴上移动，每秒移动一个单位．如果第秒末正好位于点A，那么 (1)t可取的值是______； (2)满足上述结果的不同运动路线共有几种？请用你喜欢的方式表示出来． 19．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 20．（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 有理数的初步认识 考点二 数轴上两点之间的距离 考点三 根据点在数轴的位置判断式子的正负 考点四 相反数的定义 考点五 相反数的应用 考点六 绝对值的几何应用 考点七 绝对值的非负性 考点八 绝对值方程 考点九 有理数大小比较 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题20道） 考点一 有理数的初步认识 1．有理数，，，，0，，中正数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方法则、绝对值的性质计算，判断即可． 【详解】解：，，，，0既不是正数，也不是负数，，， 所以正数的个数有2个 故选：B． 【点睛】本题考查的是有理数的概念、有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则、有理数的概念是解题的关键． 2．若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键． 分别用列举法确定为整数的的值，然后取公共部分即可解答． 【详解】解：∵为整数时， ∴可取； ∵为整数时， ∴可取， ∴当为整数时，可取值为共两个． 故选C． 3．已知是质数，且是质数，则满足条件的数组共有（    ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的相关概念，关键是确定唯一的偶质数2．m、n是质数，且是质数，根据数的奇偶性，奇数+偶数=奇数，所以m、n中一定有一个数是偶质数2，又因为，所以，所以，那么，然后写出这之间的质数即可． 【详解】解：因为m，n是质数，且是质数，根据数的奇偶性，m，n中一定有一个数是偶质数2， ∵， ∴， ∴，那么． ∴，5，共有2个． ∴满足题意的数组有2组． 故选：C． 考点二 数轴上两点之间的距离 4．如图，在数轴上，点表示的数分别为，在线段上有任意取一点D，则的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了概率公式，关键是求出点D到点B的距离不大于2的点在线段的长，用到的知识点为：概率=相应的线段长与总线段长之比，先求出两点间的距离，根据距离的定义找出符合条件的点，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵点表示的数分别为， 间距离为，点D到点B的距离不大于2的点是表示3到之间的点，满足条件的点组成的线段的长是， ∴其概率为， 故选：B． 5．如图，数轴上的三点所表示的数分别为．若，，且原点与的距离分别为1.5、2.5，则（    ）    A．3.5 B．0.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质和数轴上两点之间的距离，确定原点的位置是解题的关键． 根据三点所表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出，，再根据原点与的距离分别为1.5、2.5，即可得出，，结合间的关系即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵原点与的距离分别为1.5、2.5， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 故选：C． 6．如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴、实数的运算、对称性质，根据数轴上两点间的距离和对称性质求解即可． 【详解】解：由对称性质得， ∴点所表示的实数是， 故选：A． 考点三 根据点在数轴的位置判断式子的正负 7．有理数在数轴上的对应位置如图所示，则在中负数的个数是（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】先确定a,b的符号，再逐一确定式子的符号，解答即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上有理数的大小比较的原则是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，，， ∴是负数，是正数，是负数，是负数，是正数，是负数，有4个负数， 故选C． 8．如图，数轴上点、点、点分别对应数，则在中，正数共有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴确定代数式符号，涉及数轴定义与性质、去绝对值等知识，根据数轴上点的位置确定大小及符号，从而逐个判断出代数式符号，熟练掌握数轴性质得到大小及符号是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，，， ，则；；；；； 综上所述，有3个代数式是正数， 故选：C． 9．若有理数在数轴上所对应的点的位置如下图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的化简，先根据题意得出，，再化简绝对值，根据整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得出：，， ∴， 故选：A． 考点四 相反数的定义 10．若均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若互为相反数，则 B． C．若，则的倒数是 D．是一个正数 【答案】C 【分析】本题考查相反数，倒数，二次根式的性质，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A. 若互为相反数，则，当时，不成立，故选项不正确，不符合题意； B. ，故选项不正确，不符合题意； C. 若，则的倒数是，故选项正确，符合题意； D. 是一个正数或0，故选项不正确，不符合题意； 故选：C． 11．已知，若是的相反数，是的倒数，是的绝对值，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，倒数的定义，求代数式的值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由相反数的定义，绝对值的定义，倒数的定义，先求出的a、b、c值，再代入计算即可． 【详解】∵，若是的相反数，是的倒数，是的绝对值， ∴，，， ∴． 故选：A． 12．若数的任意正奇数次幂都等于的相反数，则为（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．非正数 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，同底数幂运算，解题的关键是熟练掌握定义和运算法则，根据题意得出，根据，得出． 【详解】解：∵数的任意正奇数次幂都等于的相反数， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 考点五 相反数的应用 13．已知与互为相反数，则的值为（    ） A．7 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的性质，偶次幂以及绝对值的非负性，根据题意得出，求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由， 知， 即，， 所以． 故选：C． 14．下列说法：①若、互为相反数，则；②若，则、互为相反数；③一个数的平方是它本身，则这个数为0或1；④若，则，其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】①取==0，可作出判断； ②两边乘以5b得出a与b的关系，可作出判断； ③根据平方的性质，可作出判断； ④取a=时，计算出则和的值，可作出判断. 【详解】解：①当==0时，有，故①错误； ②若，则=-所以、互为相反数，故②正确； ③一个数的平方是它本身，则这个数为0或1，故③正确； ④当a=时，则，，所以，故④错误. 故选：A. 【点睛】本题考查了有理数的相反数、倒数、绝对值、乘方等知识点，掌握相关知识点是解题的关键． 15．若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数的性质，解一元一次方程，根据相反数的性质得到，解方程即可解答． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， 解得． 故选：A 考点六 绝对值的几何应用 16．，在数轴上的位置如图．则在，，，中负数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较等知识点，根据题中所给的数轴得：，，，可得，，，，进而即可得解，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：由图可知，，，， ∴，，，， ∴和是负数，共两个， 故选：B． 17．在数轴上有间隔相等的四个点，所表示的数分别为，其中有两个数互为相反数，若的绝对值最大，则数轴的原点是（　　） A．点 B．点 C．点或，的中点 D．点或，的中点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值的意义，由题意综合分析，原点位置应该是中点或点，解题的关键是理解相反数和绝对值的意义． 【详解】解：的绝对值最大， ∴点离原点最远， ∵有两个数互为相反数， ∴原点在某两点的中点， 综上，原点是的中点或点， 故选：D． 18．下列说法中正确的个数是（    ） ①当时， ②若a是有理数， ③若，，那么a、b为一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值 ④相反数等于本身的数只有一个，而绝对值等于本身的数有无数个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别根据绝对值的定义，有理数的意义，乘法法则和加法法则，相反数的定义判断即可． 【详解】①当时，，故错误； ②若a是有理数，，故错误； ③若，，那么a、b为一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值，故正确； ④相反数等于本身的数只有，而绝对值等于本身的数有无数个，故正确； 只有③④正确， 故选B． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，有理数的意义，乘法法则和加法法则，相反数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 考点七 绝对值的非负性 19．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数的计算，理解二次根式的非负性质和绝对值的非负性质是解题的关键．根据二次根式和绝对值的性质，两个非负数相加等于0，则，，解出和的值即可． 【详解】解：因为； 所以，； 解得：； 所以； 故选：B． 20．已知等腰三角形的两边长分别为，且，则此三角形的周长为（   ） A．13 B．17 C．13或17 D．14或16 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性应用，算术平方根的非负性应用，三角形的三边关系应用，根据绝对值和算术平方根的非负性求出的值，再应用三角形的三边关系判断即可求解，解题的关键是掌握绝对值和算术平方根的非负性． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 当腰长，为底边长时， ∵， ∴不构成三角形， 当底边长，为腰长时， ∵， ∴能构成三角形， ∴三角形的周长， 故选：． 21．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 考点八 绝对值方程 22．方程组共有（   ）组解（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解绝对值方程和二元一次方程组，熟练掌握绝对值方程的解法是解题的关键． 根据绝对值方程的意义进行分情况讨论，再分别解出各个二元一次方程组即可求解． 【详解】解：由可得：， ∴原方程组可化为：或或或或或， 解得或或或或或， ∴原方程组的解为或或， 综上所述：方程组共有3组解． 故选：C． 23．方程的解有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的性质，依据绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 根据绝对值的性质分类讨论，再解方程即可． 【详解】解：， 或（舍）， ， 故答案为：C. 24．已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（    ） A．2 B．2或10 C．6或10 D．6 【答案】A 【分析】先求出，再根据得到，解方程后把x的值代入验证即可．此题考查了去括号法则、相反数、绝对值方程等知识，得到方程是解题的关键． 【详解】解：∵有理数与互为相反数， ∴， ∵，， ∴， 解得或． 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴． 故选：A 考点九 有理数大小比较 25．把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可． 【详解】解：， 又， ∵， ∴， ∴， ． 故选：A． 26．若，则a，，由小到大排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数、平方等性质，求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即 故选：C 【点睛】此题考查了平方和倒数的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 27．设a，b，c的平均数是M，a，b的平均数是N，N与c的平均数是P．若，则M与P的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解  依题意，． 因，故，即．故应选B 一、单选题 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知数轴上有三点、、，点在点左边，相隔2个单位长度；点在点右边，相隔5个单位长度，若点表示的实数为1，则点表示的实数为（    ）． A．7 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离；熟练掌握“数轴上任意不同的两点间的距离=右边的数-左边的数”是解题的关键． 根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：∵点在点右边，相隔5个单位长度，点表示的实数为1， ∴点表示的实数为； ∵点在点左边，相隔2个单位长度， ∴点表示的实数为； 故选：D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）方程组，的解的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】分，两种情况，分别解关于的绝对值方程，即可求解，本题考查了含绝对值的二元一次方程组，解题的关键是：分情况讨论． 【详解】解： 当时，， ，若，则，无解； 若，则，得，不符，舍去； 当时，， ，若，则，无解； 若，则，解得：，符合，进而得， ∴原方程组的解为：， 故选：． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴、实数的运算、对称性质，根据数轴上两点间的距离和对称性质求解即可． 【详解】解：由对称性质得， ∴点所表示的实数是， 故选：A． 4．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）比较分数与的大小，结果是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，由于分数的分母和分子都是较大数，通分化为同分母比较困难， 利用，，将它们转化为同分子比较，即可得出结论． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴ ∴ 故选A． 5．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的方程恰有三个根，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先化简绝对值方程为两个一元二次方程①和②，再分三种情况讨论：（1）方程①有两个不相等的实根，方程②有等根；（2）方程②有两个不相等的实根，方程①有等根；（3）两个方程均有两个不相等的实根，且两个方程恰有一个相同的根．针对每种情况分别利用根的判别式列出方程或不等式求解并验证，即可得到答案． 【详解】， 或， 整理得①或②， 设方程①的判别式为，方程②的判别式为， 若原方程恰有三个根，则有三种可能： （1）， ， ， 此时，， 或， 解得，或， 满足题意的t的值是； （2）， ， ， 当时，， 或， 解得，或， ， ， 但，不满足题意，舍去； （3），且两方程恰有一个相同的根， ， ， 设相同的根为， 则， 解得，， 当时，， 解得或或，符合题意； 当时，， 解得或或， 但此时，三个解均不合题意，舍去； 综上所述，的值为或． 故选B． 【点睛】本题考查了解绝对值方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解方程恰有三个根的含义是解答本题的关键． 6．（2024七年级·全国·竞赛）方程的解有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的性质，依据绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 根据绝对值的性质分类讨论，再解方程即可． 【详解】解：， 或（舍）， ， 故答案为：C. 7．（2024七年级·全国·竞赛）已知，其中都是自然数，且，则满足条件的整数的个数有（   ） A．36个 B．63个 C．69个 D．88个 【答案】D 【分析】本题考查的是代数式的求值，有理数的大小比较，清晰的分类讨论是解本题的关键，先判断为到的自然数，再讨论即可． 【详解】解：∵，，都是自然数， ∴为到的自然数， 当时，则为到的自然数，有个， 此时，为的倍数， 当时，， ∴为到的自然数，有个， 当时，， ∴为到的自然数，有个， 当时，， ∴为到的自然数，有个， 当时，， ∴为到的自然数，有个，但是全部重复， 当时，， ∴为到的自然数，有个，但是全部重复， 同理可得：为到的自然数，全部重复， 综上：满足条件的整数的个数有（个）， 故选D 8．（2024八年级·全国·竞赛）在第四象限内有一点，且，那么点M关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、点所在的象限、求关于原点对称的点的坐标，先求得点M的坐标，再根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：依题意，， ∴点关于原点对称的点是． 故选：A． 二、填空题 9．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）方程和方程的解互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟知方程的解的定义是解题的关键．分别求出两个方程的解，根据两方程的解互为相反数即可求出m的值． 【详解】解：， ， ； ， ， ． ∵方程和方程的解互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）若与互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数及解方程组等知识点，根据互为相反数两数和为0可得，再根据非负数的性质可得出关于x和y的方程组，解出可得x和y的值，代入可得出答案，熟练掌握其性质并能灵活解方程组是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 又，， ∴，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 11．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）若、互为相反数，、互为倒数，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，求代数式的值．根据、互为相反数，、互为倒数，可得，，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数， ∴，， ∴， ， 故答案为：0． 12．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）已知，若，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了化简绝对值，根据即可求解； 【详解】解：∵， ①当，则； ②当，则， 故答案为：或 13．（2024九年级·全国·竞赛）设的最小值为a，最大值为b，其中，则 ． 【答案】7 【分析】设，把x的取值分为和，先根据绝对值的性质化简代数式，再根据一次函数的增减性求出其最大值和最小值，最后把两种情况综合起来，确定a和b的值． 此题主要考查了绝对值的性质，分两段确定代数式的最大值和最小值是解答此题的关键． 【详解】设， 当时， ， ， ， 此时y随x的增大而增大， ∴当时，， 当时，； 当时， ， ， ， 此时y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 综上，，， ， 故答案为：7． 14．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．（2024七年级·全国·竞赛）当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值．首先把代入代数式中，得到，再把代入求值即可． 【详解】解：当时，，则， 当时， ， 故答案为：． 16．（2024七年级·全国·竞赛）已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查数轴和有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，先根据数轴，求出的取值范围，依此确定的取值范围，再去绝对值符号计算即可． 【详解】解：根据数轴得： ∴，，，， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 17．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值方程等知识点，熟练掌握一元一次方程的解法并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）将方程化为，各部分分别通分并相加，将方程变形为，于是得解； （2）分类讨论：当时；当时；当时；分别求解即可． 掌握解法，能将方程转化为一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 综上所述：或或． 18．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）已知数轴上3的对应点是A，一个动点从原点出发在数轴上移动，每秒移动一个单位．如果第秒末正好位于点A，那么 (1)t可取的值是______； (2)满足上述结果的不同运动路线共有几种？请用你喜欢的方式表示出来． 【答案】(1)或 (2)6；见解析 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，解题的关键是根据题目要求移动动点即可． （1）根据题意，因为第秒末正好位于点A，即t可以等于1，2，3，4，5，6，一个动点从原点出发在数轴上移动，每秒移动一个单位，最后落在3这个点上，所以动点从原点一直向正方向跳动直至A点，即路径为，此时；动点从原点向负方向跳动一次，其余为向正方向跳动直至A点，此时； （2）列出不同的运动路线，求和即可． 【详解】（1）解：第一种情况：动点从原点一直向正方向跳动直到A点，即路径为，此时； 第二种情况：动点从原点向负方向跳动一次，其余为向正方向跳动直至A点，其中一条路径为，此时； 综上分析可知：或； （2）解：解析（1）中的第一种情况只有一条路径：； 第二种情况有五条路径：①； ②； ③； ④； ⑤； ∴不同的运动路径共有（种）． 19．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 20．（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键熟练掌握绝对值的意义． （1）一共有123个数，求出，代入求值即可； （2）将原式变形后，得出，代入求值即可． 【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小， 此时，； （2）解： 有2个，3个，5个，7个，9个，共个数， ，当取第13个数时，的值最小， 此时， ． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$