13.2　与三角形有关的线段教案 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

13.2　与三角形有关的线段 13.2.1　三角形的边 课标摘录 1.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 2.了解三角形的稳定性. 教学目标 1.探索并证明三角形的三边关系. 2.能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形. 3.了解三角形的稳定性,并能运用三角形的稳定性解决生活中的实际问题. 教学重难点 重点:三角形三边关系的探究和应用. 难点:三角形三边关系的应用. 教学策略 教学中通过学生分组进行实验等操作活动,进一步对三角形进行理性思考,通过观察、测量、分析、讨论等方式探究并归纳出三角形的三边关系.再借助例题和习题的分析、思考来巩固本节课所学的新知识和数学思想方法. 情境导入 (1)老师第一次出示三根小棒(长度分别为4 dm,2.5 dm,3 dm). 教师:这儿有三根小棒,谁能上来把它们围成一个三角形?(学生上来拼) (2)教师第二次提供不能围成三角形的三根小棒(长度分别为4 dm,2.5 dm,1 dm). 一个学生围不成后,教师:谁想再试试? 这能得到什么结论?这节课我们就一起来研究三角形的三边关系. 新知初探 任务一　探究三角形的三边关系 活动1:如图是一个△ABC,假设有一只小狗从点A出发,沿三角形的边到点C吃香肠. (1)小狗有几条路线可以选择? (2)各条路线的长有什么关系? 解:(1)小狗从点A出发沿三角形的边到点C吃到香肠有如下路线:①从A→C,即线段AC的长;②从A→B→C,即AB+BC的长. (2)两条路线长度不一样,从A→C路线最短. 追问1:这条路线为什么是最短的?两点之间,线段最短. 追问2:根据得到的结论,你能列出不等式吗?AB+BC>AC①. 追问3:改变小狗与香肠的位置,你还能列出其他不等式吗? 同理可得AC+BC>AB②;AB+AC>BC③. 追问4:你能说出三角形的三条边之间有什么关系吗? 三角形两边的和大于第三边. 问题:(1)将不等式①②③移项,你能得到怎样的不等式? (2)通过得到的不等式,你有什么发现? 解:(1)由不等式①②③移项,可得 BC>AC-AB,BC>AB-AC,AC>BC-AB,AC>AB-BC,AB>AC-BC,AB>BC-AC. (2)三角形中,任意两边的差小于第三边. 归纳总结:一般地,三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边. 【设计意图】通过问题串,教师引导学生自主探究三角形的三边关系.通过经历观察、推理、归纳三角形的三边关系的这个过程,锻炼学生的探究能力,增强学生的合作意识. 活动2:对于三条线段,当它们满足什么条件时,这三条线段能组成三角形? 1.操作感知 教师:为了弄明白三角形三条边之间的关系,老师先让大家做一个实验: 课件出示:现有两根小棒,一根长3厘米,一根长5厘米,再配一根多长的小棒,就能围成一个三角形?猜想一下结果? 操作要求: ①分组:以4人为一小组,一人记录,两人用小棒搭三角形,小组长负责指导; ②把每次实验结果作记录. 2.反馈交流 请各小组汇报、展示实验结果. 3.探索发现 问题1:如果三条线段能围成三角形,那么这三条线段满足什么关系? 问题2:如果三条线段不能围成三角形,那么这三条线段满足什么关系? 归纳总结:一般地,如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段,那么这三条线段能组成三角形;如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段,那么这三条线段不能组成三角形. 【设计意图】在学生通过实验操作,获得较丰富的感性认识的基础上,引导学生观察、比较,并借助教师适时、适度的点拨,让学生自主发现能围成三角形与不能围成三角形的原因. 【即时测评】见导学案 任务二　三角形的稳定性 活动1:把同学们4人分成一组,发放3张硬纸条,3枚钉子,分组合作探究实验.把三张硬纸条用钉子钉成一个三角形,然后扭动它,它的形状会改变吗?这说明什么问题? 归纳总结:如果一个三角形的三条边固定了,那么三角形的形状和大小也就完全确定了,在数学上把三角形的这个性质叫作三角形的稳定性. 活动2:同学们想一想,在现实生活中,三角形的稳定性有哪些方面的应用呢?举例子说明.(对于学生的发言,只要符合实际,教师都要给予肯定) 【设计意图】通过此活动,既让学生掌握了三角形的稳定性的性质,也让学生感受到三角形的稳定性在实际生活中的应用. 当堂达标 课堂小结 板书设计 13.2.1　三角形的边 1.三角形的三边关系 2.三角形的稳定性 教学反思 教学中注重引导学生在已有的知识与经验的基础上展开教学,通过动手操作实验、合作学习等学习活动,引导学生自主探索发现数学规律.由于初次接触线段的不等关系,部分学生对线段不等关系问题的解决感到困惑,不知道如何去思考和解决问题,在今后教学中需要进一步加强巩固和训练. 13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 课标摘录 1.理解三角形的中线、高线、角平分线等概念. 2.了解三角形重心的概念. 教学目标 1.理解三角形的中线、角平分线、高与重心的概念. 2.通过观察,作图探索一个三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在直线的交点的有关结论.能够利用三角形的高、中线和角平分线解决一些简单的问题. 教学重难点 重点:三角形的中线、角平分线、高的概念与画法. 难点:钝角三角形的两短边上高的画法,在复杂图形中识别三角形对应的高线、中线、角平分线. 教学策略 本节课由实际问题引入,让学生意识到数学与实际生活的密切联系,进而学习用数学方法解决实际问题.从画图入手,在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象,然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法,最后通过例题进一步巩固. 情境导入 1.复习垂线、中点、角平分线的定义. 2. 如图,有一块三角形的蛋糕,如果兄弟两个想要平分这块蛋糕,你该怎么办呢?本节课我们一起来解决这个问题. 新知初探 任务　三角形的中线、角平分线、高 活动1:三角形的中线 1.定义:如图,连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 问题:已知△ABC的中线AD,你能得到什么结论?用几何语言描述这个结论. 几何语言:∵AD是△ABC的边BC上的中线, ∴D为BC的中点, ∴BD=CD=BC(或BC=2BD=2DC). 追问:线段的中点和三角形的中线相同吗?为什么? 不相同,线段的中点是一个点,三角形的中线是一条线段. 2.分别画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形,你能画出它们的所有中线吗?各有多少条中线?它们有怎样的位置关系? 【学生活动】动手操作画图,观察,对比,得出结论. 归纳总结:一个三角形有三条中线,这三条中线交于一点,三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 3.联系生活,介绍重心小实验:取一块质地均匀的三角形木板,用手指顶住三条中线的交点,木板会保持平衡,这个平衡点就是这块三角形木板的重心. 【即时测评】见导学案 活动2:三角形的角平分线 1.定义:如图,画△ABC中∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 问题:已知△ABC的角平分线AD,你能得到什么结论?用几何语言描述这个结论. 几何语言:∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2=∠BAC(或∠BAC=2∠1=2∠2). 追问:角的平分线与三角形的角平分线相同吗?为什么? 不相同,角的平分线是一条射线,三角形的角平分线是一条线段. 2.分别画出锐角三角形、钝角三角形和直角三角形,你能画出它们的角平分线吗?各有多少条?它们有怎样的位置关系? 【学生活动】类比三角形中线的学习,动手操作画图,观察,对比,得出结论. 归纳总结:一个三角形有三条角平分线,三角形的三条角平分线相交于一点. 【即时测评】见导学案 活动3:三角形的高 1.定义:如图,从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线.三角形的高线简称三角形的高. 问题:已知△ABC的高AD,你能得到什么结论?用几何语言描述这个结论. 几何语言:∵线段AD是△ABC的BC边上的高, ∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°. 追问:垂线和三角形的高相同吗?为什么? 不相同,垂线是一条直线,三角形的高是一条线段. 2.一个三角形有几条高?分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高,探究高的位置、三条高是否相交以及交点的位置. 【师生活动】给学生时间动手画,教师重点讲解钝角三角形的高的画法.适当辨别三种三角形的高的不同,归纳出共性:三角形的三条高所在直线交于一点. (1)画锐角三角形的高得到的结论可直接展示给学生. (2)直角三角形高的交点与锐角三角形不同,教师需在黑板进行画图板书. 追问1:直角三角形ABC中直角边AB和BC边上的高分别是什么? 追问2:直角三角形三条高交于一点吗?交点在哪里? 学生回答后总结直角三角形三条高的交点位置:直角三角形三条高交于直角顶点. (3)引导学生画钝角三角形的高时,需作虚线延长该边,再作该边上的高,辅助线一般用虚线表示.教师板书后让学生自己再练习画钝角三角形的高. 追问1:钝角三角形ABC三条边对应的高分别是什么? 追问2:钝角三角形的三条高交于一点吗? 结论:钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外部一点. 追问3:通过探究可以发现,与前面中线或角平分线的交点位置不同,三角形只有三条高所在直线的交点位置比较特殊,你们知道是为什么吗? 学生回答后教师总结:三角形的形状只会对高的位置产生影响,中线和角平分线都一定在三角形内部. 追问4:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点都有什么共同的特点?由此你能总结出什么结论? 学生思考后得出结论,教师总结:任意三角形的三条高、三条中线、三条角平分线所在的直线都交于一点. 【即时测评】见导学案 【典例讲解】 例题　(1)如图,AD是△ABC的中线,△ACD与△ABD的面积有怎样的数量关系?为什么? (2)你能把1个三角形分成面积相等的4个三角形吗?试画出相应的图形. (解题过程见课件) 【设计意图】三角形的中线是三角形中重要的线段之一,几何证明中的辅助线添加经常要用到中线.利用中线将三角形面积问题转化为等底同高问题,也是中线的常见应用之一,这里涉及到初步的几何说理,让学生感悟几何证明的逻辑关系和符号表达. 当堂达标 课堂小结 板书设计 13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 1.三角形的中线、重心 2.三角形的角平分线 3.三角形的高(钝角三角形高的作法) 教学反思 本节课教学以“自主探究——合作交流”的形式体现,先给学生独立思考的时间,动手操作,画图,使学生有创新的空间与可能,再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会,培养学生独立探究、合作学习的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$