精品解析：山东省烟台市龙口市培基学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试题

八年级第二学期期中数学试题 一、选择题 1. 下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列运算中，①，②，③＝1，④．正确的有（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 4. 若，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 6. 把根号外因式移到根号内为（ ） A. B. C. D. 7. 对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 8. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程有一个根为x＝5，则关于x的一元二次方程必有一个根为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制是，表示的举办年份．小婷设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值为（ ） A B. C. D. 11. 我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”：若一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．如图，在中，，，，则的面积为（ ） A. B. 20 C. 14 D. 12. 图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知，则___________． 14. 已知关于x的一元二次方程有实数根，若k为非负整数，则k等于_____． 15. 最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为________． 16. 组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请________个球队参加比赛． 17. 按照图所示的运算程序，输入数字“9”，输出的结果是______． 18. 暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价___________． 三、解答题 19. 计算与解方程： （1） （2） （3） （4）已知与满足，求代数式的值． 20. 已知A=2，B=，C=其中A，B都是最简二次根式，且A+B=C，分别求出a和x的值． 21. 阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，． ． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 22. 关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根； （3）已知两个不相等的实数满足，求的值． 23. 观察下列等式：； ； ； …… （1）【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①______________．（不填中间式子） ②_______________．（不填中间式子） （2）【论证猜想】请证明②这个等式． （3）【拓展运用】根据以上规律，求的值． 24. 图（1）是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，依次类推，第n行有n个点． （1）将图（1）三角点阵倒立，按图（2）方式放在原三角点阵的右边，各行对齐，请写出所得图形每行有多少个点？并求出图（2）的总点数(用含n的式子表示)． （2）求55是图（1）三角点阵前多少行的点数之和． （3）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如何能，求出n；如果不能，请说明理由． 25. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级第二学期期中数学试题 一、选择题 1. 下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程； ②，当a=0时不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，整理后不含二次项，不是一元二次方程， 所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个， 故选：B 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 下列运算中，①，②，③＝1，④．正确的有（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算，判断即可． 【详解】解：①，故本项错误； ②，不能合并，故本项错误； ③，故本项错误； ④，故本项正确； 因此，正确的是1个； 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式化简及运算，解题关键是熟练掌握二次根式的化简及运算法则． 3. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且 ． 故选D． 4. 若，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式及二次根式的性质．根据完全平方公式得到减少了繁琐的计算过程．在原方程的两边同时除以，求得的值，然后利用完全平方公式的变形公式求得的值即可． 【详解】解：由原方程，得， 则， 所以． 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据题意可知且，求出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 即且， 解得且． 故选：B． 6. 把根号外的因式移到根号内为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据二次根式的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得： 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 7. 对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 8. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，可知，，将化简为，代入即可得出结论． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，根据根与系数的关系得到，是解答本题的关键． 9. 关于x的一元二次方程有一个根为x＝5，则关于x的一元二次方程必有一个根为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程化为，再根据方程有一个根为x＝5，根据x-1=5求解即可． 【详解】解：将关于x一元二次方程变形，得(m≠0)， 令u=x-1，得， 关于x的一元二次方程有一个根为x＝5， 关于u的一元二次方程(m≠0)有一个根为u=5， 将u=5代入u=x-1，得， 解得，x=6， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握换元法是解本题的关键． 10. 第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制是，表示的举办年份．小婷设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 根据题意列出一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（舍去）， 故的值为， 故选：B． 11. 我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”：若一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．如图，在中，，，，则的面积为（ ） A B. 20 C. 14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．把题中的三角形三边长代入公式，计算得出答案即可． 【详解】解：根据题意，该三角形的三边长为，，， ∴该三角形的面积． 故选：A． 12. 图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设该盒子的高为，根据题意可知折成的有盖长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形，结合折成的有盖长方体盒子的底面积为，列出方程即可． 【详解】解：设该盒子的高为，根据题意可得． 故选：D． 二、填空题 13. 已知，则___________． 【答案】243 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值，进而求出y的值． 【详解】由题意得： ， 解得， ∴， ∴． 故答案为：243． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 14. 已知关于x的一元二次方程有实数根，若k为非负整数，则k等于_____． 【答案】1 【解析】 【详解】分析：根据根的判别式即可k的值． 详解：由题意可知： ∴0＜k≤1， 由于k是整数， ∴k=1 故答案为1． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 15. 最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 16. 组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请________个球队参加比赛． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（握手、循环赛问题），根据题意正确列出方程是解题的关键． 设邀请个球队参加比赛，由于赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场，因而每个队都比赛了场，所有队共比赛场，由于每两个队的比赛都被重复计算了一次，因而总比赛场数是场，据此列方程求解即可． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， 赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场， 每个队都比赛了场， 一共有个队参赛， 所有队共比赛场， 队队比赛和队与队比赛是同一场， 每两个队的比赛都被重复计算了一次， 总比赛场数是场， 计划安排15场比赛， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 即：共邀请个球队参加比赛， 故答案为：． 17. 按照图所示的运算程序，输入数字“9”，输出的结果是______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据输入的数字从左往右依次计算即可． 【详解】解：输入9， 第一步9÷3=3， 第二步， 第三步． 故结果为：7． 【点睛】本题考查程序框图的运算，仔细判断方向，准确计算是解题的关键． 18. 暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫的定价为x元时，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的倍即可确定x的值，此题得解． 【详解】解：设每件文化衫应定价为元， ， 解得：，， ∵该文化衫的售价不能超过进价的倍， ∴， ∴每件文化衫应定价为元， 故答案为：． 三、解答题 19. 计算与解方程： （1） （2） （3） （4）已知与满足，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3）， （4） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式、解二元一次方程、算术平方根和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先根据平方差公式进行化简，然后按照加减运算法则进行计算，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程知识进行作答，即可求解； （3）根据因式分解法解一元二次方程知识进行作答，即可求解； （4）先根据算术平方根知识求得，，然后分别代入，即可求解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：； 【小问3详解】 解：， ， ，， 解得：，； 【小问4详解】 解：∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， 把，，代入，即； 20. 已知A=2，B=，C=其中A，B都是最简二次根式，且A+B=C，分别求出a和x的值． 【答案】a=2，x=8 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义得出关于a的方程，求出a的值，求出A和B，得出=3，求出方程的解即可． 【详解】解：∵A=2，B=，A，B都是最简二次根式，C=，A+B=C， ∴a+3=3a﹣1， 解得：a=2， ∴A=2，B=， ∴A+B=3， ∵A+B=C， ∴=3 ∴20（x+1）=180， ∴x=8． 【点睛】本题考查最简二次根式定义的应用，能根据最简二次根式的定义得出关于a和x的方程是解题关键，难度适中． 21. 阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，． ． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】（1）； （2）2或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 小问1详解】 解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； 【小问3详解】 解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 22. 关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数满足，且，请证明：是一元二次方程的两个根； （3）已知两个不相等的实数满足，求的值． 【答案】（1） （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． （1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，将代入，得， ． 黄金分割数大于0， 黄金分割数为； 【小问2详解】 证明：， ． ． 又， 是一元二次方程的两个根； 【小问3详解】 解：由题意，令①，②， ①②得， ． ①②得． 为两个不相等的实数， ． ， ， 又， ． ， ， ． 23. 观察下列等式：； ； ； …… （1）【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①______________．（不填中间式子） ②_______________．（不填中间式子） （2）【论证猜想】请证明②这个等式． （3）【拓展运用】根据以上规律，求的值． 【答案】（1）①；② （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①x右下角的角码是第一个幂分母的底数，角码加上1就是第二个幂分母的底数，结果是常数1加上角码与相邻较大的整数积的倒数，找到规律，计算即可． ②角码为n，相邻整数n+1，规律一般化即可． （2）通分，运用完全平方公式计算即可． （3）根据计算后，两边分别求和计算即可． 【小问1详解】 ①； 故答案为：． ②， 故答案为：． 【小问2详解】 证明：左边 右边． 【小问3详解】 由题意可知，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了等式中规律问题，正确发现恒等式中的规律是解题的关键． 24. 图（1）是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，依次类推，第n行有n个点． （1）将图（1）的三角点阵倒立，按图（2）方式放在原三角点阵的右边，各行对齐，请写出所得图形每行有多少个点？并求出图（2）的总点数(用含n的式子表示)． （2）求55是图（1）三角点阵前多少行的点数之和． （3）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如何能，求出n；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每行有个点，总点数为 （2）前10行 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，用代数式表示出图（1）中前n行点数和是解题的关键． （1）图（2）中每行点数为，每行点数乘以行数可得总点数； （2）根据第一问结论，用代数式表示出图（1）中前n行点数和，列一元二次方程，解方程即可； （3）仿照第二问列一元二次方程，根据方程是否有整数解进行判断． 【小问1详解】 解：由图可知，图（2）每行有个点， 总点数为：； 小问2详解】 解：图（2）中前n行总点数为， 图（1）中前n行总点数为， 令， 整理，得， 解得，（舍）， 即55是图（1）三角点阵前10行的点数之和． 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 令， 整理，得， ， 解得， n不是整数， 前n行的点数和不能是600． 25. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】（1）； （2）1 （3）7 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 【小问3详解】 解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$