21.2.1 配方法 讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2.1 配方法 讲义 知识点梳理 一、配方法的概念 配方法是指将一个一元二次方程通过变形，把左边式子配成完全平方式的形式来求解方程的方法。 二、利用配方法解一元二次方程的步骤 （一）对于一元二次方程（），当时： 1.移项： 把常数项移到方程右边，得到。 例如：对于方程，先移项得到。 2.配方： 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 对于，一次项系数是，一半为，其平方是，那么在方程两边同时加上，得到，此时左边式子就构成了完全平方式。 例如：在中，一次项系数，一半是，其平方，在方程两边同时加上，得到，即。 3.求解： 对变形后的方程进行开平方运算，得到，然后解出的值。 例如：由，开平方得，即或，解得，。 （二）对于一元二次方程（），当时： 1.先将二次项系数化为1： 方程两边同时除以，得到。 例如：对于方程，两边同时除以，得到。 2.按照上述时的步骤进行操作： （1）移项：将常数项移到方程右边，如对于，移项得到。 （2）配方：一次项系数，一半是，其平方是，在方程两边同时加上，得到，即。 （3）求解：对开平方，得，解得，。 三、配方法的应用 1.用于求解一元二次方程：通过上述步骤将方程转化为可以直接开平方求解的形式，从而得到方程的根。 2.在二次函数中的应用（后续会学到）：配方法可将二次函数的一般式转化为顶点式，以便于研究二次函数的图象和性质，比如确定二次函数图象的顶点坐标、对称轴等。 同步练习 一、选择题 1．一元二次方程 配方后可化为（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程配方后可变形为（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，应将其变形为（　　） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 5．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．利用配方法解方程时，化成的形式，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．方程的根是　 　． 8．若关于x的方程的一根为1，则方程的另一个根为　 　． 9．将方程用配方法化为，则的值是　 　． 10．用配方法将一元二次方程变形为的形式是　 　． 三、解答题 11．解下列方程： （1） （2） 12．已知关于x的一元二次方程． （1）当m为何值时，它是一元一次方程； （2）当m为何值时，它是一元二次方程，并求出方程的根． 参考答案 1．D 2．A 3．C 4．D 5．A 6．C 7．， 8．4 9．7 10． 11．（1） （2） 12．（1）解：由题意，得且或， 则当时，原方程为； 当时，原方程为． 即或时，方程是一元一次方程 （2）解：由题意，得， 所以，而，则． 方程变为，即， 解得 学科网（北京）股份有限公司 $$