14.2　三角形全等的判定教案 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

14.2　三角形全等的判定 第1课时　SAS 课标摘录 掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 教学目标 1.探究三角形全等判定的条件,体会研究几何问题的方法. 2.探索并理解“边角边”判定方法,会用“边角边”判定方法证明三角形全等. 教学重难点 重点:构建三角形全等条件的探究思路,“边角边”判定方法的探究及应用. 难点:“边角边”判定方法的探究及应用. 教学策略 教学中教师要引导学生观察、操作,让学生感受“边角边”定理的得出过程,并通过学生的自主交流,让学生总结出“边角边”这一判定方法.尽量为学生提供“做数学”的条件,让学生在“做”的过程中,借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,发展能力. 情境导入 1.什么是全等三角形? 2.已知△ABC≌△A'B'C',找出其中相等的边与角. 3.为了庆祝国庆节,老师要求同学们回家制作三角形彩旗,那么,老师应提供多少个数据才能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢?一定要知道所有的边长和所有的角度吗? 新知初探 任务一　探究全等三角形的判定方法 如果△ABC≌△A'B'C',那么有对应边相等,对应角相等.反之,根据全等三角形的定义,如果满足三条边分别相等,三个角分别相等,那么△ABC和△A'B'C'能够完全重合,即判定△ABC≌△A'B'C'. 活动:如果只选取其中的一部分条件还能保证两个三角形全等吗? 问题1:当满足一个条件时(一条边对应相等或一个角对应相等),△ABC与△A'B'C'全等吗? 问题2:当满足两个条件时,△ABC与△A'B'C'全等吗? (1)有两条边分别相等;(2)有两个角分别相等;(3)有一个角和一条边分别相等. 【学生活动】学生分组讨论、画图、探索、归纳,最后以组为单位展示结果. 结论:当满足一个条件或两个条件时,不能确保两个三角形全等. 问题3:当满足三个条件时,△ABC与△A'B'C'全等吗? (1)三条边分别相等;(2)三个角分别相等;(3)两边一角分别相等;(4)两角一边分别相等. 【设计意图】先构建出三角形全等条件的探索路径,然后以问题串的方式呈现探究过程,引导学生层层深入地思考问题.通过分析有三个条件时,会有四种情况,为下一步的学习做好铺垫. 任务二　全等三角形的判定——边角边(SAS) 问题:已知一个三角形的两条边和一个角,那么这两条边与这一个角的位置有几种可能性呢? 两边和它们的夹角;两边及其中一边的对角. 活动1: 如图,在△ABC与△A'B'C'中,如果A'B'=AB,∠A'=∠A,C'A'=CA,那么△ABC与△A'B'C'全等吗?为什么? 【师生活动】学生先独立思考问题,然后在小组内交流,教师深入小组,并参与小组活动,及时了解学生的思维变化情况. 分析:如图,由∠A'=∠A可知,∠A'与∠A可以重合,即射线AC与射线A'C'重合,射线AB与射线A'B'重合,再由A'B'=AB,C'A'=CA,可知点B',C'分别与点B,C重合.这样△ABC的三个顶点就分别与△A'B'C'的三个顶点重合,所以△ABC≌△A'B'C'. 归纳总结:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).也就是说,三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定了. 追问:你能用符号语言表示这个基本事实吗? 用符号语言表示为: 在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS). 【设计意图】引导学生将操作验证所得到的结论抽象概括出三角形全等的基本事实,并尝试用几何语言描述基本事实的内容,培养学生的概括能力. 【典例讲解】 [例题]见课件 活动2:如果把“两边和它们的夹角分别相等”改为“两边及其中一边的对角相等”,那么这两个三角形还全等吗? 如图,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出△ABC.固定住长木棍,转动短木棍,得到△ABD.这个实验说明了什么? 【师生活动】教师让学生观察运动过程,并加以分析. 图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等,即AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等. 归纳总结:两个三角形的两条边和其中一条边的对角相等时,这两个三角形不一定全等. 【设计意图】通过分别让学生画图和教具实例展示,得出两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等,同时,强化学生对“夹角”的理解和记忆. 【即时测评】见导学案 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第1课时　SAS 1.探索全等三角形的判定方法 2.全等三角形的判定定理——“边角边” 教学反思 这节课是三角形全等判定的第一节课,目的是让学生探究全等三角形的判定方法,掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法,经历探索“已知两边一角时”三角形全等条件的过程,体会如何探索、研究问题,培养学生的合作精神与思考问题的能力. 第2课时　ASA和AAS 课标摘录 1.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 2.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 教学目标 1.探索并理解“角边角”判定方法,会用“角边角”判定方法证明三角形全等. 2.通过探究、作图,在探究过程中体会和发现ASA和AAS之间的转化,概括出判定方法“角角边”. 教学重难点 重点:探索并理解“角边角”“角角边”判定方法,会用“角边角”“角角边”判定方法证明三角形全等. 难点:“角边角”判定方法的探究及应用. 教学策略 首先通过类比“SAS”的探究过程让学生自主探索、合作交流,总结出“角边角”定理的内容,加深学生对全等三角形判定方法的理解,然后通过对比“角边角”定理,引导学生归纳出“角角边”定理,通过对例题的讲解进一步巩固学生对知识的理解和掌握,加强学生对“角边角”定理和“角角边”定理的理解和应用. 问题导入 1.通过上节课的学习,我们知道了只有具备三个条件,才有可能判定两个三角形全等.上节课我们探究了两边及一角的情况,总结出“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”,本节课将继续探究两角及一边相等的情况,是否可以判定三角形全等. 2.两个三角形有两角和一边对应相等可能有哪些情况? 两角和它们的夹边;两角和其中一个角的对边. 新知初探 任务一　用“ASA”判定三角形全等 活动:如图,在△A'B'C'与△ABC中,如果A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B,那么△A'B'C'≌△ABC.这个判断正确吗?为什么? 【师生活动】学生讨论、分析,教师加以引导,对学生给出的答案给予鼓励和指正. 分析:如图, 由A'B'=AB可知,如果使点A'与点A重合,点B'在射线AB上,那么点B'与点B重合.再由∠A'=∠A,∠B'=∠B,可知射线A'C'与射线AC重合,射线B'C'与射线BC重合,于是射线A'C',B'C'的交点C'与射线AC,BC的交点C重合.这样,△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合,△A'B'C'与△ABC能够完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC. 问题:你能根据上面的探究过程得到三角形全等的判定方法吗?尝试叙述一下. 归纳总结:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写为“角边角”或“ASA”). 追问:你能用符号语言叙述这个基本事实吗? 在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA). 【设计意图】通过比较图形的过程,感悟“ASA”基本事实的正确性,获得三角形全等的“角边角”判定方法.在概括基本事实的过程中,引导学生透过现象看本质,锻炼学生用数学语言概括结论的能力.用符号语言描述“ASA”判定定理,培养学生表达数学语言的能力. [例题]见课件 任务二　用“AAS”判定三角形全等 活动:两角分别相等且其中一组等角的对边相等,这样的两个三角形全等吗? 如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证:△ABC≌△DEF. 【师生活动】教师出示问题,学生独立思考并解答,写出证明步骤. 分析:要证△ABC≌△DEF,只需证∠C=∠F,利用“ASA”证明两个三角形全等. (解题过程见课件) 问题:你能根据上面的探究过程得到三角形全等的判定方法吗?尝试叙述一下. 归纳总结:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 追问:你能用符号语言叙述这个结论吗? 如图,在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌△A'B'C'(AAS). 注意:要按照“角—角—边”的顺序书写. 【设计意图】条件中的两角一对边“AAS”可以由三角形的内角和定理转化为两角一夹边“ASA”,让学生体会到“AAS”是“ASA”的推论. 【即时测评】见导学案 当堂达标 见导学案 课堂小结 结合两节课的学习,我们掌握了三种三角形全等的判定方法. 板书设计 第2课时　ASA和AAS 教学反思 本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体,以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想.借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,发展能力.充分利用教科书提供的素材和活动,鼓励学生经历观察、操作、推理等活动,培养学生分析问题、知识迁移、解决问题的能力. 第3课时　SSS 课标摘录 1.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等. 2.能用尺规作图:已知三边作三角形. 教学目标 1.探索并理解“边边边”判定方法,会用“边边边”判定方法证明三角形全等. 2.能用尺规作图:已知三边作三角形.了解作图的道理. 教学重难点 重点:“边边边”判定方法的探究与应用,已知三边用尺规作三角形. 难点:“边边边”判定方法的探究. 教学策略 本节课教师鼓励学生通过观察、实验、猜测和验证来发现三边分别相等的两个三角形全等,同时从探究过程中发现已知三边作三角形的尺规作图方法.在课堂教学中,要尽量为学生提供“做数学”的条件,让学生在“做”的过程中,借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,发展能力. 问题导入 1. 如图,点B,F,C,E在一条直线上,已知FB=CE,∠B=∠E,请你添加一个适当的条件,使得△ABC≌△DEF. (1)若添加条件AB=DE,则根据　SAS　,可得△ABC≌△DEF;  (2)若添加条件∠ACB=∠DFE,则根据　ASA　,可得△ABC≌△DEF;  (3)若添加条件∠A=∠D,则根据　AAS　,可得△ABC≌△DEF.  2.前面我们研究了两个三角形符合三个元素对应相等时的哪些情况?还有哪些情况没有研究? 新知初探 任务　“边边边”判定方法的探究 活动1:在△A'B'C'与△ABC中,如果A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,那么△A'B'C'≌△ABC,这个判断正确吗? 【师生活动】学生讨论、分析,教师加以引导,对学生给出的答案给予鼓励和指正. 分析:(1)如图,分别以A,A',B,B'为圆心,以AC,A'C',BC,B'C'为半径作圆,因为AC=A'C',BC=B'C',所以圆A与圆A',圆B与圆B'大小相同,且圆A与圆B交于点C,圆A'与圆B'交于点C'; (2)由A'B'=AB可知,如果使点A'与点A重合,点B'在射线AB上,那么点B'与点B重合,所以圆A与圆A'重合,圆B与圆B'重合; (3)因为圆A与圆B交于点C,圆A'与圆B'交于点C',所以点C与点C'重合. 这样,△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合,△A'B'C'≌△ABC. 思考:通过以上探究可以得到什么结论?叙述一下. 归纳总结:三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 追问1:你能用符号语言叙述这个基本事实吗? 如图,在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). 追问2:前面我们做过实验,将三根木条钉成一个三角形木架,这个三角形木架具有稳定性,你能用刚学的基本事实解释其中的道理吗? 【设计意图】学生通过观察、思考、比较、交流等活动,逐步探索出最后的结论——”边边边”,在这个过程中,学生不仅体会到了知识的连贯性,同时增强了数学体验. 【即时测评】见导学案 活动2:根据前面的探究过程,若已知三角形的三条边,你能用尺规作图作出这个三角形吗? 如图,已知三条线段a,b,c(其中任意两条线段的和大于第三条线段),求作△ABC,使其三边分别为a,b,c. 作法:如图. (1)作线段AB=c; (2)分别以点A,B为圆心,线段b,a为半径作弧,两弧相交于点C; (3)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形. 【设计意图】通过思考、画图等活动,引导学生透过现象看本质,让学生进一步理解已知三角形的三边可以确定三角形的形状,同时也增加了学生的数学体验. 【即时测评】见导学案 【典例讲解】 例题　在如图的三角形钢架中,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证:AD⊥BC. 问题1:证明AD⊥BC,你的思路是什么? 问题2:△ABD与△ACD具备全等的条件吗? 问题3:由△ABD≌△ACD怎样得到AD⊥BC? (证明过程见课件) 思考:问题1:三角分别相等的两个三角形全等吗? 问题2:你能画出三角分别相等但不全等的两个三角形吗? 如图①②,三角分别相等的两个三角形不一定全等. 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第3课时　SSS 全等三角形的判定(SSS) 教学反思 教学中教师引导学生观察、操作,让学生感受“边边边”定理的得出过程,并通过尺规作图,让学生加深对“SSS”这一判定方法的理解. 第4课时　用尺规作一个角等于已知角 课标摘录 1.能用尺规作图:作一个角等于已知角. 2.能用尺规作图:过直线外一点作这条直线的平行线. 3.能用尺规作图:已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形. 教学目标 1.探索并掌握用尺规作一个角等于已知角的方法,了解作图的道理. 2.能用尺规过直线外一点作这条直线的平行线,已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形. 教学重难点 重点:用尺规作一个角等于已知角,过直线外一点作这条直线的平行线,已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形. 难点:探索并掌握用尺规作一个角等于已知角的方法. 教学策略 教学中教师引导学生观察、思考,让学生感受“用尺规作一个角等于已知角”方法的得出过程,并通过学生的自主交流,让学生总结出“用尺规作一个角等于已知角”的实质是“用尺规作一个三角形等于已知三角形”. 复习导入 1.什么是尺规作图?我们已经学习了哪些尺规作图? 2. 如图,已知△ABC,再画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC. 新知初探 任务　探究用尺规作一个角等于已知角 活动:线段和角都是基本的几何图形,也是构成其他几何图形的元素.我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图,如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢? 如图,已知∠AOB,用直尺和圆规作一个角等于∠AOB. 分析:对于一个三角形,其三条边、三个角是确定的.如果能将∠AOB“放在”某个三角形中,作为其一个角,而我们又能用尺规作出这个三角形,那么就说明可以用直尺和圆规确定∠AOB.进而再作出与这个三角形全等的三角形,根据全等三角形的性质,∠AOB的对应角就是要求作的角. 步骤:(1)将∠AOB放在一个△COD中; (2)用尺规作出与△COD全等的△C'O'D'. 追问1:怎样作与△COD全等的△C'O'D',我们已经学会了哪种方法? 上节课学习了已知三边作全等三角形. 追问2:你能说出为什么∠D'O'C'=∠AOB吗? 由全等的性质可得出对应角相等. 你能总结出用尺规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的步骤吗? 作法: (1)如图,以点O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA,OB于点C,D; (2)作一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径作弧,交O'A'于点C'; (3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所作的弧交于点D'; (4)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB. 【设计意图】老师先让同学们独立思考画图的整个过程,然后归纳步骤,再让学生进行尺规作图,体会作图的合理性,增强作图技能. 【即时测评】见导学案 【例题讲解】 例1　如图,已知直线AB及直线AB外一点C.利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD. 问题1:平行线有哪些判定方法? 问题2:你能将过直线外一点作直线AB的平行线转化为作一个角等于已知角吗?你有哪些方法? (作法见课件) 例2　如图,已知线段a,b和∠α,求作△ABC,使AB=a,AC=b,∠A=∠α. (作法见课件) 【即时测评】教材P41练习第1,2题 当堂达标 见导学案 课堂小结 见课件 板书设计 第4课时　用尺规作一个角等于已知角 1.用尺规作一个角等于已知角 2.过一点作已知直线的平行线 3.已知两边及其夹角作三角形 教学反思 本书课重在培养学生的动手操作能力,利用已有的知识让学生动手用尺规作图,并在此基础上进一步完成其他尺规作图.另外每作完一个图,教师都要提出相应的问题让学生思考,让学生了解知识的关联性. 第5课时　HL 课标摘录 1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 2.能用尺规作图:已知一直角边和斜边作直角三角形. 教学目标 1.探索并理解判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等. 教学重难点 重点:“斜边、直角边”定理的探究及应用. 难点:探究两个直角三角形全等的特殊方法——“斜边、直角边”定理. 教学策略 在教学中先引导学生回忆全等三角形的判定方法,紧接着引出直角三角形的判定,让学生通过观察、思考、交流,感受定理的得出过程,调动学生思维的积极性,找到解决问题的办法.通过例题,分层次的变式训练加强学生对知识的掌握,同时要兼顾不同层次的学生. 问题导入 1.判定三角形全等的方法有哪些? 2.如图,已知Rt△ABC和Rt△A'B'C'. (1)若∠A=∠A',AB=A'B',则△ABC≌　　　　　　　,依据　　　　　　　　;  (2)若AC=A'C',BC=B'C',则△ABC≌　　　　　　　,依据　　　　　　　　.  新知初探 任务一　探究“斜边、直角边”定理 活动:已知Rt△ABC和Rt△A'B'C',∠C=∠C'=90°,若BC=B'C',AB=A'B',那么△ABC与△A'B'C'全等吗? 问题1:如果使点C与点C'重合,并且使射线C'A'与射线CA重合,那么点B与点B'重合吗?为什么? 由∠C'=∠C=90°可知,射线C'B'与射线CB重合.再由B'C'=BC,可知点B'与点B重合. 教师:为了判断点A'与点A是否重合,我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. 问题2:如图,设点M在直角边AC(不包括端点)上,连接BM.过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M',你能说出BM,BM',BA的大小关系吗?理由是什么? 问题3:如图,设点N在线段CA的延长线上,连接BN,BN与AB的大小关系是怎样的?你能说出其中的道理吗? 问题4:在射线CA上,与点B的连线长度等于AB的点有多少个? 问题5:点A'与点A重合吗?为什么? 归纳总结:△ABC的三个顶点与△A'B'C'的三个顶点分别重合,△ABC与△A'B'C'能够完全重合,因而△ABC≌△A'B'C'. 问题6:任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°.用尺规再画一个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB.把画好的Rt△A'B'C'剪下来,放到Rt△ABC上,它们全等吗? 【师生活动】学生先独立思考,再互相交流讨论如何画出Rt△A'B'C',教师及时给予指导,最后给出Rt△A'B'C'的画法. (1)如图,画∠MC'N=90°; (2)在射线C'M上截取B'C'=BC; (3)以点B'为圆心,AB长为半径画弧,交射线C'N于点A'; (4)连接A'B'.则Rt△A'B'C'即为所求. 教师引导学生将画好的Rt△A'B'C'和Rt△ABC进行对比,得出结论. 归纳总结:斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 【设计意图】通过层层设问,引导学生思考,激发学生的创新意识与学习热情,让学生通过自主探究得出斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.引导学生通过尺规作图验证猜想,让学生感悟更理性的数学,通过将得到的结论抽象概括出定理培养学生的抽象概括能力. 【典例讲解】 例1　 如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证:BC=AD. 问题:从这些已知条件中,我们能发现什么?结合所求证的,你又能发现什么? 【师生活动】学生独立思考,积极发言,教师引导学生分析探究思路. (证明过程见课件) 【设计意图】通过例题的解决在巩固新知识的同时,也有效地培养了学生运用新知识解决问题的能力. 任务二　直角三角形全等的判定方法总结 活动:判定两个直角三角形全等有哪些方法? 已知条件 可选择的判定方法 需寻找的条件 一锐角对应相等 ASA或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证锐角(或直角)的对边对应相等 斜边对应相等 HL或AAS 可证一直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边对应相等 HL或ASA或AAS 可证斜边对应相等或证已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等 【典例讲解】 例2　 如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠B=∠B'=90°,有如下几个条件:①AC=A'C',∠A=∠A';②AC=A'C',AB=A'B';③AC=A'C',BC=B'C';④AB=A'B',∠A=∠A'.其中能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的条件有(D) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 当堂达标 课堂小结 1.如果两个直角三角形的斜边和一直角边分别相等,那么这两个直角三角形全等(HL). 2.尺规作图:已知一直角边和斜边用尺规作直角三角形. 板书设计 第5课时　HL 1.“斜边、直角边”判定定理:斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等 2.直角三角形全等的判定方法总结 3.用尺规作直角三角形 教学反思 本节课的教学主要是探索“HL”的判定方法,要求学生用文字语言、符号语言来表达自己的所思所想,强调从情境中获得数学感悟,注重让学生经历观察、操作、推理的过程. 学科网（北京）股份有限公司 $$