湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

湖南师大附中2024——2025学年度高二第二学期期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 2i 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. （ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列中，，，函数，则 A. B. C. D. 8. 函数的部分图象如图所示，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 某物理量的测量结果，越大，该物理量在一次测量中的结果在的概率越大 C. 已知随机变量，若，则 D. 已知随机变量，若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，有且仅有一个零点 B. 若函数在区间上单调递增，则 C. 存在实数，使得在上恒成立 D. 若，则过原点有两条直线与曲线相切 11. 造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线．下列说法正确的是（ ） A. 轨迹仅经过一个整点（即横、纵坐标都是整数的点） B. 若点位于椭圆上，且，则的离心率为 C. 点与原点之间的距离不超过 D. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线离心率为______． 13. 函数，的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______． 14. 某盒子中有黑、白球各1个，记“从该盒子中随机抽取一个球，记录颜色后放回该球”为一次操作，重复以上操作，首次集齐黑、白两种颜色的操作次数为随机变量，则的数学期望为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，BC边上的高等于． （1）求的值； （2）若，求的周长． 16. 已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点． （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线与点的轨迹相交于，两点，若的内切圆半径为、且，求直线的方程． 17. 如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 18. 设函数． （1）当时．求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围． 19. 已知集合．定义集合 （1）写出集合； （2）记集合中的元素个数为，证明：数列为等差数列： （3）从集合中任取个不同的数，证明：这个数中一定存在三个不同的数．使得． 湖南师大附中2024——2025学年度高二第二学期期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】3 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） 因为所以， 所以，所以， 由三棱柱是直三棱柱，得平面，又平面，所以， 因为，平面， 所以平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【19题答案】 【答案】（1）. （2）证明：当时，. 对于集合，且，. 当时，， 则可以为，共k组. 当时，， 则可以为，共组. ⋯ 当时，则，共1组. 所以. 则. 因为（常数）， 且， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列. （3）证明：设从集合中取出的2k+1个不同的数为. 假设不存在三个不同的数，使得. 考虑中最小的数，为了不满足， 与相加和为0的数不能同时取到； 同理对于，也不能同时取到等. 将集合中的数分成k组：，另外还有单独的0. 从这个数中取数，根据抽屉原理，因为总共取个数，而上述分组有k组再加上0这一组，共组. 如果不存在满足的三个数，那么每组中最多取2个数（除了0单独考虑），这样最多取2k个数，这与取了个数矛盾. 所以这个数中一定存在三个不同的数，使得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $