21.1 一元二次方程 讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.1 一元二次方程 讲义 知识点梳理 一、一元二次方程的概念 1.定义： 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。 其一般形式是。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 例如：方程，这里（二次项系数），（一次项系数），（常数项）。 二、一元二次方程的解 1.定义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 例如：对于方程，当时，代入方程左边得：，所以是该方程的一个解（根）；当时，代入方程左边得：，所以也是该方程的一个解（根）。 三、一元二次方程的识别 判断一个方程是否为一元二次方程，需从以下几个方面考虑： 1.整式方程：方程必须是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式。例如，就不是一元二次方程，因为它的左边不是整式。 2.只含一个未知数：方程中只能有一个未知数，如不是一元二次方程，因为它含有两个未知数和。 3.未知数最高次数为2：且该项系数不为0。例如，是一元二次方程，而不是一元二次方程，因为后者未知数的最高次数是3。 四、一元二次方程的实际应用 1.步骤： （1）审：认真审题，理解题意，明确已知量和未知量，找出等量关系。 （2）设：设未知数，一般可直接设所求的量为未知数，也可间接设未知数。 （3）列：根据等量关系列出一元二次方程。 （4）解：求解所列出的一元二次方程，可以用配方法、公式法、因式分解法等（后续章节会详细讲解具体解法）。 （5）验：检验所得的解是否符合实际问题的题意，包括是否使方程成立以及是否符合实际情况中的取值范围等。 （6）答：写出答案，回答所问的问题。 同步练习 一、选择题 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如果2是方程的一个根，则常数k的值为（　　） A．2 B．1 C． D． 3．关于x的方程是一元二次方程，则（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知2是关于x 的方程. 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为(　　). A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 6．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．方程的一次项系数是　 　． 8．若关于的方程的一个根为1，则　 　． 9．关于的一元二次方程中，=　 　． 10．已知是一元二次方程的一个根，则的值为　 　． 11．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　 　． 12．关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则　 　． 三、解答题 13．不解方程，判断下列方程根的情况： （1） （2） （3） 14．已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 15．若关于x的一元二次方程(m-1) +2x+-1=0的常数项为0，求m的值是多少？ 16．关于x的一元二次方程2（x-1）2+b（x-1）+c＝0化为一般形式后为2x2-3x-1＝0，试求b，c的值． 17．已知a>2，b>2，试判断关于x的方程 ab=0与 有没有公共根，请说明理由. 参考答案 1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．-1 8．5 9． 10．2027 11． 12．或 13．（1）解：的一般形式为； ，故方程有两个相等的实数根． （2）解：原方程化为一般形式为， ，故方程没有实数根． （3）解：化为一般形式为， ， 所以此方程有两个不相等的实数根． 14．（1）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 答：当时，该方程是一元二次方程； （2）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 答：当时，该方程是一元一次方程． 15．解∶由题意得，时， 即时，一元二次方程的常数项为0． 16．解：2（x2-2x+1）+bx-b+c＝0， 2x2+（b-4）x+2-b+c＝0， 所以b-4＝-3，2-b+c＝-1， 解得b＝1，c＝-2． 17．解 设两方程公共根为m，则有 ②-①，得(m+1)(a+b-ab)=0. ∵a>2，b>2，∴a+b≠ab，从而m=-1. 把m=-1代入①，得1+a+b+ab=0，这是不可能的， ∴关于x的两个方程没有公共根 1 学科网（北京）股份有限公司 $$