独立性检验 小专题讲义-2026届高三数学一轮复习

G3 高三一轮复习 《独立性检验》小专题 （难度：简易。适用群体：艺术体育生，基础生。答案参看后面小编号） （4页答案9） 知识点4： （1）2×2列联表 用表格列出的分类变量的频数表，叫做列联表。对于两个事件A，B，列出两个事件在两种状态下的数据，如下表所示： 事件B 事件 合计 事件A a b a+b 事件 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 这样的表格称为2×2列联表。 （2）卡方统计量公式 统计中有一个有用的（读做“卡方”）统计量，它的表达式是： （为样本容量）。 （3）独立性检验 通过2×2列联表，再通过卡方统计量公式计算的值，利用随机变量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。 （4）变量独立性的判断 通过对统计量分布的研究，已经得到两个临界值：3.841和6.635。当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断： ①如果≤3.841时，认为事件A与B是无关的。 ②如果＞3.841时，有95%的把握说事件A与事件B有关； ③如果＞6.635时，有99%的把握说事件A与事件B有关； 参考数据： （5）独立性检验的基本步骤及简单应用 独立性检验的步骤： 要推断“A与B是否有关”，可按下面步骤进行： （1）提出统计假设H0：事件A与B无关（相互独立）； （2）抽取样本（样本容量不要太小，每个数据都要大于5）； （3）列出2×2列联表； （4）根据2×2列联表，利用公式，算出； （5）统计推断：当＞3.841时，有95％的把握说事件A与B有关； 当≤3.841时，认为事件A与B是无关的． 典型例题4： 1. （2025年粤G湛02二模）15. 为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍． （1）根据题中信息，完成下面列联表；（[endnoteRef:2]） 单位：人 （2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？ 附：． [2: 【答案】（1）表格见解析 （2）认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关 【解析】 【分析】（1）利用分类统计，即可得到二阶列联表； （2）利用独立性检验的计算步骤即可求解. 【小问1详解】 设喜爱该档节目的男性观众数为x，则喜爱该档节目的女性观众数为，不喜爱该档节目的女性观众数为， 则，得． 故列联表完成如下． 单位：人 【小问2详解】零假设为：观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． 根据（1）中列联表的数据，计算得到． 根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． ] 随堂练习4： 1. （多选，2025年鲁J31济南模拟）9. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ [endnoteRef:3] ） 附： A. 若，则认为“毛色”和“角”无关 B. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C. 若，则认为“毛色”和“角”无关 D. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% [3: 【答案】BC 【解析】 【分析】根据独立性检验的判断原则一一分析即可. 【详解】对AB，若，因为 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A 错，B 对； 对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误. 故选：BC. ] 2. （2025年湘J07名校联盟）15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表： （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？ （2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.（[endnoteRef:4]） 附：，其中. 若，则，. [4: 【答案】（1）不能 （2）人 【解析】 【分析】（1）首先假设，再计算，并和参考数据比较，即可作出判断； （2）转化为训练前的人数估计.由题意得的值，则即，利用正态曲线的对称性与区间的概率参考数据 【小问1详解】 ：学生的性别和是否喜欢运动无关. ， 所以根据的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关. 【小问2详解】 训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数， 则，，， 即训练前学生每分钟的跳绳个数在，，， ， 由（人） 估计训练前该校每分钟的跳绳个数在内的人数为. 即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为. ] 课后练习： 1. （多选，2025年粤A广04天河模拟）9. 以下说法正确的是（ [endnoteRef:5] ） A. 两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程度越强 B. 残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与没有关联” D. 若随机变量，，则 [5: 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合相关系数的概念，以及独立性检验的概念和正态分布的概率公式，逐项判断即可求解. 【详解】对于A，根据相关系数的定义，当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关， 其中，且当越接近1时，相关程度越大；当越接近0时，相关程度越小，故A错误. 对于B，残差点分布越窄，说明大部分预测值与实际值的偏离越小，拟合效果较好，故B正确. 对于C，独立性检验的判断标准是，若计算得出的值大于临界值，则拒绝独立性假设， 说明变量与存在关联。因此，， 意味着拒绝“与没有关联”的零假设，故C错误. 对于D，对于，则， 所以， 对于，则， 所以， 又，所以，故D正确. 故选：BD. ] 2. （2025年苏J28盐城模拟）17. 在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6．（[endnoteRef:6]） （1）请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，． [6: 【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合服从超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 【小问1详解】 因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 根据列联表中的数据，计算可得 ，故没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. 【小问2详解】 由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为. 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则， ， . 所以的分布列为 数学期望. ] ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$