15.1.2　线段的垂直平分线教案 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

15.1.2　线段的垂直平分线 第1课时　线段垂直平分线的性质与判定 课标摘录 1.理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 2.结合具体实例,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立. 教学目标 1.探索并掌握线段垂直平分线的性质定理. 2.能运用线段垂直平分线的性质解决简单的计算与推理问题. 3.理解互逆命题和互逆定理的相关概念. 教学重难点 重点:线段的垂直平分线的性质定理的应用,互逆命题和互逆定理的相关概念. 难点:探索线段的垂直平分线的性质定理. 教学策略 首先让学生通过作图、量一量得出结论,再引导学生分析性质定理的题设与结论,从而证明定理,在此基础上再提出如果将命题的题设和结论反过来,从而引出性质定理的逆定理.在教学中借助多媒体的手段辅助教学,增强直观性、激发学生的学习兴趣. 复习导入 1.轴对称有什么性质? 2.线段是轴对称图形吗?它的对称轴是什么? 3.什么叫线段的垂直平分线? 新知初探 任务一　探究线段垂直平分线的性质定理 角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系,类似地,我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系. 活动1:如图,直线l垂直平分线段AB,点P1,P2,P3,…是直线l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现? 发现:P1A=P1B,P2A=P2B,P3A=P3B,…. 追问1:通过发现,猜想线段垂直平分线有什么性质? 【猜想】线段垂直平分线上的点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离分别相等. 追问2:怎样验证这个猜想? 【验证】如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在直线l上.求证:PA=PB. 证明: 当点P与点C不重合时,∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°. 又AC=BC,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB. 当点P与点C重合时,显然成立. 归纳总结:线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 追问3:你能用符号语言叙述这个定理吗? 符号语言:∵直线l垂直平分AB,点P在直线l上,∴PA=PB. 【设计意图】让学生用手中的工具量一量线段的长度,给学生提供思考空间,让学生猜想结论,最终应用三角形全等的方法证明结论(线段的垂直平分线的性质定理),培养学生分析问题、解决问题的能力. 【即时测评】见导学案 【典例讲解】见课件 【设计意图】通过例题,帮助学生进一步加深对线段垂直平分线定义和性质定理的认识,培养学生的推理能力和应用意识. 活动2:我们已经知道线段垂直平分线上的所有点与这条线段两个端点的距离相等.反过来,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上吗? 猜想:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 如何证明我们的猜想是正确的呢?学生先独立思考,再小组交流. 已知:如图,PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. (证明过程见课件) 追问1:在上面问题的解决过程中,你能得到什么结论? 归纳总结:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 追问2:你能用符号语言叙述这个定理吗? 符号语言:∵PA=PB, ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 追问3:你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗?一共能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点?这些点能组成什么几何图形? 能,到线段AB两端点的距离相等的点有无数个,这些点组成了线段AB的垂直平分线. 归纳总结:线段AB的垂直平分线l上的点与点A,B的距离都相等;反过来,与点A,B的距离相等的点都在直线l上,所以直线l可以看成与A,B两点的距离相等的所有点的集合. 【即时测评】见导学案 【设计意图】通过练习,进一步加深学生对线段垂直平分线判定定理的理解,并且培养学生从多个角度解决问题的能力和增强学生的应用意识. 任务二　逆命题与逆定理 活动:分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题,它们的题设和结论有什么关系?你还学习过其他具有类似关系的命题吗? 归纳总结:这两个命题的题设、结论正好相反,我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的逆命题. 问题1:写出下列各命题的逆命题,这些逆命题成立吗? (1)同旁内角互补,两直线平行; (2)对顶角相等; (3)全等三角形的对应边相等. 追问:根据上面的问题,你能得到什么结论? 归纳总结:一般地,原命题成立时,它的逆命题可能成立,也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理,其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 问题2:你能举出几个互逆定理的例子吗? “两直线平行,内错角相等”和“内错角相等,两直线平行”. “线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”和“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”. 【即时测评】见导学案 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第1课时　线段垂直平分线的性质与判定 1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3.逆命题与逆定理 教学反思 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因此本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的. 第2课时　线段垂直平分线的作图 课标摘录 能用尺规作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线. 教学目标 1.能用尺规作出已知线段的垂直平分线和过一点作已知直线的垂线. 2.了解尺规作图的一般步骤和作图语言,理解作图的依据. 3.能用尺规作出已知轴对称图形的对称轴,并能解决简单的作图问题. 教学重难点 重点:能用尺规作出已知线段的垂直平分线和过一点作已知直线的垂线. 难点:能用尺规过一点作已知直线的垂线. 教学策略 教学中让学生通过作图,写出已知、求作、作图过程,从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程,进一步理解线段垂直平分线的性质定理,使学生牢固掌握本节课中的核心知识,形成技能,为作轴对称图形的对称轴和过一点作已知直线的垂线扫清障碍. 情境导入 1. 复习回顾:线段的垂直平分线有什么性质? 2.如图,A,B是路边两个新建小区,要在公路边增设一个公共汽车站,使两个小区到车站的路程一样长,该公共汽车站应建在什么地方? 新知初探 任务　线段垂直平分线的画法 活动1:给出一条线段AB,如何作出线段AB的垂直平分线?作线段的垂直平分线的关键是什么? 因为“两点确定一条直线”,所以关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点. 作法: (1)如图,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点. (2)作直线CD.CD就是线段AB的垂直平分线. 追问:为什么要以大于AB的长为半径作弧?要保证半径足够大,两弧才能相交. 归纳总结:这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图,我们也可以用这种方法确定线段的中点. 【设计意图】让学生理解作线段垂直平分线的本质就是找到距离线段两个端点距离相等的点.教师设置问题,让学生在经历动手画图的过程中能直观感悟用尺规找到线段中点的方法. 【典例讲解】 例1　应用以上作线段垂直平分线的方法,解决课堂导入中的问题. 分析:增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长,应在线段AB的垂直平分线上,又要在公路边上,所以找到线段AB的垂直平分线与公路的交点即可. 活动2:如图①的五角星有几条对称轴?如何作出这些对称轴呢? ① ② 作法:(1)如图②,找出五角星的一对对称点A和B,连接AB. (2)作出线段AB的垂直平分线l.则直线l就是这个五角星的一条对称轴. 用同样的方法,可以找出5条对称轴,所以五角星有五条对称轴. 归纳总结: 对于轴对称图形,只要任意找一对对称点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴. 【即时测评】见导学案 【典例讲解】 例2　尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知:如图,直线AB和AB外一点C. 求作:AB的垂线,使它经过点C. (作法见课件) 问题1:根据上面作法中的步骤,想一想,为什么所作直线就是所求作的垂线?请与同伴进行交流. 问题2:若已知直线AB和AB上一点P,怎样求作AB的垂线,使它经过点P呢? 请同学们自主交流,探究过直线上一点作已知垂线的作法.(作法见课件) 【师生活动】例2是对例1进行变式,把点的位置由点在直线外变为点在直线上,再让学生思考并对比例题的作法找出过直线上一点作直线的垂线的方法. 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第2课时　线段垂直平分线的作图 教学反思 通过讲练结合、循序渐进地达到预设的教学目标.学生在已有知识的基础上,对于利用线段垂直平分线的尺规作图画对称轴和确定位置有了比较好的认识,基本掌握了解决此类问题的方法,并能做到作图规范、推理合理、表述简洁. 学科网（北京）股份有限公司 $$