21.2 解一元二次方程 讲义 2025-2026学年九年级上册数学人教版

21.2 解一元二次方程 暑期预习讲义 【内容简介】 知识梳理 1.一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：适用于特定形式方程，通过直接开平方或开平方后移项、系数化为1求解。 （2）配方法：所有一元二次方程可用，是推导求根公式基础，通过变形、配方，在判别式满足条件时用直接开平方法得出根。 （3）公式法：对任何一元二次方程适用，先确定方程系数，计算判别式，根据判别式情况代入求根公式求解。 （4）因式分解法：方程一边为0且另一边能分解成两一次因式乘积时适用，通过分解因式化为两个一元一次方程求解。 2.一元二次方程根的判别式：根据判别式与0的大小关系，判断方程根的情况，如大于0有两个不相等实根等。 3.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：给出两根之和、两根之积的表达式，介绍适用条件、推导过程及在已知一根求另一根、判断根符号、构造方程等方面的应用。 巩固练习 包含选择题、填空题、解答题等多种题型，对上述知识进行巩固训练，涉及方程求解、判断根的情况、根据根求系数取值范围等内容，最后还附有参考答案以便核对。 知识梳理 一、一元二次方程的解法 1.直接开平方法 （1）适用情况：对于形如（）或（）的一元二次方程。 （2）求解步骤： ①当方程是（）时，直接开平方可得，即，。 ②当方程是（）时，先开平方得，然后再通过移项、系数化为1等步骤求出的值。即时，；时，。 2.配方法 （1）适用情况：所有一元二次方程都可以用配方法求解，但有些方程用配方法可能相对复杂些，不过它是推导求根公式的基础。 （2）求解步骤： ①把一元二次方程（）变形为的形式（方程两边同时除以）。 ②在方程两边加上一次项系数一半的平方，即。 ③把左边配成完全平方式。 ④当时，用直接开平方法求解，得到。 3.公式法 （1）适用情况：对于任何一元二次方程（）都适用。 （2）求解步骤： ①先确定方程中、、的值（注意要把方程化为一般形式）。 ②计算判别式的值。 ③当时，将、、的值代入求根公式求出方程的根；当时，方程无实数根。 4.因式分解法 （1）适用情况：当一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式的乘积时适用。 （2）求解步骤： ①将方程化为一般形式，使方程右边为0。 ②把方程左边分解因式，化为两个一次因式乘积的形式，即（）变形为的形式。 ③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程和。 ④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。 二、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程（），其判别式。 1.当时，方程有两个不相等的实数根。 2.当时，方程有两个相等的实数根。 3.当时，方程没有实数根。 三、一元二次方程根与系数的关系 1.对于一元二次方程（），如果方程的两根为、，那么存在以下关系： （1）两根之和：。 （2）两根之积：。 2.适用条件：韦达定理适用于一元二次方程的一般形式（），且方程必须有实数根或者在复数范围内讨论根的情况（初中阶段主要是在实数范围内，当判别式时有实数根可应用该定理）。 3.推导过程（了解即可，初中阶段不做重点要求） 1.由一元二次方程（），当时，根据求根公式可得方程的两个根为： ，。 （1）两根之和推导： （2）两根之积推导： 4.应用 （1）已知一根求另一根及相关系数：已知一元二次方程（）的一根，可根据两根之和求出另一根；再根据两根之积，可进一步确定方程中的系数、等相关信息（在一些条件给定的情况下）。 （2）判断方程两根的符号： ①由两根之积的正负来判断两根的符号关系。 ②当时，说明与同号，此时再结合两根之和的正负来进一步确定两根同为正还是同为负。例如，若且，则两根同为负；若且，则两根同为正。 ③当时，说明与异号。 （3）构造一元二次方程：已知两根、，可构造一元二次方程，即根据韦达定理的逆用，将两根之和与两根之积代入方程的系数中，从而构造出满足条件的一元二次方程。 巩固练习 一、选择题 1．用配方法解一元二次方程，两边应同时加上的数是（　　） A．1 B． C． D． 2．方程的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 3．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根为（　　） A． B． C．， D．， 5．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．下列一元二次方程中，两实数根的和为1的方程是（　　） A． B． C． D． 7．已知，是一元二次方程两个根，则的值为（　　） A． B．． C． D． 8．关于的方程，下列解法完全正确的是（　　） ①两边同时除以得； ②整理得，∵，，，，∴； ③整理得，配方得，∴，∴，∴，； ④移项得：，∴或，∴，， A．① B．①③ C．④ D．③④ 二、填空题 9．若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为　 　． 10．在中，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为　 　. 11．关于的方程的根的判别式的值为5，则　 　． 12．我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为　 　． 13．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为　 　． 14．已知，是方程的二根，则　 　． 三、解答题 15．用适当的方法解关于x的一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 16．芳芳解方程的过程如表所示 解方程：． 解：， 第一步 ， 第二步 ，．第三步 （1）芳芳是用______（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的． （2）芳芳的解题过程是否正确？如果正确，请写出每一步的依据；如果不正确，请你写出正确的求解过程． 17．关于x的一元二次方程． （1）判断该方程根的情况，并说明理由； （2）若此方程的一个根为，求m的值及方程的另一个根． 18．已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 19．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则　 　，　 　； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 参考答案 1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 9．1 10．2 11． 12．0或4 13．​​​​​​​ 14． 15．（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程没有实数根； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 16．（1）配方法 （2）解：芳芳的解题过程中，第一步是移项，将左边的移到右边，故第一步正确；而第二步是配方，芳芳的解题错误． 正确的求解过程为： 解：移项，得， 配方，得， 即， 开方，得 ∴，． 17．（1）解：方程有两个实数根． 理由∶∵关于x的一元二次方程中， ，，， ∴， ∵无论m为任意实数，， ∴原方程总有两个实数根． （2）解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为2． 18．解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴的值为-2． 19．（1）-3；-5 （2）解：由题意，得：，，∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）解：∵，∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$