专题3 认识有理数 2025-2026学年北师大版七年级上册数学暑假预习

2025-2026年北师大版七上数学暑假预习 专题3 认识有理数 【知识点脉络】 【知识点梳理】 1. 分类 有限小数和无限循环小数都是分数，都是有理数 2. 正负数：表示相反意义的量 3. 相反数 ①数量相等，符号相反的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0 ②在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等 ③互为相反数的两个数的和是0。即a+(-a)=0 4. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 ①数轴三要素：原点、正方向、单位长度 ②任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。（反过来说不对） ③在同一数轴上，右边的数总比左边的数大 5.倒数 ①乘积为1的两个有理数互为倒数（乘积为-1的两个有理数互为负倒数） ②如果a与b互为倒数，则有ab=1,反之亦成立 ③倒数等于本身的数是1和-1。0没有倒数 6.绝对值 ①一个数的数量大小叫做这个数的绝对值 ②几何意义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，记作 ③任何数的绝对值总是非负数，即 ④正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 7. 有理数比较大小 ①正数>0>负数 ②正数和正数比较大小，绝对值大的就大 ③负数和负数比较大小，绝对值大的反而小 【例题讲解】 知识点1：有理数的分类 【例1】1.把下列各数分类，并填在表示相应的大括号内：，，，，，，， 整数：； 分数：； 非负数：； 正数：； 【答案】(1)解：整数集合：； 故答案为：，，； (2)分数集合：； 故答案为：，，，； (3)非负数集合：，，，，； 故答案为：，，，，； (4)正数集合：{，11，，…}； 故答案为：，11，，． 【解析】 本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数定义是解题的关键． 根据题意将整数填入括号内即可；  根据题意将分数包括小数与百分数填入括号内即可；  将不是负数的数填入括号内即可；  将正数填入括号内，即可求解． 【变式练习1】2.请你根据有理数的分类，将下列各数填入相应的大括号中： ． 分数：______； 负数：______； 非负有理数：______ 知识点2：正负数表示相反意义的量 【例2】3.规定：表示向右移动记作，则表示向左移动记作(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 【变式练习2】4.如果向北走记作，那么表示． A. 向东走 B. 向南走 C. 向西走 D. 向北走 知识点3：相反数的认识 【例3】5.的相反数是          ；的绝对值是          ． 【答案】  【解析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是， 故答案为：；． 【变式练习3】6.下列说法中正确的有________填序号． 一定是负数； 只有负数的绝对值是它的相反数； 数轴上任意一点都表示有理数； 最大的负整数是． 知识点4：绝对值的认识 【例4】7.的相反数是          ，绝对值是          ． 【答案】 【解析】略 【变式练习4】8.相反数等于它本身的数是          ，绝对值等于它本身的数是          ． 知识点5：数轴的认识 【例5】9.如图，图中数轴画法正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查数轴的画法，掌握数轴的三要素是解题关键．根据数轴的正确画法可得答案． 【解答】 解：数轴是一条直线，有原点、正方向和单位长度， 是正确的， 故选D． 【变式练习5】10.如图，下列数轴画法不正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 知识点6：数轴的画法 11. 【例6】在数轴上表示下列各数及它们的相反数． ，，，，． 【答案】解：， ，，，，的相反数分别为，，，，， 用数轴表示为： 【解析】本题考查了数轴和相反数． 根据相反数的定义得到，，，，的相反数分别为，，，，，再利用数轴表示数的方法表示所给的个数。 【变式练习6】12.将下列有理数标在数轴上： 知识点7：相反数与绝对值的几何意义 【例7】13.已知有理数，，，在数轴上的对应点如图所示．若有理数，互为相反数，则这四个有理数中，绝对值最大的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】因为，互为相反数，所以原点在表示，两个数的点的正中间．由题图，得表示数的点距原点最远，所以这四个有理数中，绝对值最大的是． 【变式练习7】14.如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，若与互为相反数，则，，，四个数中，绝对值最大的是  (    ) A. B. C. D. 知识点8：有理数比较大小 【例8】15.有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期下列各组有理数大小比较，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、，则该选项错误，不符合题意； B、，，，，则该选项正确，符合题意； C、，，、分子相同，分母不同，且，，，则该选项错误，不符合题意； D、，，，则该选项错误，不符合题意； 故选：． 利用有理数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 【变式练习8】16.下列比较大小正确的是(    ) A. B.   C. D.     知识点9：有理数的综合应用 【例9】17.如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． 在数轴上标出原点． 在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，， 【答案】解：原点如图， ，， 各点在数轴上表示为： ．  【解析】根据点表示的数是，点表示的数是找出原点即可； 把各数在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可． 本题考查的是绝对值，数轴，有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 【变式练习9】18.某市城区公交车施行全程免费乘坐政策，标志着公共交通建设迈进了一个新的时代．如图为某一条东西方向直线上的公交线路，东起职教园区站，西至富士康站，途中共设个上下车站点，如图所示： 某天，小明从电业局站出发，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，到站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下单位：站：，，，，，，，，， 请通过计算说明站是哪一站？ 若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？ 【当堂练习】 1、 选择题 1.的相反数是(    ) A. B. C. D. 2.下列各数比小的是(    ) A. B. C. D. 3.世界上陆地海拔最低的四个地方主要分布在极端干旱或地质活动频繁的洼地、湖泊及盆地中，以下是具体信息：其中海拔最低的是(    ) 地区 阿萨勒湖 艾丁湖 盖塔拉洼地 死海 最低海拔 A. 阿萨勒湖 B. 艾丁湖 C. 盖塔拉洼地 D. 死海 4.实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 5.有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则这三个数中，绝对值最大的是  (    ) A. B. C. D. 不能确定 6.某用品公司检测排球的质量，超过标准质量的克数记为正数下列四个球的质量最接近标准质量的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题 7.的相反数是          ． 8.的倒数是______；的相反数是______；倒数等于它本身的有理数是______． 9.请写出一个其相反数是负数的数为______． 10.如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：______． 三、解答题 11.把下列各数填在相应的括号里：，，，，，，． 正数______； 负数______； 分数______； 非负数______； 非正整数______ 12.在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来： ，，，，，． 13.学习有理数运算之后，学习兴趣小组利用家长微信账单的记录，了解家庭的一周收支情况一周的账单记录收入记为正，支出记为负如表： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 合计 收支数单位：元 ______ 请你计算周六的收支数，并说明周六是收入还是支出，金额是多少？ 14.年飞行大会，应我市邀请，俄罗斯特技飞行队在瑶湖风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 下降 记作 此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ 若飞机平均上升千米需消耗升燃油，平均下降千米需消耗升燃油，那么这架飞机在这个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 【变式练习答案及解析】 【变式练习1】【答案】解：，，，，，； ，，，； ，，，，，，．  【解析】解：分数是一个整数和一个正整数的不等于整数的比，即，有限小数和无限循环小数都可以化为分数， 所以分数是：； 负数是小于的数，， 所以负数是：； 非负有理数是正有理数和的统称， 所以非负有理数是：． 故答案为：，，，，，；，，，；，，，，，，． 根据有理数、正数和负数的概念解答即可． 本题考查了有理数、正数和负数，解题的关键是牢记有理数的分类标准． 【变式练习2】【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了正数和负数的应用．根据规定得到“”表示的意义是解决本题的关键． 根据向北和向南是具有相反意义的量，可直接得结论． 【解答】 解：因为向北走记作“”， 所以“”表示向南走． 则表示：向南走了． 故选B． 【变式练习3】【答案】  【解析】【分析】此题主要考查正数和负数的定义，相反数及绝对值的性质和整数的定义，考查的知识点比较全面，是一道基础题． 根据正数和负数的定义、负整数的定义、相反数及绝对值的性质，对题目给的四句话进行一一判断． 【解答】 解：，，故题干的说法错误； ，的绝对值也是它的相反数，题干的说法错误； 数轴上任意一点都表示实数，故题干的说法错误； 最大的负整数是的说法是正确的． 故填：． 【变式练习4】【答案】 非负数 【解析】略 【变式练习5】【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查数轴，具有原点，正方向，单位长度的直线才是数轴，缺一不可． 解：缺少正方向， 单位长度不一样， 缺少单位长度， 数值标错， 正确， 故选C． 【变式练习6】【答案】解： 【解析】本题考查了数轴上的点表示数 根据数轴是用点表示数的一条直线，可把数表示在数轴上。 【变式练习7】【答案】A  【解析】因为和互为相反数，所以数轴的原点在线段的正中间．所以点表示的数的绝对值最大． 【变式练习8】【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了相反数，绝对值，以及有理数的大小比较，准确化简各数是解题的关键． 先化简各数，然后根据正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可判断． 【解答】 解：、，，，，故A不符合题意； B、，，，，故B不符合题意； C、，，，故C符合题意； D、，，， ，故D不符合题意． 故选：． 【变式练习9】【答案】解：由题意得： ，在电业局东第站是市政府， 答：站是市政府站； 由题意得： 千米． 答：小明志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是千米．  【解析】求出这些数的和，根据和的符号和绝对值判断站的位置； 计算所有站数绝对值的和，再乘以即可． 考查数轴表示数的意义，理解绝对值、正负数的意义是解题的关键． 【当堂练习答案及解析】 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】解：，，故不符合题意； B.，，，，故不符合题意； C.，，故不符合题意； D.，，，，故符合题意； 故选：． 利用有理数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 3.【答案】  【解析】解：， 其中海拔最低的是死海． 故选：． 根据有理数的大小比较方法解答即可． 本题考查了有理数的大小比较以及正数和负数，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 4.【答案】  【解析】解：， 原点在，的中间， ，， ，，，， 故选项C符合题意． 故选：． 根据，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答． 本题考查了实数与数轴，绝对值和有理数的大小比较，解决本题的关键是确定原点的位置． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】解：由题意可得各数的绝对值分别为，，，， ， 四个球的质量最接近标准质量的是， 故选：． 根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值后比较大小即可． 本题考查正数和负数，绝对值，熟练掌握其实际意义是解题的关键． 7.【答案】  【解析】根据绝对值、相反数的定义进行计算即可． 【详解】，的相反数为  的相反数为 故答案为 8.【答案】      【解析】解：， 的倒数是； ， 的相反数是； 倒数等于它本身的有理数是． 故答案为：；；． 根据有理数、相反数、绝对值、倒数的定义回答即可． 本题考查的是有理数、相反数、绝对值、倒数的定义，掌握有理数、相反数、绝对值、倒数的定义是解题的关键． 9.【答案】答案不唯一  【解析】解：其相反数是负数的数为， 故答案为：答案不唯一． 根据正数和负数的定义，相反数的定义写出一个符合题意的数即可． 本题考查相反数，正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：由数轴可知：，， ， ． 故答案为：． 先观察数轴，判断，的大小，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 本题主要考查了数轴和绝对值，解题关键是熟练掌握数轴的定义和绝对值的性质． 11.【答案】，，  ，，  ，，  ，，，  ，  【解析】解：，． 正数：，，； 负数：，，； 分数：，，； 非负数：，，，； 非正整数：，． 故答案为：，，；，，；，，；，，，；，． 先利用相反数和绝对值的定义化简、，再根据有理数的相关定义分类． 本题考查了有理数的分类，掌握绝对值、相反数的意义及有理数的相关定义是解决本题的关键． 12.【答案】解：如图所示．．   【解析】略 13.【答案】  【解析】解： ． 答：周六是支出，金额是元．  故答案为：． 根据合计金额减去一周的已知数据得出周六的收支数，根据正负数的意义，即可求解． 本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，掌握有理数的混合运算法则是关键． 14.【答案】解： 答：此时这架飞机比起飞点高了千米． 升， 答：一共消耗升燃油．  【解析】根据正负数的意义、有理数的加减混合运算法则计算 分别求出上升的千米数和下降的千米数，再将上升的千米数下降的千米数，即可求出表演过程中的耗油量． 本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$