非线性回归 小专题讲义-2026届高三数学一轮复习

G2 高三一轮复习 《非线性回归》小专题 （难度：基础。适用群体：基础生。答案参看后面小编号） （4页答案9） 知识点3： 非线性回归方程： （1） 把非线性回归方程的数据转化为线性的； （2） 求出线性回归方程； （3） 把该线性方程转化成非线性方程； 典型例题3（上课用计算器）： 1. 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下： （1）、根据散点图判断y＝bx＋a与哪一个更适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）、根据（1）的判断结果及表中数据，建立z＝lny关于x的回归方程（数字保留2位小数）； （3）、要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少℃以下？（最后结果保留到整数）（[endnoteRef:2]） [2: 答案：更适合；；28℃以下； ] 随堂练习3（上课用计算器）： 1. （2025年冀J27张家口二模）6. 商品价格与销量之间往往存在某种关系，以下是某商品价格x（单位：元）与销量y（单位：万件）的调研数据： 则下面四个回归方程中最适宜作为销量y与价格x的回归方程的是（[endnoteRef:3] ） （参考数据，，） A. B. C. D. [3: 【答案】C 【解析】 【分析】分别取代入相应方程计算的估计值与实际值比较，得出答案. 【详解】对于A，分别代入，可得，与实际值相差较大，不合题意 ，故A错误； 对于B，分别代入，可得，第五组数据与实际值相差较大，不合题意 ，故B错误； 对于C，分别代入，求得的估计值与实际值完全相同，应采用，故C正确； 对于D，分别代入，可得， ，得，数据与实际值相差较大，不合题意 ，故D错误. 故选：C ] 2. （2025年闽J24泉州模拟）15. 泉州少年郎团队从2024年10月份以来，通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的经济收入（单位：百万元）的数据如下表： （1）根据以上数据绘制散点图，并根据散点图判断，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为该团队经济收入y关于月份x的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； （2）请你根据所求的回归方程，预测该团队下一个月的经济收入；（[endnoteRef:4]） （3）试从统计学角度分析，如果用所求的回归方程预测该团队接下来1年的经济收入情况是否合理？ 参考数据： 其中设， 参考公式：，. [4: 【答案】（1）适宜， （2）347百万元 （3）不合理 【解析】 【分析】（1）看到形式，通过取对数转化成的形式，把复杂形式变简单. 算出的均值、的均值和这些值. 用公式算出，再把样本中心点代入求出，进而得到回归方程. （2）把代入回归方程，算出对应的值，得到预测收入. （3）经验回归方程有时效性，所以判断预测不合理. 【小问1详解】 散点图如图所示， 根据散点图判断，适宜作为5G经济收入y关于月代码x的回归方程类型， ，两边同时取常用对数得：， 设，， ， ， ， ， 把样本中心点代入，得：， ，， ， y关于x的回归方程：. 【小问2详解】 当时，， 所以预测该公司2025年5月份的经济收入估计为347百万元. 【小问3详解】 不合理,经验回归方程一般具有时效性，解释变量越接近样本数据，预测值比较可信，否则会有显著误差. ] 课后练习： 1. （多选，2024年冀J19张家口一模）9. 下表是某地从2019年至2023年能源消费总量近似值（单位：千万吨标准煤）的数据表： 以为解释变量，为响应变量，若以为回归方程，则决定系数0.9298，若以为回归方程，则，则下面结论中正确的有（ [endnoteRef:5] ） A. 变量和变量的样本相关系数为正数 B. 比的拟合效果好 C. 由回归方程可准确预测2024年的能源消费总量 D. [5: 【答案】ABD 【解析】 【分析】随着变量的增加，变量也在增加可判断A选项；根据决定系数越接近1，拟合效果越好可判断B选项；由经验回归方程的定义可判断C选项；由经验回归方程必过样本中心点可判断D选项. 【详解】对于A选项：随着变量的增加，变量也在增加，故变量和变量成正相关，即样本相关系数为正数，正确； 对于B选项：因为，故比的拟合效果好，正确； 对于C选项：回归方程可预测2024年的能源消费总量，不可准确预测，错误； 对于D选项：由回归方程必过样本中心点，可知，正确. 故选：ABD. ] 2. （2025年粤M梅03质检）6. 某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（ [endnoteRef:6] ） A. B. C. D. （参考公式在下一页） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为 ． 参考数据：令 [6: 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用决定系数大小关系排除AB；再利用数表中数据求出斜率判断CD. 【详解】由用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和， 得，则指数型回归模型最适宜拟合y与x关系，排除AB； 设y与x之间关系的函数为，两边取对数得，设，则， 因此，， 即，，C错误，D正确. 故选：D ] 3. （2024年浙J25温州二适）17. 红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）8组数据： （1）用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金关系，求出回归方程；（[endnoteRef:7]） （2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益最大值．（精确到0.1万元） 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② ③ [7: 【答案】（1） （2）36.5 【解析】 【分析】（1）利用回归直线的公式求和的值，可得回归方程. （2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值. 【小问1详解】 ∴回归方程为： 【小问2详解】 2024年设该企业投入食品淀粉生产x万元，预计收益（万元） ， ，得 ∴其在上递增，上递减 ] ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$