13.3.1　三角形的内角教案 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

13.3.1　三角形的内角 第1课时　三角形的内角和定理 课标摘录 探索并证明三角形的内角和定理. 教学目标 1.探索并证明三角形的内角和定理. 2.能运用三角形内角和定理解决简单的与三角形中角有关的计算和证明问题,培养学生用数学知识解决简单几何问题的能力. 教学重难点 重点:探索三角形内角和定理的过程及三角形内角和定理的应用. 难点:通过添加辅助线构造辅助图形证明三角形内角和定理. 教学策略 通过设置疑问,巧设悬念,激发学生获取知识的求知欲.让学生自主探究,在探究过程中充分发挥学生的主动性,先提出猜想,再验证猜想.在学生提出验证三角形内角和的不同方法时,教师注意让学生上台演示自己的操作活动和说明自己的想法,从而培养学生的推理能力. 情境导入 如图,有一块残缺的三角形木板,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板的第三个角的度数是多少? 新知初探 任务　探索并证明三角形的内角和定理 活动1:我们在小学就已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°,大家回忆一下,当时是怎样知道这个结论的呢? 学生:通过度量或者剪拼的方法得到的. 【师生活动】每个学生画出一个三角形,并将它的内角剪下,试着拼拼看.通过小组合作交流有几种拼合方法,最后师生总结出几种拼图方法.(课件展示拼图方法) 教师:形状各异的三角形有无数个,不可能用度量或剪拼的方法一一验证所有的三角形.另外,测量是有误差的,可能出现某个三角形的三个内角之和大于180°或小于180°,从而导致了结果的不确定性.现在我们就来学习通过推理的方法去证明:任意一个三角形的内角和等于180°. 【设计意图】让学生从丰富的拼图活动中发展思维的灵活性、创造性,为下一环节“说理”证明作好准备. 活动2:在准备的三角形硬纸上标出三角形三个内角的编码,如图①. 观察如图②③所示的两种拼法,教师提出问题,小组交流. 问题1:在图②中,直线MN与BC是什么关系?平行. 问题2:在图③中,直线CM与AB是什么关系?平行. 问题3:你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗? 【设计意图】经历剪拼的探索过程,为学生搭建了一个桥梁,为下一步证明三角形内角和定理提供思路和方法. 问题:老师刚给出的命题是文字性命题,证明文字性命题,我们应该经历哪些步骤? 【学生活动】学生在学案纸上完成已知、求证的书写,并请一名同学板书. 已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 【师生活动】教师讲解证法一(教材证法,构造平行,利用平角等于180°),然后类比证法一,学生探究其他证明思路. (证法二、证法三见课件) 问题:多种方法证明三角形内角和等于180°的关键是什么? 借助平行线“移角”,将三个角转化成一个平角. 归纳总结: (1)为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线. (2)为了证明三个角的和为180°,通过作平行线,利用平行线的性质将三个角转化为一个平角或同旁内角互补等,这种转化思想是数学中的常用方法. 【设计意图】通过小组讨论,让学生各抒己见,畅所欲言,有意识地培养学生的逻辑推理、语言表达能力以及一题多解的创新精神,让学生体会数学辅助线的桥梁作用,在潜移默化中渗透初中阶段一个重要数学思想——转化思想,为学好初中数学打下坚实的基础. 【典例讲解】 [例1]见课件 【即时测评】见导学案 【典例讲解】 [例2]见课件 【即时测评】见导学案 【设计意图】例1运用三角形内角和定理求相关角的度数,使学生进一步巩固定理内容.例2利用三角形内角和定理解决生活中的简单问题,通过一题多解,培养学生思维的发散性,提高学生的应用意识和数学表达能力. 当堂达标 课堂小结 板书设计 第1课时　三角形的内角和定理 1.三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180° 2.三角形内角和定理的证明 教学反思 本节课的设计先让学生动手操作,以便使学生对三角形的内角和有一定的感性认识,然后根据拼图说出结论成立的理由,由浅入深,循序渐进,学生易接受.教师引导学生对三角形的三个内角进行拼合,可以出现不同的方法,这样能让学生充分发挥自己的主动性,培养学生的创新能力. 第2课时　直角三角形的性质与判定 课标摘录 1.理解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余. 2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 教学目标 1.理解并掌握直角三角形的性质和判定,体会从一般到特殊的数学思想,增强合作交流的能力和创新意识. 2.能运用直角三角形的性质和判定解决简单问题,培养学生应用数学知识解决简单几何问题的能力. 教学重难点 重点:探索并掌握直角三角形的性质定理和判定定理. 难点:相关推理的表述及性质定理和判定定理的应用. 教学策略 本节课的学习是建立在三角形内角和定理的基础之上的,所以以三角形内角和定理的内容和学习方法导入新课,仿照三角形内角和定理的探索过程学习直角三角形的性质和判定,最后通过例题与练习强化重点知识的学习. 情境导入 上节课我们学习了一般三角形的一个重要性质,就是三角形的内角和定理,它反映了三角形三个内角之间的关系,今天我们学习具有特殊内角的三角形——直角三角形. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示,例如:直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”. 思考:直角三角形作为特殊的三角形,它是否具有一般三角形的性质呢?直角三角形的内角之间有什么独特的性质吗? 新知初探 任务一　探究直角三角形的性质 活动:(1)大家观察一下手中的三角尺,两锐角的度数之和为多少度? (2)请同学们画一个直角三角形ABC,其中∠C=90°,用量角器分别量出∠A,∠B的度数,并且求出∠A+∠B的值. 问题:根据测量的结果,你能得到什么结论? 【师生活动】学生讨论后,得出结论:直角三角形的两个锐角互余. (3)结合图形你能写出已知、求证和证明吗? 【师生活动】学生回答,教师板书,师生共同完成证明过程. 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°. 求证:∠A+∠B=90°. 证明:在Rt△ABC中,∠C=90°, 由三角形的内角和定理,得∠A+∠B+∠C=180°, 即∠A+∠B+90°=180°, ∴∠A+∠B=90°. 也就是说,直角三角形的两个锐角互余. 证明后的结论可以作为定理使用,这个结论被称为“直角三角形性质定理”. 追问:你能用几何语言表述这个定理吗? ∵在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°. 【设计意图】类比三角形内角和定理的探索步骤,让学生经历从“测量角度——猜想结论——演绎证明——定理表述”等几个环节,强化学生对数学学习基本方法的认识,培养学生自主学习的能力和类比的数学思想. [例题]见课件 【即时测评】见导学案 任务二　探究直角三角形的判定方法 活动:我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余.把这个定理的题设和结论反过来,你能得到什么结论? 有两个角互余的三角形是直角三角形. 追问1:这个结论是正确的吗? 追问2:参照直角三角形性质的几何推理过程,你能写出已知、求证与证明吗? 【师生活动】学生独立思考,然后小组讨论、交流,形成结论,汇报交流结果. 已知:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°. 求证:△ABC是直角三角形. 证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和定理), ∵∠A+∠B=90°(已知), ∴∠C=90°, ∴△ABC是直角三角形(直角三角形的定义). 归纳总结:有两个角互余的三角形是直角三角形. 追问:你能用几何语言叙述这个定理吗? 在△ABC中,∵∠A+∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形. 【设计意图】本环节让学生从改变命题的题设与结论出发,得到新的命题,再通过推理证明了命题的正确性,从而得到了新的定理,初步感受定理与逆定理的关系,培养学生的抽象能力. 当堂达标 课堂小结 板书设计 第2课时　直角三角形的性质与判定 1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形 教学反思 本节课借助特殊三角形(三角尺)初步感知直角三角形的两个锐角的关系,学生初步建立一个表象,通过设置问题为后面的猜测和验证做了铺垫,引发思考,激发学习兴趣. 学科网（北京）股份有限公司 $$