14.3　角的平分线 教案 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

14.3　角的平分线 第1课时　角平分线的性质 课标摘录 1.能用尺规作图:作一个角的平分线. 2.探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 教学目标 1.会用尺规作图法作一个角的平分线,知道作法的理论依据. 2.探究并证明角平分线的性质. 3.能用角的平分线的性质解决简单问题. 教学重难点 重点:角的平分线的性质的探究与应用. 难点:探索并证明角的平分线的性质. 教学策略 在教学中教师可以采用自主探究的教学方式,为学生提供亲自操作的机会,引导学生运用已有经验、知识去探究角平分线的作图原理与性质,进而获得新知识. 情境导入 如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗? 新知初探 任务一　探究用尺规作已知角的平分线 活动:(1)如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的任意一点,M,N分别是OA,OB上的点,当OM与ON满足什么关系时,PM=PN? (2)若M,N分别是∠AOB的边OA,OB上的点,OM=ON,点P在∠AOB的内部,PM=PN,连接OP,OP是∠AOB的平分线吗?为什么? 【师生活动】学生讨论、分析,写出解题过程,教师加以引导,对学生给出的答案给予鼓励和指正. 追问1:上面我们解决的问题与情境导入中平分角的仪器的原理之间有什么关系? 追问2:从上面的探究过程,你受到哪些启发?你能利用直尺和圆规作一个角的平分线吗? 请你试着做一做,并与同伴交流. 【师生活动】学生思考完以后,同桌相互交流自己的想法,培养学生的合作能力,教师总结作法.(教师板书作图,课件展示作法) 追问:你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗? 【设计意图】通过解决问题探究角平分线的作法,激发学生的学习兴趣,从平分角的仪器中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法. 任务二　探究角平分线的性质 活动:(1)利用尺规我们可以作一个角的平分线,那么角的平分线有什么性质呢? 如图,任意作一个角∠AOB,作出∠AOB的平分线OC,在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,通过动画演示(见课件),观察PD,PE的长度,你得到什么结论? 小结:通过观察动画演示,发现PD,PE总是相等,而PD,PE的长度就是点P到射线OA,OB的距离,P是角平分线上的任意一点,因此我们猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. (2)通过实验得到的结论还需要经过严密的推理论证,如何证明这个猜想? 已知:如上图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证:PD=PE. 分析:证明线段相等的常用方法是证明三角形全等,要证明PD=PE,即证明△PDO≌△PEO.而利用“角角边”可以判定两个三角形全等,从而证明PD=PE. (证明过程见课件) 归纳总结:角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 追问:你能用几何语言叙述这个定理吗? 几何语言:∵OC是∠AOB的平分线,且PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE. 【设计意图】引导学生探究角的平分线的性质,先直观猜想角平分线上的点到角两边距离的数量关系,再引导学生经历推理验证猜想,进而得出角平分线的性质定理,培养学生的抽象概括能力. 追问:由角的平分线的性质的证明过程,思考一下证明一个几何命题的一般步骤是什么? 总结:①明确命题中的已知和求证; ②根据题意,画出图形,并写出已知和求证; ③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程. 【典例讲解】见课件 【即时测评】见导学案 【设计意图】通过典型例题和练习题的解决,提高学生对角平分线性质定理的应用和理解,培养学生的应用意识. 当堂达标 见导学案 课堂小结 本节课我们从生活中平分角的仪器的工作原理,联想到用尺规作角的平分线,观察动画演示猜想角平分线上的点到角两边的距离相等,通过三角形全等证明这个猜想,从而归纳得到角平分线的性质,最后应用性质解决问题. 板书设计 第1课时　角平分线的性质 角平分线的性质 教学反思 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生对角平分线的性质的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的. 第2课时　角平分线的判定 课标摘录 探索并证明角平分线的性质定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 教学目标 1.探索并证明角平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2.会应用此性质进行简单的计算或证明. 教学重难点 重点:探索并证明角平分线的判定定理. 难点:综合运用角平分线的判定定理进行计算或证明. 教学策略 首先引导学生把角平分线的性质定理的题设和结论互换,再通过推理验证,探究出角平分线性质定理的逆定理,再通过应用定理解决例题,促进了学生对新知识的理解和掌握. 问题导入 我们已经学习了平行线的一个性质:两直线平行,同位角相等.交换题设和结论得到平行线的判定:同位角相等,两直线平行. 前一节课我们在全等三角形的基础上,学习了如何作已知角的平分线及角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等.如果把角平分线的性质的题设与结论交换,得到的命题还成立吗? 新知初探 任务　探究角平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 活动:我们知道,角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来,交换这个性质的题设和结论,你能得到哪一个命题?这个命题还成立吗? 命题:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 根据题意画出图形,并用符号语言表示出已知、求证. 已知:如图,点P是∠AOB内的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知), ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中, ∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL). ∴∠POD=∠POE,即点P在∠AOB的平分线上. 归纳总结:因为角的平分线上的点到角两边的距离相等;反过来,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上,所以在角的内部,角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 注意:使用该定理的前提是这个点必须在角的内部. 问题:你能用几何语言描述角平分线的判定定理吗? 几何语言: 如图,∵点P是∠AOB内的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 【设计意图】结合推理证明,进一步感受数学知识的系统性和逻辑性.要强调运用该定理时,点必须在角的内部,注意书写格式:到角两边的距离相等,即双垂直+等线段. 【即时测评】见导学案 【典例讲解】见课件 归纳总结:三角形三个内角的平分线交于一点,并且这个点到三角形三边的距离相等. 【设计意图】通过例题巩固角的平分线的性质与判定的应用,培养学生分析问题、解决问题的能力. 当堂达标 见导学案 课堂小结 今天我们在上节课的基础上继续探索角平分线的判定定理.另外运用角的平分线的判定定理证明了三角形三个内角的平分线交于一点,并且这个点到三角形三边的距离相等. 板书设计 第2课时　角平分线的判定 1.角平分线的判定定理:角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 2.三角形三个内角的平分线相交于一点,这个点到三角形三边的距离相等 教学反思 教学中,把角的平分线的性质和判定进行联系和比较,使学生对二者之间的区别与联系有了更清晰的认识.强调解题格式的规范性,使学生能更加准确地运用数学语言、数学符号和数学方式进行表达.在整个教学过程中,学生充分表达自己的观点与主张,培养合作意识. 学科网（北京）股份有限公司 $$